复合材料细观力学答案

复合材料细观力学答案
一、知识部分
1、计算面心立方、体心立方结构的（100）、（110）、（111）等晶面的面密度，计算密排六方结构的（0001）、（1010）晶面的面密度（面密度定义为原子数/单位面积）。

解：设立方结构的晶胞棱长为a 、密排六方结构晶胞轴长为a 和c 。

（1）体心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为21a
；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22
a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为223a。

（2）面心立方：在一个晶胞中的（001）面的面积是2a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22a
；在一个晶胞中的（110）面的面积是22a ，在这个面积上有2个原子，所以其面密度为22
a ；在一个晶胞中的（111）面的面积是223a ，在这个面积上有
1.5个原子，所以其面密度为23a。

（3）密排六方：在一个晶胞中的（0001）面的面积是22
3a ，在这个面积上有1个原子，所以其面密度为2332a
；在一个晶胞中的（1010）面的面积是c a 2，在这个面积上有次个原子，所以其面密度为
c a 21；
2、纯铁在912℃由bcc 结构转变为fcc 结构，体积减少1.06%，根据fcc 结构的原子半径计算bcc 结构的原子半径。

它们的相对变化为多少？如果假定转变前后原子半径不变，计算转变后的体积变化。

这些结果说明了什么？
解：设bcc 结构的点阵常数为a b ，fcc 结构的点阵常数为a f ，
由bcc 结构转变
为fcc 结构时体积减少1.06％，因bcc 单胞含2个原子，fcc 单胞含4个原子，所以2个bcc 单胞转变为1个fcc 单胞。

则
10006.122333=-b b
f a a a 即 b b f a a a 264.110006.10121=??? ???= bcc 结构的原子半径b b a r 43=，fcc 结构的原子半径f f a r 4
2=，把上面计算的a f 和a b 的关系代入，并以r f 表示r b ，则
f f f b b r r a a r 9689.02264.1443264.14343==?==
它们的相对变化为
0311.019689.0-=-=-b
f
b r r r 如果假定转变前后原子半径不变，转变后的体积变化为
()()()1.8342342242233
3333-=-=-b b f b b
f r r r a a a ％
从上面的计算结果可以看出，如果转变前后的原子半径不变，则转变后的体积变化很大，和实际测得的结果不符，也和金属键的性质不符。

