江西省重点中学协作体高考数学二模试卷文(含解析)

江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）
A．{0，1} B．{1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1} 2．（5分）设i是虚数单位，若复数，则a的值为（）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
3．（5分）已知命题p：∃x0∈R，sinx0=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（）
A．命题是p∨q假命题B．命题是p∧q真命题
C．命题是（¬p）∨（¬q）真命题D．命题是（¬p）∧（¬q）真命题
4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=2，A=，则△ABC 的面积为（）
A．或B．C．或D．
5．（5分）对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为．
x 98 99 100 101 102
y 2 3 5 m 8
则实数m的值为（）
A．6.8 B．7 C．7.2 D．7.4
6．（5分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＞1的概率是（）
A．B．C．D．
7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=log32，b=log52，c=log23，那么输出m的值是
（）
A．log52 B．log32 C．log23 D．都有可能
9．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）
A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称
B．两个函数的图象均关于直线x=﹣对称
C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数
D．可以将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象
10．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则（+）•的最小值为（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
11．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则直线l的斜率为（）
A．2 B．C．1 D．
12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）曲线y=x（2lnx﹣1）在点（1，﹣1）处的切线方程为．
14．（5分）已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是．
15．（5分）设直线x﹣2y+1=0的倾斜角为α，则cos2α+sin2α的值为．
16．（5分）已知函数f（x）为R上的增函数，函数图象关于点（3，0）对称，若实数x，y
满足，则的取值范围是．
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知{a n}为等差数列，数列{b n}满足对于任意n∈N*，点（b n，b n+1）在直线y=2x 上，且a1=b1=2，a2=b2．
（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；
（2）若求数列{c n}的前2n项的和S2n．
18．（12分）两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数据按区间[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5]（千元）进行分组，得到如下统计图：
（1）求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；
（2）若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5，4.5）与[5.5，6.5）的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2人，求2人的承受能力不同的概率．
19．（12分）如图1，△ABC，AB=AC=4，，D为BC的中点，DE⊥AC，沿DE将△CDE 折起至△C′DE，如图2，且C'在面ABDE上的投影恰好是E，连接C′B，M是C′B上的点，
且．
（1）求证：AM∥面C′DE；
（2）求三棱锥C′﹣AMD的体积．
20．（12分）设椭圆的右焦点为F1，直线与x轴交于点A，若（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y﹣2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．
21．（12分）设函数f（x）=﹣ax．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与
直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R+，且++=m，求Z=a+2b+3c的最小值．
江西省重点中学协作体2015届高考数学二模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）
A．{0，1} B．{1} C．{﹣1，1} D．{﹣1，0，1}
考点：交集及其运算．
专题：计算题．
分析：求出B中其他不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
解答：解：由集合B中的不等式变形得：1=20≤2x≤22=4，即0≤x＜2，
∴B=[0，2），
∵A={﹣1，0，1}，
∴A∩B={0，1}．
