导数知识点归纳及应用

导数知识点归纳及应用
●知识点归纳 一、相关概念 1．导数的概念
函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x
y
∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即
x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。

如果当0→∆x 时，x
y ∆∆有
极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0
x x =。

即f （x 0）=0
lim →∆x x y
∆∆=0
lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。

注意：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，
x y ∆∆有极限。

如果x
y
∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。

（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。

由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ①求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； ②求平均变化率
x
y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)
()(00；
③取极限，得导数f’(x 0)=x
y
x ∆∆→∆
lim 。

例：设f(x)= x|x|, 则f ′( 0)= .
[解析]：∵0||lim ||lim )(lim )0()0(lim 0000
=∆=∆∆∆=∆∆=∆-∆+→∆→∆→∆→∆x x
x
x x x f x f x f x x x x ∴f ′( 0)=0
2．导数的几何意义
函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。

也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。

相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。

例：在函数x x y 83-=的图象上，其切线的倾斜角小于4
π
的点中，坐标
为整数的点的个数是 ( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
[解析]：切线的斜率为832/-==x y k 又切线的倾斜角小于4
π
，即10<<k 故18302<-<x 解得：33
8383<<-
<<-x x 或 故没有坐标为整数的点
3.导数的物理意义
若物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s '（t ）。

若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。

例：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把
这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ）
答：A 。

练习：已知质点M 按规律322+=t s 做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）。

（1） 当t=2，01.0=∆t 时，求
t s
∆∆； （2） 当t=2，001.0=∆t 时，求t
s
∆∆；
（3） 求质点M 在t=2时的瞬时速度。

答案：（1）8.02s cm （2）8.002s cm ；（3）8s cm 二、导数的运算
1．基本函数的导数公式: ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=;
⑦()1
ln x x '=;
⑧()1
l g log a a o x e x
'=.
例1：下列求导运算正确的是
s
t O
A ．
s
t O
s
t O
s
t
O
B ．
C ．
D ．
( ) A ．(x+2
1
1)1x
x
+
=' B ．(log 2x)′=2ln 1x C ．(3x )′=3x log 3e D ． (x 2cosx)′=-2xsinx [解析]：A 错，∵(x+2
11)1
x x
-
=' B 正确，∵(log 2x)′=
2
ln 1
x C 错，∵(3x )′=3x ln3 D 错，∵(x 2cosx)′=2xcosx+ x 2(-sinx)
例2：设f 0(x ) ＝ sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋
1
(x ) ＝ f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝
( )
A ．sinx
B ．－sinx
C ．
cos x
D ．－cosx
[解析]：f 0(x ) ＝ sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )=cosx ，f 2(x )＝f 1′(x )= -sinx ，
f 3(x )＝f 2′(x )= -cosx ， f 4(x ) ＝ f 3′(x )=sinx ，循环了
则f 2005(x )＝f 1(x )＝cosx
2．导数的运算法则
法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，
即： (.)'''v u v u ±=±
法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=
若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =
法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分
母的导数与分子的积，再除以分母的平方：='
⎪⎭
⎫
⎝⎛v u 2
''v uv v u -（v ≠0）。

例：设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-'＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是 ( )
A ． (-3,0)∪(3,+∞)
B ． (-3,0)∪(0, 3)
C ． (-∞,- 3)∪(3,+∞)
D ． (-∞,- 3)∪(0, 3) [解析]：∵当x ＜0时,)()()()(x g x f x g x f '-'＞0，即0)]()([/>x g x f
∴当x ＜0时，f(x)g(x)为增函数，
又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0 故当3-<x 时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数， 当x>0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0 故当30<<x 时，f(x)g(x)＜0 故选D
3.复合函数的导数
形如y=f [x (ϕ])的函数称为复合函数。

复合函数求导步骤： 分解——>求导——>回代。

法则：y ＇|X = y ＇|U ·u ＇|X 或者[()]()*()f x f x ϕμϕ'''=. 练习：求下列各函数的导数： （1）;sin 2
5x x
x x y ++=
（2）);3)(2)(1(+++=x x x y
（3）;4cos 212sin 2⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=x x y （4）.1111x
x
y ++
-=
解：(1)∵,sin sin 2
32
32
52
1
x x x x
x x x x y +
+=++=-
∴y ′.cos sin 232
3)sin ()()(2322
5
2323x x x x x x x x x x
-----
+-+-='+'+'=
（2）y=（x 2+3x+2）（x+3）=x 3+6x 2+11x+6，∴y ′=3x 2+12x+11.
（3）∵y=,sin 2
1
2cos 2sin x x x =⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--
∴
.cos 21)(sin 2
1
sin 21x x x y ='='
⎪⎭⎫ ⎝⎛='
（4）x
x x x x x
x
y -=
+--++=
++
-=12
)
1)(1(111111 ，
∴.)1(2)1()1(21222x x x x y -=-'
--=
'
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-='
三、导数的应用 1.函数的单调性与导数
（1）设函数)(x f y =在某个区间（a ，b ）可导，如果'f )(x 0>，则)(x f 在此区间上为增函数；如果'f 0)(<x ，则)(x f 在此区间上为减函数。