所以，同一种金属，不同结构的原子半径改变，尽量使其体积变化最小。

3、根据Fe-C 相图
①计算)(C w 为0.1%以及1.2%的铁碳合金在室温时平衡状态下相的相对量，计算共析体（珠光体）的相对量。

②计算)(C w 为3.4%的铁碳合金在室温时平衡状态下相的相对量，计算刚凝固完毕时初生γ相（奥氏体）和共晶体的相对量。

计算在共析温度下由全部γ相析出的渗碳体占总体（整个体系）量的百分数。

计算在共晶体中最后转变生成的共析体占总体（整个体系）量的百分数。

解：（1）在室温下铁-碳合金的平衡相是ɑ-Fe （碳的质量分数是0.008％）和Fe 3C （碳的质量分数为6.77％），则)(C w 为0.1％的合金在室温时平衡状态下
ɑ相的相对质量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为
62.98008
.067.61.067.6=--=αA ％ 62.9813-=C Fe A ％38.1=％ )(C w 为1.2％的合金在室温时平衡状态下ɑ相的相对量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为
11.82008
.067.62.167.6=--=αA ％ 11.8213-=C Fe A ％89.17=％ )(C w 为0.1％的合金在室温下平衡状态下的组织是ɑ-Fe 和共析体，其组织金可近似看作和共析转变时一样，在共析温度ɑ-Fe 中碳的成分是0.02％，共析的碳的成分是0.77％，则)(C w 为0.1％的合金在室温时组织中共析体的相对量P A 为 67.1002
.077.002.01.0=--=P A ％ )(C w 为1.2％的合金在室温下平衡状态下的组织是Fe 3C 和共析体，在室温时组
织中共析体的相对量P A 为
71.9277
.067.62.167.6=--=P A ％（2）)(C w 为3.4％的铁碳合金在室温平衡相是ɑ-Fe （碳的成分是0.008％）和Fe 3C （碳的成分是6.67％），则)(C w 为3.4％的合金在室温时平衡状态下ɑ相
的相对量（质量分数）αA 及Fe 3C 相的相对量C Fe A 3为
08.49008
.067.64.367.6=--=αA ％ 08.4913-=C Fe A ％92.50=％因为刚凝固完毕时，初生γ相和共晶碳的成分分别为2.11％和4.26％，所以刚凝固完毕时初生γ相的相对量γ
I A 及共晶的相对量G A 为
4011
.226.44.326.4=--=I γA ％ 401-=G A ％60=％在刚凝固完毕时，全部γ相（包括初生γ相和共晶中的γ相）的相对量γA 是 7.7111 .267.64.367.6=--=γA ％碳的成分为2.11％的γ相从共晶温度冷却到共析温度后，它的成分变为0.77％，在冷却过程它析出Fe 3C 相，
每份γ相析出Fe 3C 的量C Fe A 3*
为 71.2277
.077.677.011.23=--=*C Fe A ％现在γ相的量是71.7％，所以到共析温度析出的Fe 3C 相对于整体的相对量
C Fe A 3*为
71.227.713?=*C Fe A ％28.16=％
因为合金中的γ相到共析温度析出Fe 3C ，总体的γ相的相对量减少16.28％，余
下的γ相在共析温度都转变为共析体，所以共析体的相对量为
7.71=P A ％28.16-％42.55=％
4、说明面心立方结构的潜在滑移系有12个，体心立方结构的潜在滑移系有48个。

解：面心立方晶体的滑移系是{111}<011>，{111}有四个，每个{111}面上有三个<011>方向，所以共有12个潜在滑移系。

体心立方晶体的滑移系是{110}<111>,{211}<111>以及{312}<111>。

{110}面共有6个，每个{110}面上有两个<111>方向，这种滑移系12个潜在滑移系；{211}面共有12个，每个{211}面上有1个<111>方向，这种滑移系共有12个潜在滑移系；{312}面共有24个，每个{312}面上有1个<111>方向，这种滑移系共有24个潜在滑移系，因此，体心立方晶体的潜在滑移系共有48个。

5、单晶体铜受拉伸形变，拉伸轴是[001]，应力为104Pa 。

求作用在（111）面[101]方向的分切应力。

解：根据?λστcos cos =，τ是所求的分切应力，σ是拉伸应力，λ是[001]与[011]的夹角，?是[001]与[111]的夹角。

根据立方系的晶向夹角公式
211111c o s =+=λ 3
111111c o s =++=? 则 a 1008.4103
12134P Pa ?=??=
τ 6、面心立方系单晶体受拉伸形变，拉伸轴是[001]，求对b=a[101]/2及t 平行于[121]的位错在滑移和攀移方向所受的力。

已知
点阵常数a=0.36mm.
解：单位长度位错线在滑移面上所受的力F 是外加应力场在滑移面滑移方向的分切应力τ与柏氏矢量b 的乘积：b F g τ=。

在单向拉伸（应力为σ）的情况，?λστcos cos =。

因b=a[101]/2及t 平行于[121]，所以滑移面是{111}，因此，λ是[001]与[011]的夹角，?是[001]与[111]的夹角。

由第5题的计算可知，;31cos ,21cos ==?λ则σστ408.06==。

而b 的模为m a 01-9-1055.2221036.022?=??=，最后得
m N b F g /1055.2408.010-στ??==
式中，σ的单位为Pa 。