故选A
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）设i是虚数单位，若复数，则a的值为（）
A．0或﹣1 B．0或1 C．﹣1 D．1
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部大于0且虚部等于0求得a值．
解答：解：由=＞0，
得，解得a=﹣1．
故选：C．
点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，训练了不等式的解法，是基础题．
3．（5分）已知命题p：∃x0∈R，sinx0=；命题q：∀x∈R，x2﹣x+1＞0．则下列结论正确的是（）
A．命题是p∨q假命题B．命题是p∧q真命题
C．命题是（¬p）∨（¬q）真命题D．命题是（¬p）∧（¬q）真命题
考点：复合命题的真假．
专题：简易逻辑．
分析：首先判断命题p和q的真假，再利用真值表对照各选项选择．命题p的真假有正弦函数的有界性判断，命题q的真假结合二次函数的图象只需看△．
解答：解：命题p：因为﹣1≤sinx≤1，故不存在x∈R，使sinx=，命题p为假；
命题q：△=1﹣4=﹣3＜0，故∀x∈R，都有x2+x+1＞0为真．
∴，命题是p∨q是真，命题“p∧q”是假命题，命题是（¬p）∨（¬q）真命题，命题是（¬p）∧（¬q）假命题．
故选：C
点评：本题考查命题和复合命题真假的判断、正弦函数的有界性及二次函数恒成立等知识，属基本题型的考查．
4．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，b=2，A=，则△ABC 的面积为（）
A．或B．C．或D．
考点：正弦定理．
专题：解三角形．
分析：根据正弦定理和条件求出sinB的值，由内角的范围求出角B的值，由内角和定理和三角形面积公式再求出三角形的面积．
解答：解：由题意知，a=2，b=2，A=，
根据正弦定理得，则sinB===，
又b＞a，则B=或，
当B=时，C==，△ABC的面积S==2；
当B=时，C==，△ABC的面积S===，
综上可得，△ABC的面积是2或，
故选：A．
点评：本题考查了正弦、余弦定理，内角和定理，以及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
5．（5分）对于下列表格所示的五个散点，已知求得的线性回归方程为．
x 98 99 100 101 102
y 2 3 5 m 8
则实数m的值为（）
A．6.8 B．7 C．7.2 D．7.4
考点：线性回归方程．
专题：概率与统计．
分析：由题意可得和，代入回归方程可得m的方程，解方程可得．
解答：解：由题意可得=（98+99+100+101+102）=100，
同理可得=（2+3+5+m+8）=，
代入回归方程可得=0.76×100﹣71，
解得m=7，
故选：B．
点评：本题考查线性回归方程，属基础题．
6．（5分）在区域内任意取一点P（x，y），则x2+y2＞1的概率是（）
A．B．C．D．
考点：几何概型．
专题：概率与统计．
分析：根据几何概型的概率公式分别计算出对应区域的面积，代入几何概率公式可求．
解答：解：由题意可得，区域表示的是以1为边长的正方形ABCD，其面积为1 x2+y2＞1的区域为正方形内单位圆外的部分，
则阴影部分的面积S=1﹣=1﹣，
则对应的概率P==，
故选：D
点评：本题主要考查几何概型的概率计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键．
7．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）
A．πB．2πC．3πD．4π
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离．
分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，其外接球相当于一个长，宽，高分别为，1，1的长方体的外接球，计算出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．
解答：解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
其外接球相当于一个长，宽，高分别为，1，1的长方体的外接球，
故外接球的半径R==1，
所以几何体的外接球的表面积为4π•12=4π，
故选：D．
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
8．（5分）执行如图的程序框图，如果输入的a=log32，b=log52，c=log23，那么输出m的值是
（）
A．log52 B．log32 C．log23 D．都有可能
考点：程序框图．
专题：图表型．
分析：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最小数，根据对数函数的性质比较出a、b、c的大小关系即可．
解答：解：由程序框图知：算法的功能是求a，b，c三个数中的最小数，
由对数函数的性质可得log52＜log32＜1＜log23，
所以b＜a＜c，
则输出m的值是log52，
故答案为：A．
点评：本题考查了选择结构的程序框图，以及对数函数的性质的应用，根据框图的流程判断算法的功能是解答此类问题的关键．
9．（5分）已知函数①y=sinx+cosx，②y=2sinxcosx，则下列结论正确的是（）
A．两个函数的图象均关于点（﹣，0）成中心对称
B．两个函数的图象均关于直线x=﹣对称
C．两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数
D．可以将函数②的图象向左平移个单位得到函数①的图象
考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
专题：综合题；三角函数的图像与性质．
分析：化简这两个函数的解析式，利用正弦函数的单调性和对称性逐项判断，可得 A、B、D不正确，C 正确．
解答：解：∵函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，