（2）如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数。

例：函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为
( )
A ．),2(+∞
B ．)2,(-∞
C ．)0,(-∞
D ．（0，2） [解析]：由x x x f 63)(2/-=<0，得0<x<2
∴函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为（0，2）
2．极点与极值：
曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；
例：函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a = ( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 [解析]：∵323)(2/++=ax x x f ，又3)(-=x x f 在时取得极值
∴0630)3(/=-=-a f 则a =5
3．最值：
在区间[a ，b]上连续的函数f )(x 在[a ，b]上必有最大值与最小值。

但在开区间（a ，b ）内连续函数f （x ）不一定有最大值，例如
3(),(1,1)f x x x =∈-。

（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。

（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。

函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为
最值，最值只要不在端点处必定是极值。

例：函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是. [解析]：由33)(2'-=x x f =0，得1±=x ，
当1-<x 时，)(/x f >0，当11<<-x 时，)(/x f <0，当1>x 时，)(/x f >0， 故)(x f 的极小值、极大值分别为1)1(3)1(-==-f f 、， 而1)0(17)3(=-=-f f 、
故函数13)(3+-=x x x f 在[-3，0]上的最大值、最小值分别是3、-17。

●经典例题选讲
例1.已知函数)(x f x y '=的图象如图所示（其中 )(x f '是函数)(x f 的导函数），下面四个图象中)(x f y =的图象大致是 ( )
[解析]：由函数)(x f x y '=的图象可知： 当1-<x 时， )(x f x '<0，)(x f '>0，此时)(x f 增 当01<<-x 时，)(x f x '>0，)(x f '<0，此时)(x f 减
当10<<x 时，)(x f x '<0，)(x f '<0，此时)(x f 减 当1>x 时，)(x f x '>0，)(x f '>0，此时)(x f 增 故选C
例2.设x ax x f +=3)(恰有三个单调区间，试确定a 的取值范围，并求其单调区间。

解：13)(2+='ax x f
若0>a ，0)(>'x f 对),(+∞-∞∈x 恒成立，此时)(x f 只有一个单调区间，矛盾
若0=a ，01)(>='x f ∴),(+∞-∞∈x ，)(x f 也只有一个单调区间，矛盾
若0<a ∵)|
|31()|
|31(3)(a x a x a x f -
⋅+='，此时)(x f 恰有三个单调
区间
∴0<a 且单调减区间为)|
|31,(a -
-∞和),|
|31(
+∞a ，单调增区间为
)|
|31,
|
|31(a a -
例 3. 已知函数d ax bx x x f +++=23)(的图象过点P （0,2）,且在点M ))1(,1(--f 处的切线方程为076=+-y x . （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式； （Ⅱ）求函数)(x f y =的单调区间.
解：（Ⅰ）由)(x f 的图象经过P （0，2），知d=2， 所以,2)(23+++=cx bx x x f
.23)(2c bx x x f ++='
由在))1(,1(--f M 处的切线方程是076=+-y x ，知
.6)1(,1)1(,07)1(6=-'=-=+---f f f 即
.3,0,32.121,623-==⎩
⎨⎧=-=-⎩⎨⎧=+-+-=+-∴c b c b c b c b c b 解得即 故所求的解析式是 .233)(23+--=x x x x f （Ⅱ）.012,0363.
363)(222=--=----='x x x x x x x f 即令
解得 .21,2121+=-=x x 当;0)(,21,21>'+>-<x f x x 时或 当.0)(,2121<'+<<-x f x 时 故)21,(233)(23-
-∞+--=在x x x x f 内是增函数，
在)21,21(+-内是减函数，在),21(+∞+内是增函数.
例4. 设函数()32()f x x bx cx x R =++∈，已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。