单位长度位错线在攀移方向上所受的力c F 是外加应力场在刃型位错半原子面的正应力c σ与柏氏矢量b 的乘积：b F c c σ-=。

因为b 垂直于位错线，所以讨论的位错是刃型位错。

其半原子面的法线矢量是b ，即为[011]，则
2'c o s 2σ?σσ==c 。

作用在单位长度位错线上的攀移力为
m N m N F c /10275.1/1055.2210-10-σσσ?=??=
式中，σ的单位为Pa 。

7、在面心立方晶体中，把2个平行的同号螺位错从100nm 推近到8nm 作功多少？已知a=0.3nm ，G=7×1010Pa 。

解：两个同号的螺型位错（单位长度）间的作用力F 与它们之间的距离d
的关系为 d
Gb F π22
= 位错的柏氏矢量m a b 101012.222-?==，两螺型位错从100nm 推近到8nm 作功为
m J d d Gb d d Gb W d d /10125.08100ln 210211.0107ln 2d 210-210-10122221?====?
πππ）（
8、若空位形成能为73kJ/mol ，晶体从1000K 淬火至室温（约300K ），b 约为0.3nm ，问刃位错能否攀移？
解：存在不平衡空位浓度使单位长度刃型位错受的化学力为02ln c c b kT F s =，因为b F c c σ=，即刃型位错受到的攀移正应力为0
3ln c c b kT s =σ，这个应力达到足够大时位错会发生攀移。

在不同温度下空位的平衡浓度为kT G f e
c -=，所以，在1000K 和在300K 下的空位浓度分别是k G f e 1000-和k G f e 300-。

这样，晶体从1000K 淬火和在300K 刃型位错受到的正应力s σ为
Pa k G b k f s 921014.3)1000
13001(300?=-=
σ
9、轧制板材时，设弹性变形量从表面到中心是线性的。

①压下量不大时，表面仍处在弹性范围，画出加载后和卸载后从表面到中心的应力分布；②表面发生了塑性形变，但中心仍处于弹性范围，画出加载后和卸载后从表面到中心的应力分布。

解：（1）当压下量不大表面仍处在弹性范围时，因表面变形量最大，所以整个板处于弹性范围，加载时，应力与应变成正比，所以应力从表面到中心呈线性分布，如下图（a）所示。

卸载后弹性应变完全恢复，板内无应力存在。

（2）当表面发生了塑性变形但中心仍处于弹性范围时，表面层已屈服，它的应力与应变的关系不在符合胡克定律，所以表层应力的增加斜率降低，如下图（b）所示；卸载后，表层的塑性变形不能回复，内部的弹性变形要回复，因此，表层受内部收缩而产生压应力，因表层留下的永久变形不能回复而使内部产生拉伸应力，这些残余应力的分布如下图（c）所示。

(a) (b) (c)
10、铜单晶体表面平行于（001）面，若晶体可以在各个滑移系滑移，画出表面出现的滑移线的痕迹，求出滑移线间的角度。

铜晶体表面平行于（111）面，情况又如何？
1>。

当滑移方向（柏氏矢量）
解：铜的晶体结构式fcc，滑移系是{111}<10
与表面不平行时，位错滑出此表面就会留下滑移痕迹，这个痕迹是表面与开动的滑移面的交线。

对于（001）表面，(001)面与四个{111}面只有两个交线，它们的方向是[110]与[110]，这两个方向的夹角为90°，则在（001）面上的滑移痕迹如下图（a）所示。

对于（111）面，六个{110}方向中只有[110]、[011]和[101]三个方向与它不平行，它们分别处于除（111）面外的三个{111}面上，即在（111）、（111）和（111）上。

这三个面与（111）面的交线分别为[011]、[101]和[110],它们之间相互的夹角都为60°，则在（001）面上的滑移痕迹如下图（b ）所示。

（a ） (b)
11、面心立方晶体沿[131]轴拉伸，确定如下滑移系的分切应力：（111）[011]、（111）[101]、（111）[110]。

拉伸应力为6.9×105Pa 。

解：根据拉伸应力σ与滑移系上的分切应力τ之间的关系为?λστc o s c o s =，对于（111）[110]滑移系，[131]与滑移面法线[111]夹角?的余弦?cos 以及[131]与滑移方向[110]夹角λ的余弦λcos 分别是870.01
311111
31cos 2=++++++=? 426.0131111
3cos 2-=++++-=λ
则 Pa Pa 551056.2870.0426.0109.6cos cos ?-=-==?λστ
对于（111）[110]滑移系，[131]与滑移方向[110]垂直，所以这个滑移系的分切应力为0。