由于①的图象关于点（﹣，0）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0）成中心对称，故A不正确．
由于函数①的图象不可能关于直线x=﹣成轴对称，故B不正确．
由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．
由于将函数②的图象向左平移个单位得到函数y=sin2（x+），而y=sin2（x+）≠sin（x+），故D不正确．
故选C．
点评：本题考查正弦函数的单调性，对称性，考查和、差角公式及二倍角公式，化简这两个函数的解析式，是解题的突破口，属于中档题．
10．（5分）已知直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，P为线段CD上任意一点，则
（+）•的最小值为（）
A．﹣B．C．﹣2 D．2
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：根据图形判断设|PC|=3﹣x，e则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，运用数量积的运算得出函数式子（+）•=﹣2x•（3﹣x），再利用基本不等式求解即可．
解答：解：∵直角△ABC中，斜边AB=6，D为线段AB的中点，
∴|CD|=3，+=2，
∵P为线段CD上任意一点，
∴设|PC|=3﹣x，则|PD|=x，与的夹角为π，0≤x≤3，
∴（+）•=﹣2x•（3﹣x），
∵x•（3﹣x）≤，
∴﹣2x•（3﹣x）≥﹣2×=﹣．
故选：A．
点评：本题考查了平面向量的数量积，转化为函数求解，关键是根据图形得出向量的关系，属于容易题．
11．（5分）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线C的离心率为，直线l与双曲线C交于A，B两点，线段AB中点M在第一象限，并且在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，则直线l的斜率为（）
A．2 B．C．1 D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：利用抛物线的定义，确定M的坐标，利用点差法将线段AB中点M的坐标代入，即可求得结论．
解答：解：∵M在抛物线y2=2px（p＞0）上，且M到抛物线焦点的距离为p，
∴M的横坐标为，∴M（，p）
设双曲线方程为（a＞0，b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则
代入两式相减，并将线段AB中点M的坐标代入，可得=0，∴===．
故选：D．
点评：本题考查双曲线与抛物线的综合，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
12．（5分）设函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx，记g（x）=，若函数g（x）至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（）
A．（﹣∞，e2+] B．（0，e2+] C．（e2+，+∞] D．（﹣e2﹣，e2+]
考点：利用导数研究函数的极值．
专题：计算题；导数的综合应用．
分析：由题意先求函数的定义域，再化简为方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，则
m==﹣x2+2ex+，求导求函数m=﹣x2+2ex+的值域，从而得m的取值
范围．
解答：解：∵f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx的定义域为（0，+∞），
又∵g（x）=，
∴函数g（x）至少存在一个零点可化为
函数f（x）=x3﹣2ex2+mx﹣lnx至少有一个零点；
即方程x3﹣2ex2+mx﹣lnx=0有解，
则m==﹣x2+2ex+，
m′=﹣2x+2e+=﹣2（x﹣e）+；
故当x∈（0，e）时，m′＞0，
当x∈（e，+∞）时，m′＜0；
则m=﹣x2+2ex+在（0，e）上单调递增，
在（e，+∞）上单调递减，
故m≤﹣e2+2•e•e+=e2+；
又∵当x+→0时，m=﹣x2+2ex+→﹣∞，
故m≤e2+；
故选A．
点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的关系，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）曲线y=x（2lnx﹣1）在点（1，﹣1）处的切线方程为x﹣y﹣2=0．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的概念及应用；直线与圆．
分析：因为曲线的切线的斜率是曲线在切点处的导数，所以只需求出曲线在x=1时的导数，再用点斜式写出切线方程，化简即可．
解答：解：对y=x（2lnx﹣1）求导，得，y′=2lnx+1，
当x=1时，y′=1，
∴曲线y=x（2lnx﹣1）在点（1，﹣1）处的切线斜率为﹣1．
又切点为（1，﹣1），
∴切线方程为y+1=x﹣1，
即x﹣y﹣2=0，
故答案为：x﹣y﹣2=0．
点评：本题主要考查曲线的导数的几何意义，以及直线的点斜式方程．属于基础题．14．（5分）已知过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心离e的取值范围是（1，）．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题．
分析：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，即＜1，求得a和b的不等式关系，进而根据b=转化成a和c的不等式关
系，求得离心率的一个范围，最后根据双曲线的离心率大于1，综合可得求得e的范围．
解答：解：要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，
即＜tan45°=1
即b＜a
∵b=
∴＜a，
整理得c＜ a
∴e=＜