（Ⅰ）求b 、c 的值。

（Ⅱ）求()g x 的单调区间与极值。

解：（Ⅰ）∵()32f x x bx cx =++，∴()232f x x bx c '=++。

从而
322()()()(32)g x f x f x x bx cx x bx c '=-=++-++＝32(3)(2)x b x c b x c
+-+--是
一个奇函数，所以(0)0g =得0c =，由奇函数定义得3b =； （Ⅱ）由（Ⅰ）知3()6g x x x =-，从而2()36g x x '=-，由此可知，
(,2)-∞-和(2,)+∞是函数()g x 是单调递增区间；(2,2)-是函数
()g x 是单调递减区间；
()g x 在2x =-时，取得极大值，极大值为42， ()g x 在2x =时，取得极小值，极小值为42-。

例5. 已知f （x ）=c bx ax x +++23在x=1，x=3
2-时，都取得极值。

（1）求a 、b 的值。

（2）若对]2,1[-∈x ，都有c
x f 1)(<恒成立，求c 的取值范围。

解：（1）由题意f /（x ）=b ax x ++232的两个根分别为1和3
2
- 由韦达定理，得：13
2-=32a -，)3
2(13-⨯=b 则2
1
-=a ，2-=b
（2）由（1），有f （x ）=c x x x +--22
1
23，f /（x ）=232--x x 当)32,1[--∈x 时，0)(/ x f ，当)1,3
2(-∈x 时，0)(/ x f ，当]2,1(∈x 时，
0)(/>x f ，
当32-=x 时，)(x f 有极大值
c +2722，c f c f +=+=-2)2(,2
1
)1(， ∴ 当]2,1[-∈x ，)(x f 的最大值为c f +=2)2( 对]2,1[-∈x ，都有c x f 1)(<恒成立，∴c
c 12<+， 解得,120-<<c 或,12--<c
例6. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中
,,0m n R m ∈<，
（I ）求m 与n 的关系式； （II ）求()f x 的单调区间；
（III ）当[]1,1x ∈-时，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围.
解：(I)2()36(1)f x mx m x n '=-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点,
所以(1)0f '=,即36(1)0m m n -++=，所以36n m =+
（II ）由（I ）知，2()36(1)36f x mx m x m '=-+++=23(1)1m x x m ⎡⎤
⎛⎫--+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
当0m <时，有2
11m
>+
，当x 变化时，()f x 与()f x '的变化如下表：
x 2,1m ⎛
⎫-∞+ ⎪⎝⎭
2
1m +
21,1m ⎛⎫+
⎪⎝⎭
1 ()1,+∞
()f x ' 0< 0 0>
0 0<
()f x
调调递减 极小值
单调递增 极大值
单调递减
故有上表知，当0m <时，()f x 在2,1m ⎛⎫
-∞+
⎪⎝⎭
单调递减， 在2
(1,1)m
+单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （III ）由已知得()3f x m '>，即22(1)20mx m x -++>
又0m <所以222(1)0x m x m m -++
<即[]222
(1)0,1,1x m x x m m
-++<∈-①
设21
2
()2(1)g x x x m m
=-++
，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
所以22(1)0120(1)010g m m
g ⎧
-<+++<⎧⎪⇒⎨⎨<⎩⎪-<⎩解之得 4
3
m -<又0m < 所以4
03
m -<<
即m 的取值范围为4
,03
⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 例7：（2009天津理20）已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x R =+-+∈其中
a R ∈
（1） 当0a =时，求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率； （2） 当2
3
a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

满分12分。

解：（I ）.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===，故，时，当
.3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线=
（II ）[].42)2()('22x e a a x a x x f +-++=
.223
2
.220)('-≠-≠
-=-==a a a a x a x x f 知，由，或，解得令 以下分两种情况讨论。

（1）a 若＞3
2，则a 2-＜2-a .当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
x
()a 2-∞-，
a 2-
()22--a a ，
2-a
()∞+-，2a
+ 0 — 0 +
↗
极大值
↘
极小值
↗
.)22()2()2()(内是减函数，内是增函数，在，，，在所以--∞+---∞a a a a x f .3)2()2(2)(2a ae a f a f a x x f -=---=，且处取得极大值在函数 .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极小值在函数
（2）a 若＜3
2
，则a 2-＞2-a ，当x 变化时，)()('x f x f ，的变化情况如下表：
x
()2-∞-a ，
2-a
()a a 22--，
a 2-
()∞+-，a 2
+ 0 — 0 +
↗
极大值
↘
极小值
↗
内是减函数。

，内是增函数，在，，，在所以)22()2()2()(a a a a x f --∞+---∞ .)34()2()2(2)(2--=---=a e a a f a f a x x f ，且处取得极大值在函数。