12、设母相和析出相的切变模量G 相同，母相是各向同性连续介质。

若形成共格的核心，导出球状和圆盘状核心长大到丧失共格的尺
寸的表达式。

（析出相与母相的晶格错配度已知）
解：（1）球状时，共格破坏前的错配应变能及界面能之和等于co r G r γπδπ223443
4+? 丧失共格后没有错配应变能，界面由共格变为非共格，则能量为()co in r γγπ-24，前二者相等求得的尺寸就是丧失共格的尺寸*r ，即
()()()
）（co in co r r G r γγπγπδπ-=+?***22234443
4 即()243δγγG r co in -=* （2）圆盘状时，设半径为r 、厚度为t 。

圆盘体积等于t r 2π，圆盘面面积等于22r π，圆盘侧面面积等于rt π2。

共格破坏前的错配应变能及界面能之和等于 in co rt r G t r γπγπδπ224222++?
丧失共格后没有错配应变能，圆盘面界面由共格变为非共格，则能量为in co in rt r γπγγπ2)(22+-
前二者相等求得的尺寸就是丧失共格的尺寸*t ，即
in co in in co rt r rt r G t r γπγγπγπγπδπ2)(22242222+-=++? 即 2
2δγγG t co in -=*
二、应用部分
1、现有下列三种材料：20CrMnTi、T8、40Cr
（1）它们分别属于哪类钢？并比较它们的淬透性和淬硬性。

（2）每种材料各举一应用实例，并制定相应热处理工艺与使用状态的金相组织。

解：如下表所示
2、试建立3个金属材料热加工过程位错与材料显微结构相互作用的连续介质力学模型，要求包括工程背景和意义、模型说明、求解方法和预期结果四个部分的相关说明。

模型一：压电双相材料中螺型位错与界面运动裂纹的相互作用
工程背景和意义：压电材料是一种能实现机械能和电能之间相互转化的机敏材料。

由于其良好的电弹耦合性能,压电材料广泛应用于现代工业,例如传感器,制动器,微定位器等机敏结构。

这些设备都是在电场和力场的共同作用下工作的,各种缺陷的存在,例如,夹杂,空洞,位错,裂纹等,会不同程度的影响压电材料的电弹耦合性能。

所以研究缺陷对力电耦合场的影响具有十分重要理论意义和实用价值。

模型说明：如图（1）所示,压电材料电弹模量为C 1的介质I 占有
上半平面
区域S +,压电材料电弹模量为C 2的介质H 占有下半平面区域S -，在S +中任意点
θθsin cos 201010ir r ix x z +=+=有一压电螺型位错。

在无穷远处作用均匀剪切应力(∞31τ和∞32τ)以及面内电场(∞1D 和∞2D )。

x l 和x l 表示固定的笛卡尔直角坐标系,x
和y 表示随着长度为2a 的界面运动裂纹移动的直角坐标系。

对于极化方向沿Z 轴的横观各向同性压电介质,设x 1ox 2为各向同性面,在无
穷远处反平面加载和面内电场作用下,只产生沿Z 轴方向的位移u 3。

,应变分量γ
13和γ23 ,应力分量13τ和23τ,电势Φ,电场分量E l 和E 2电位移分量D 1和D 2 ，并且所有变量均为x l 和x 2的函数.本构方程为：1,151,34431φτe u c += 2,151,34432φτe u c +=
1,111,3151φd u e D -= 2,112,3152φd u e D -=
式中，c 44,d 11,e 15分别表示压电材料的纵向剪切模量(稳定电场下),介电常数
(稳定应力场下)和压电常数。

图(1) 压电双相材料中螺型位错与界面运动裂纹的干涉模型
求解方法：运用复变函数解析延拓原理,将上述问题转化为
Riemann一
Hilbert边值问题,结合复应力函数奇性主部分析方法、广义Liouville定理、Cauchy型积分和LaPlace积分变换法,获得了上述问题的一般解答。