∵双曲线中e＞1
故e的范围是（1，）
故答案为（1，）
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．在求离心率的范围时，注意双曲线的离心率大于1．
15．（5分）设直线x﹣2y+1=0的倾斜角为α，则cos2α+sin2α的值为．
考点：直线的倾斜角．
专题：计算题；三角函数的求值；直线与圆．
分析：根据直线x﹣2y+1=0的方程求出tanα的值，把cos2α+sin2α化成
，再用正切函数表示即可．
解答：解：∵直线x﹣2y+1=0的倾斜角为α，
∴tanα=
∴cos2α+sin2α=
=
=
=．
故答案为：．
点评：本题考查了直线方程的倾斜角与斜率的应用问题，也考查了三角函数求值的应用问题，是基础题目．
16．（5分）已知函数f（x）为R上的增函数，函数图象关于点（3，0）对称，若实数x，y 满足，则的取值范围是[0，]．
考点：抽象函数及其应用；函数单调性的判断与证明．
专题：函数的性质及应用．
分析：由函数图象关于点（3，0）对称将条件进行转化，结合直线斜率的几何意义以及点到直线的距离公式进行求解即可．
解答：解：∵函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称，
∴f（x+3）=﹣f（3﹣x），
即f（x+6）=﹣f（﹣x），即f（﹣x+6）=﹣f（x），
∵f（x2﹣x+9）+f（y2﹣2y）≤0，
∴f（x2﹣x+9）≤﹣f（y2﹣2y）=f[6﹣（y2﹣2y）]，
∵函数y=f（x）是定义在R上的增函数，
∴得x2﹣x+9≤6﹣（y2﹣2y），
化简配方得（x﹣）2+（y﹣1）2≤1，
∴圆心为（，1），半径为1，
的几何意义为圆上动点到原点得斜率，
设k=．则y=kx，kx﹣y，
则满足圆心到原点的距离d=≤1，
平方得为k2﹣k≤0，
解得0≤k≤，
∴0≤≤，
∴的取值范围是[0，]．
故答案为：[0，]
点评：本题考查不等式的求解，利用抽象函数的性质，将不等式进行转化，结合函数的奇偶性、单调性及圆的有关知识是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知{a n}为等差数列，数列{b n}满足对于任意n∈N*，点（b n，b n+1）在直线y=2x 上，且a1=b1=2，a2=b2．
（1）求数列{a n}与数列{b n}的通项公式；
（2）若求数列{c n}的前2n项的和S2n．
考点：数列的求和；数列递推式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：（1）根据题意得出有，判断数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求解为，运用条件判断数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，根据通项公
式即可求解a n=2n；
（2）运用C n的通项公式得出S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）分别求解和即可．
解答：解：（1）由点（b n，b n+1）在直线y=2x上，有，
所以数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
即数列{b n}的通项公式为，
又a1=b1=2，a2=b2=4，则d=a2﹣a1=4﹣2=2，
所以数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，
即数列{a n}的通项公式为a n=2n；
（2），
所以S2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（b2+b4+…+b2n）
==．
点评：本题考查了等差，等比数列定义，性质，学生对题意的理解，学生分析解决问题的能力，综合性强，属于中档题．
18．（12分）两会结束后，房价问题仍是国民关注的热点问题，某高校金融学一班的学生对某城市居民对房价的承受能力（如能买每平方米6千元的房子即承受能力为6千元）的调查作为社会实践，进行调查统计，将承受能力数据按区间[2.5，3.5），[3.5，4.5），[4.5，5.5），[5.5，6.5），[6.5，7.5]（千元）进行分组，得到如下统计图：
（1）求a的值，并估计该城市居民的平均承受能力是多少元；
（2）若用分层抽样的方法，从承受能力在[3.5，4.5）与[5.5，6.5）的居民中抽取5人，在抽取的5人中随机取2人，求2人的承受能力不同的概率．
考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：（1）根据各组的累积频率为1，构造关于a的方程，解方程可得a的值，累加每组组中值与频率的积，可估算出该城市居民的平均承受能力是多少元；
（2）先计算出在抽取的5人中随机取2人的情况种数，再计算出2人的承受能力不同的情况种数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．
解答：解：（1）由各组的累积频率为1，
可得：0.1+0.1+0.14+0.45+a=1，
所以a=0.21，（2分）
平均承受能力，
即城市居民的平均承受能力大约为5070元；（5分）
（2）用分层抽样的方法在这两组中抽5人，
即[3.5，4.5）组中抽2人与[5.5，6.5）抽3人，
设[3.5，4.5）组中两人为A1，A2，[5.5，6.5）组中三人为B1，B2，B2，
从这5人中随机取2人，有
A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，
A2B2，A2B3，B1B2，B1B3，B2B3共10中，
符合两人承受能力不同的有
A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3共6中，
所以所求概率为．（12分）
点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，频率分布直方图，是统计和概率的综合应用，难度不大，属于基础题．
