如何用误差理论减少测量中的误差1

如何用误差理论减少测量中的误差
摘要：有测量就有误差，虽然误差不能完全的消除，但是可以尽量的减小误差，首先要对各种误差有所了解，针对不同的误差采取不同的方法进行减小。

1.随机误差
1.1随机误差的概念：是同一测量条件下，重复测量中以不可预知方式变化的测量误差分量。

1.2随机误差的特征
1）绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等，即误差的对称性。

2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多，即误差的单峰性。

3）在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限，即误差的有界性。

4）随着测量次数的增加，随机误差的算术平均值趋于零，即误差的抵偿性。

多数随机误差具有以上特性，这种误差的分布规律，人们称之为正态分布特性。

1.3减少随机误差的方法
1.3.1算数平均值
由于随机误差的抵偿性，当测量次数足够多时,正负误差的绝对值相等，因此多次测量的算术平均值作为被测量的测量结果,能减小随机误差的影响。

设n x x x ,,,21 为n 次测量值，则算术平均值∑==n
i i x x 1
n 1 1.3.2实验标准(偏)差
由于随机误差的存在，等精度测量中各测得值一般皆不相同，它们围绕着测量列的平均值有一定的分散性，测量的标准差可用实验标准(偏)差表征，由贝赛尔公式计算
∑=-=n
x x n 1
12i )-(11s 这里的标准差不是测量列中任何一个具体测得值的随机误差，标准差的大小说明在一定条件下的等精度测量随机误差的概率分布情况。

标准差大，随机误差的分布范围宽，精密度低；标准差小，随机误差的分布范围窄，精密度高。

1.3.3算术平均值的标准偏差
如果在相同条件下对同一量值做多组测量，每一测量列都有一算术平均值,由于随机误差的存在，各个测量列的平均值各不相同，它们围绕着真值有一定的分散性，因此可用算术平均值的标准差来表征算术平均值的分散性。

21
i )()1(1∑=--=n i x x x n n n
s s 2.系统误差
2.1系统误差的概念：是同一测量条件下，重复测量中保持恒定或以可预知方式变化的测量误差分量。

2.2系统误差来源及对测量结果的影响
系统误差是由固定不变的或按某种规律变化的因素造成的，这些误差因素可能是由于
1）测量装置方面的原因：仪器设计上的缺欠，仪器零件制造和安装的不正确，仪器附件的制造偏差。