预期结果：分析了动应力强度因子与运动界面裂纹随着裂纹运动速率和时
间变化的影响规律,结果表明,当时间夕越短或当位错速度增大时可削弱位错对应力强度因子的反屏蔽效应。

模型二：压电材料中螺型位错与唇形裂纹的相互作用
工程背景和意义：在机械学与材料科学中,研究位错与裂纹之间的相互干涉情况可以让我们更深入的理解材料增强韧化的机理。

模型说明：对于极化方向沿Z轴的横观各向同性压电介质,设xoy 为各向同性面,在无穷远处反平面加载和面内电场作用下,只产生沿Z轴方向的位移u
3
,
应变分量γ
13和γ
23
,应力分量
13
τ和
23
τ,电势Φ,电场分量E l和E2电位移分量D1和
D
2 ，并且所有变量均为x
l
和x
2
的函数.本构方程为：
15 1,3 44 31 φτe u c+ = 2, 15 1,3 44 32 φτe u c+ = 1, 11 1,3 15 1 φd u e D-
2,
11
2,3
15
2
φ
d
u
e
D-
=
式中，c
44,d
11
,e
15
分别表示压电材料的纵向剪切模量(稳定电场下),介电常数
(稳定应力场下)和压电常数。

如图（1）所示,压电材料电弹模量为C
1
的介质占有唇形裂纹的外部区域,唇形裂纹作用在无限平面的x轴上,长为2l,高为2h。

裂纹终点的位置为l和-l尖
点。

螺形位错作用在裂纹尖端附近的z
0点,螺型位错的Burgers矢量为b
z。

图（1）z一平面
图（2）t一平面
图（3）ζ一平面
求解方法：通过对保角映射,奇异分析,柯西积分的应用研究了唇形裂纹附近混合型裂纹的开裂特征,获得了应力解析解。

预期结果：结果表明唇形裂纹附近螺型位错产生的屏蔽效应随位错与裂纹尖端距离的增大而减小。

模型三：螺型位错偶极子与含界面刚性线圆形夹杂的相互作用
工程背景和意义：位错偶极子是晶体材料中常见的微观缺陷,相对于单个位错,位错偶极子产生的应力场要小,但对材料性能的影响却不能忽略。

在研究材料的强韧化机理和破坏效应时,位错偶极子,裂纹和夹杂的相互作用是一个非常重要的课题。

模型说明：对于弹性反平面问题,位移(w)和应力场(直角坐标分量xz σ和yz σ或极坐标分量rz σ和z θσ)可以用一个复变函数表示f(z)来表示
式中F(z)=()z f ',G 表示材料的剪切模量。

如图（1）所示,在xoy 平面上,剪切模量为G l 的介质I 占有半径为R 的圆内
区域S +,剪切模量为G 2的介质∏占有圆外无限大区域S -。

螺型位错偶极子的中心
在介质∏中z 0(=x 0+iy 0=θρi e )点,包含两个位于z 1(=?i ae z -0)和z 2(=?i ae z +0)点的螺型位错,其Burgers 矢量分别为b 1(=bz)和b 2(=-bz),偶极子偶臂为2a 。

两
条位错线方向都垂直于xoy 平面。

圆形夹杂界面上均匀分布着长度为L 、端点分别位于c j 和d j (j=1,2,…,n,)的刚性线。

'L 为两条刚性线之间的距离。

图(1) 螺型位错偶极子与圆形夹杂界面刚性线的干涉求解方法：运用Muskhelishvili's 复变函数方法,获得了该问题的一般性解答,特别是得到了圆形夹杂界面上只含一条刚性线的封闭解。

预期结果：螺型位错偶极子对刚性线尖端具有屏蔽效应,且刚性线可以排斥
位错偶极子。

当夹杂的剪切模量小于基体的弹性模量时,刚性线存在一个平衡长度,可以使偶极子处于一个稳定的平衡位置。

此外,偶极子偶臂方向对平衡位置也有一定的影响。