19．（12分）如图1，△ABC，AB=AC=4，，D为BC的中点，DE⊥AC，沿DE将△CDE 折起至△C′DE，如图2，且C'在面ABDE上的投影恰好是E，连接C′B，M是C′B上的点，
且．
（1）求证：AM∥面C′DE；
（2）求三棱锥C′﹣AMD的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．
专题：空间位置关系与距离．
分析：（1）要证AM∥面C′DE，可证AM所在的平面平行于面C′DE，结合已知过M作
MN∥C'D，交BD于N，连接AN，利用面面平行的判定证明面AMN∥面C'DE；
（2）利用等积法把三棱锥C′﹣AMD的体积转化为V B﹣AMD，进一步转化为M﹣ABD的体积求解．解答：（1）证明：过M作MN∥C'D，交BD于N，连接AN，于是，
又AB=AC=4，，∴，
∴BC=4，又D为BC的中点，
则DB=，又，
∴，∠B=，由AN2=AB2+NB2﹣2AB•NB•cos，得到，
∴∠ANB=，得AN∥ED，
∴面AMN∥面C'DE，即AM∥面C'DE；
（2）∵，∴，
又C′E⊥面ABD，∴M到平面ABD的距离h=2，，
∴，即得三棱锥C′﹣AMD的体积为．
点评：本题主要考查空间线面关系、二面角的度量、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．
20．（12分）设椭圆的右焦点为F1，直线与x轴交
于点A，若（其中O为坐标原点）．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2+（y﹣2）2=1的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求的最大值．
考点：圆与圆锥曲线的综合；平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．
专题：综合题．
分析：（1）先求出点A，F1的坐标，利用，即可求得椭圆的方程；
（2）方法1：设圆N：x2+（y﹣2）2=1的圆心为N，则
==
，从而求的最大值转化为求的最大值；
方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0），根据E，F的中点坐标为（0，2），可得
所以
=
．根据点E在圆N上，点P在椭圆M上，可得
==，利用，可求
的最大值；
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，由，解得
，再分别求得、，利用，可求的最大值；
②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，同理可求
的最大值．
解答：解：（1）由题设知，，，…（1分）由，得．…（3分）
解得a2=6．
所以椭圆M的方程为．…（4分）
（2）方法1：设圆N：x2+（y﹣2）2=1的圆心为N，
则…（6分）
=…（7分）
=．…（8分）
从而求的最大值转化为求的最大值．…（9分）
因为P是椭圆M上的任意一点，设P（x0，y0），…（10分）
所以，即．…（11分）
因为点N（0，2），所以．…（12分）
因为，所以当y 0=﹣1时，取得最大值12，…（13分）
所以的最大值为11，…（14分）
方法2：设点E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0），
因为E，F的中点坐标为（0，2），所以…（6分）
所以…（7分）=（x1﹣x0）（﹣x1﹣x0）+（y1﹣y0）（4﹣y1﹣y0）
==．…（9分）
因为点E在圆N上，所以，即．…（10分）
因为点P在椭圆M上，所以，即．…（11分）
所以==．…（12分）
因为，所以当y 0=﹣1时，．…（14分）
方法3：①若直线EF的斜率存在，设EF的方程为y=kx+2，…（6分）
由，解得．…（7分）
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x0，y0），
所以，即．…（8分）
所以，
…（9分）
所以
．…（10分）
因为，所以当y 0=﹣1时，取得最大值11，…（11分）
②若直线EF的斜率不存在，此时EF的方程为x=0，
由，解得y=1或y=3．
不妨设，E（0，3），F（0，1）．…（12分）
因为P是椭圆M上的任一点，设点P（x0，y0），
所以，即．
所以，．
所以．
因为，所以当y 0=﹣1时，取得最大值11，…（13分）
综上可知，的最大值为11，…（14分）
点评：本题以向量为载体，考查椭圆的标准方程，考查向量的数量积，考查配方法求函数的最值，综合性强，属于中档题．
21．（12分）设函数f（x）=﹣ax．
（1）若函数f（x）在（1，+∞）上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性．
专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．
分析：（1）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），f′（x）=﹣a+
在（1，+∞）上恒成立，由此利用导数性质能求出a的最大值；
（2）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由此利用导数性质结合分类讨论思想，能求出实数a 的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）由已知得f（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
∵f（x）在（1，+∞）上为减函数，
∴f′（x）=﹣a+≤0在（1，+∞）上恒成立，
﹣a≤﹣=（﹣）2﹣，
令g（x）=（﹣）2﹣，
故当=，即x=e2时，
g（x）的最小值为﹣，∴﹣a≤﹣，即a≥
∴a的最小值为．
（Ⅱ）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”，
等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，
由（Ⅰ）知，当x∈[e，e2]时，lnx∈[1，2]，∈[，1]，
f′（x）=﹣a+=﹣（﹣）2+﹣a，
f′（x）max+a=，