2）测量环境的原因：测量过程中温度、湿度等按一定的规律变化。

3）测量方法的原因：采用近似的测量方法或近似的计算公式引起的误差。

4）测量人员的原因：由于测量人的个人特点导致的测量误差。

系统误差具有确定的规律性，这与随机误差有根本区别。

不过，有些系统误差的规律是并未掌握的。

因而没有一个规则化的处理方法，这给处理系统误差带来困难。

按其表现的规律特征，可分为恒定系统误差和变值系统误差。

2.3系统误差的分类
1）恒定系统误差：多次测量时，条件完全不变,或条件改变并不影响测量结果，因而各次测量的结果中该误差恒定不变。

恒定系统误差以大小和符号固定的形式存在于每个测量值和算术平均值之中。

它仅影响测量的算术平均值，并不影响其随机误差的分布规律及分布范围。

2）变值系统误差：指在整个测量过程中，误差的大小和符号按某一确定规律变化的误差。

它不仅影响测量的算术平均值，而且改变其随机误差的分布规律和分布范围。

2.4系统误差的发现方法
2.4.1实验对比检验系统误差
为了验证某一测量仪器或测量方法是否存在系差，可用高一级精度的仪器或测量方法给出标准量进行对比检验。

这种检定不仅能发现测量中是否存在系差，而且能够确定具体数值。

有时，由于测量精度高或被测参数复杂，难以找到高一级精度的测量仪器或测量方法提供的标准量。

此时，可用同精度的其它仪器或测量方法给出的测量结果作对比，若发现明显差别,表明二者之间有系差。

2.4.2通过理论分析判断系统误差
对测量器具、测量原理、方法及数据处理等方面进行具体分析，能够找到测量中的各系差因素。

有时可根据测量的具体内容找出系差所遵从的函数关系，由此计算出测量的系差的具体数值，利用修正法予以消除。

2.4.3对测量数据进行直接判断
通过观察测量数据的变化趋势，直接发现测量中的系统误差。

这一方法较为粗略，但简单易行。

2.4.4用统计方法进行检验
按随机误差的统计规律做出某种统计判断，如果不相符合，则说明包含系统误差。

由于这种判别方法不涉及测量本身，仅针对测里数据，因而便于使用。

但每种统计方法都不是完美的，其应用是有限的，在此只给出常用的几种。

1)残差校验法
将残差v i 分为前后数目相等的两部分k v v v 、、21和n k k v v v 、、21++。

分别求和并作比较，若∑∑+==-
=∆n
k i i k i V V 11i 显著不为零，则怀疑存在系统误差。

这种方法适于判别线性变化的系统误差。

2)阿贝·赫梅特判别法
对残差i v 做统计量∑-=+-=++=11113221u n i i i n n v
v v v v v v v 若21-n u s >则判定该组数据含有系统误差。

这种方法适于判别周期性的系统误差。

3)残差总和判别法
若残差i v 有n s v i i 2n
1>∑=则怀疑有系统误差的存在。

4)标准差比较法
对测量结果，用不同公式计算其标准差，然后通过比较可发现系统误差。

用贝赛尔公式计算为：
1v s 121-=∑=n n i i
用别捷尔公式计算标准差为: )1(253
.1s 12-=∑=n n v n i i 若
121s 12-+≥n s 则怀疑存在系统误差。

3.粗大误差
3.1粗大误差的概念：指超出在规定条件下预期的误差。

3.2粗大误差的产生原因
测量数据中包含随机误差和系统误差是正常的，只要测量误差在一定的范围内，测量结果就是正确的。

但当测量者在测量时由于疏忽造成错误读取示值，错误纪录测量值，错误操作以及使用有缺欠的计量器具时，会出现粗大误差，此数据的误差分量明显偏大，即明显歪曲测量结果。

任意一测量数据都含有测量误差，并服从某一分布，它使测量结
果具有一定的分散性。

因此，任凭直观判断，难于区分含有粗大误差的异常数据和正常数据。

3.3粗大误差的判别方法
3.3.1莱以特准则（σ3准则）
若对某一物理量等精度重复测量n 次，得测量值n x x x ,,,21 。

如果某测得值的残差大于3倍的标准差，即σ3>v 时,该数据为异常数据，应剔除。

莱以特准
则的合理性是显然的，对服从正态分布的随机误差，其残差落在(-σ3，σ3)以外的概率仅为0.27%，当在有限次测量中发生的可能性很小，认为是不可能发生的。

3.3.2肖维勒准则
若对某一物理量等精度重复测量n 次，得测量值n x x x ,,,21 。

若认为x i 为可疑数据，若此数据的残差σc Z v >，则此数据为异常数据，应剔除。

实用中c Z <3，这在一定程度上弥补了σ3口准则的不足。

c Z 是与测量次数n 有关的系数，具体的查表。

3.3.3格罗布斯准则
若对某一物理量等精度重复测量n 次，得测量值n x x x ,,,21 。

为判别测得值中是否含有异常数据，将测得值由小到大排列成统计量()i x 。

()()()n x x x ≤≤≤ 21
若认为()1x 是可疑的，则有统计量为
()()
σ11g x x -=
若认为()n x 是可疑的，则有统计量为
()()
σn x x -=n g
当()(),,n 01a g g ≥认为测量值()1x 是异常数据，应剔除。

当()(),,n n a g g n ≥认为测量值()n x 是异常数据，应剔除。

()a g ,n 0为测量次数为n 显著度为a 时的统计量临界值，可查表。

3.3.4 t 检验准则(罗曼诺夫斯基准则)
罗曼诺夫斯基准则又称t 检验准则，其特点是首先剔除一个可疑的测得值,然后按t 分布检验被剔除的测量值是否为异常值。

若对某一物理量等精度重复测量n 次，得测量值n x x x ,,,21 。

若认为j x 为可疑数据,将其剔除后计算平均值x (计
算时不包含j x )，并求得测量列的标准差σ(计算时不包含x x v j j -=）。

若()σa n K x x j ,>-，则认为j x 为异常数据，应剔除。

其中()σa n K ,为测量次数为n 和显著度为a 时的t 检验系数,可查表得到。

小结：由于产生系统误差的因素是多方面的，又很复杂，我们还不能找到一套适用于所有系统误差的通用方法。

但是根据三种误差的来源、特征以及寻找其方法，我们可以用给出的不同方法对其适当的减少。