问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤”，
①当﹣a≤﹣，即a时，由（Ⅰ），f（x）在[e，e2]上为减函数，
则f（x）min=f（e2）=﹣ae2+≤，
∴﹣a≤﹣，
∴a≥﹣．
②当﹣＜﹣a＜0，即0＜a＜时，∵x∈[e，e2]，∴lnx∈[，1]，
∵f′（x）=﹣a+，由复合函数的单调性知f′（x）在[e，e2]上为增函数，
∴存在唯一x0∈（e，e2），使f′（x0）=0且满足：
f（x）min=f（x0）=﹣ax0+，
要使f（x）min≤，∴﹣a≤﹣＜﹣=﹣，
与﹣＜﹣a＜0矛盾，
∴﹣＜﹣a＜0不合题意．
综上，实数a的取值范围为[﹣，+∞）．
点评：本题主要考查函数、导数等基本知识．考查运算求解能力及化归思想、函数方程思想、分类讨论思想的合理运用，注意导数性质的合理运用．
请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．
（1）求证：DE是圆O的切线；
（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．
考点：与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．
专题：推理和证明．
分析：（1）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线．
（2）DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），从而DM•AC+DM•AB=（AC﹣AB）•（AC+AB）=BC2，由此能证
明DE•BC=DM•AC+DM•AB．
解答：证明：（1）连接BE，OE，
∵AB是直径，∴∠AEB=90°，
∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，
∴∠ABE=∠C，
∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，
∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，
∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，
∴∠OEE=90°，∴DE是圆O的切线．
（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，
∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），
∴DM•AC+DM•AB
=DM•（AC+AB）
=（AC﹣AB）•（AC+AB）
=（AC2﹣AB2）
=BC2
=DE•BC．
∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．
点评：本题考查DE是圆O的切线的证明，考查DE•BC=DM•AC+DM•AB的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理的合理运用．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．在直角坐标系xoy中，直l线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与
直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为ρ=10cosθ．
（1）求圆C的直角坐标方程；
（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，6），求|PA|+|PB|．
考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，把代入即可得出．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，可设t1，t2是上述方
程的两个实根．利用|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）即可得出．
解答：解：（1）由ρ=10cosθ得ρ2=10ρcosθ，
∴直角坐标方程为：x2+y2=10x，配方为：（x﹣5）2+y2=25．
（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，化为=0，
由于△=﹣4×20=82＞0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．
∴t1+t2=﹣，t1t2=20，又直线l过点P（2，6），
可得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=﹣（t1+t2）=9．
点评：本题考查了参数方程的应用、极坐标方程化为直角坐标方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
【选修4-5：不等式选讲】
24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R+，且++=m，求Z=a+2b+3c的最小值．
考点：柯西不等式；绝对值不等式的解法．
专题：计算题；不等式的解法及应用．
分析：（1）利用已知条件，转化不等式为绝对值不等式，即可求m的值；
（2）通过a，b，c∈R+，且++=m，直接利用柯西不等式，求出Z=a+2b+3c的最小值．解答：解：（1）因为f（x+2）=m﹣|x|，f（x+2）≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|﹣m≤x≤m}．
又f（x+2）≥0的解集为[﹣1，1]，故m=1．…（6分）
（2）由（1）知++=1，又a，b，c∈R+，由柯西不等式得
Z=a+2b+3c=（a+2b+3c）（++）≥（++）2=9．
∴Z=a+2b+3c 的最小值为9 …．（12分）
点评：本题考查绝对值不等式的解法解法，柯西不等式求解表达式的最值，考查转化思想与计算能力．。