山东初三初中数学月考试卷带答案解析

山东初三初中数学月考试卷
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.若函数y＝kx－b的图像如图所示，则关于x的不等式k(x－3)－b＞0的解集为（）
A．x＜2B．x＜3C．x＜5D．x＞5
2.若x为实数，则代数式|x|-x的值一定是（）
A．正数B．非正数C．非负数D．负数
3.你认为tan15○的值可能是（）
A．B．C．D．
4.若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过（）
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
5.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是（）
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小6.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7 )，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E的坐标不可能是（）
A．(6，0)B．(6，3)C．(6，5)D．(4，2)
7.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，和棋的概率为50%，那么乙不输的概率为（）
A．20%B．50%C．70%D．80%
8.若关于x的方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
9.如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且＝＝，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为（ ）
A ．1∶
B ．1∶2
C ．1∶3
D ．1∶4
11.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 、y 的部分对应值如下表：则当x ＝4时，y 的值为（ ）
A ．5
B ．
C ．3
D ．不能确定
12.如图，两个反比例函数y=和y= (其中k 1>k 2>0)在第一象限内的图象依次是C l 和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 1于点A ，PD 上y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为( )
A ．k l +k 2
B ．k l -k 2
C ．k l ·k 2
D ．
13.如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线x ＝1： ① b 2＞4ac ② 4a －2b ＋c ＜0 ③ 不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x ＞3.5 ④若（－2，y 1），（5，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2上述4个判断中，
正确的是（）
A．①②B．①④C．①③④D．②③④
14.如图在直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，分别以A、B为圆心，以的长为半径作圆，将直角△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（）
A. B. C. D.
15.如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB的长为（）
A. B. 2 C. D. 4
16.已知一个三角形的三条边长均为正整数.若其中仅有一条边长为5，它又不是最短边，则满足条件的三角形有（）
A．4B．6C．8D．10
二、填空题
1.一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是______.
2.在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．
3.如图，已知直线y=x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（－4，－2），C为双曲线y=
（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为．
4.二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C．已知，
，则．
5.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在新泰通往泰安的公路上匀速行驶。

在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间。

过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车。

则t=
6.如图，已知四边形ABCD中，AC平分,于点E，且，若,则
=______________.
7.如图，要在宽为22米的滨湖大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯
采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳。

此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为 .
8.银座商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种
商品原来的利润率是 .
三、解答题
1.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求. 商家又用28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元.
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
2.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
3.如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最
小值；
4.如图，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为
．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.
①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；
②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝，试求AA’的长．
5.定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，
点是点关于直线的对称点．
（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于
______________；
②四边形为（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；
（3）如图3，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的
距离和到直线的距离之和的最小值．
山东初三初中数学月考试卷答案及解析
一、选择题
1.若函数y＝kx－b的图像如图所示，则关于x的不等式k(x－3)－b＞0的解集为（）
A．x＜2B．x＜3C．x＜5D．x＞5
【答案】C．
【解析】试题解析：∵一次函数y=kx-b经过点（2，0），
∴2k-b=0，b=2k．
函数值y随x的增大而减小，则k＜0；
解关于k（x-3）-b＞0，
移项得：kx＞3k+b，即kx＞5k；
两边同时除以k，因为k＜0，因而解集是x＜5．
故选C．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
2.若x为实数，则代数式|x|-x的值一定是（）
A．正数B．非正数C．非负数D．负数
【答案】C．
【解析】试题解析：若x≥0，则|x|-x=x-x=0；
若x＜0，则|x|-x=-x-x=-2x＞0．
故选C．
【考点】绝对值．
3.你认为tan15○的值可能是（）
A．B．C．D．
【答案】C．
【解析】试题解析：由15°＜30°，
得tan15°＜tan30°=，
tan15°大约是2-，
故选C．
【考点】1.锐角三角函数的增减性；2.特殊角的三角函数值．
4.若bk＜0，则直线y=kx+b一定通过（）
A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限D．第一、四象限
【答案】D．
【解析】试题解析：由bk＜0，知①b＞0，k＜0；②b＜0，k＞0，
①当b＞0，k＜0时，直线经过第一、二、四象限，
②b＜0，k＞0时，直线经过第一、三、四象限．
综上可得函数一定经过一、四象限．
故选D．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
5.抛物线y＝2x2，y＝－2x2，y＝x2共有的性质是（）
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小
【答案】B．
【解析】试题解析：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；
（2）y=-2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；
（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．
故选B．
【考点】二次函数的性质．
6.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1，7 )，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC
相似，则点E的坐标不可能是（）
A．(6，0)B．(6，3)C．(6，5)D．(4，2)
【答案】B．
【解析】试题解析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．
A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选
项不符合题意；
B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；
C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选
项不符合题意；
D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选
项不符合题意；
故选B．
【考点】1.相似三角形的判定；2.坐标与图形性质．
7.甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为30%，和棋的概率为50%，那么乙不输的概率为（）
A．20%B．50%C．70%D．80%
【答案】C．
【解析】试题解析：根据题意，乙获胜的概率是1-30%-50%=20%，
所以乙不输的概率为50%+20%=70%．
故选C．
【考点】概率公式．
8.若关于x的方程kx2－2x－1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是
A．k＞－1B．k＞－1且k≠0C．k＜1D．k＜1且k≠0
【答案】B.
【解析】试题解析：∵关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且△＞0，即（-2）2-4×k×（-1）＞0，
解得k＞-1且k≠0．
∴k的取值范围为k＞-1且k≠0．
故选B.
【考点】1.根的判别式；2.一元二次方程的定义．
9.如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，将△ABC折叠，使点A与点D重合，EF为折痕，则sin∠BED的值是（）
A．B．C．D．
【答案】A ．
【解析】试题解析：∵△DEF 是△AEF 翻折而成，
∴△DEF ≌△AEF ，∠A=∠EDF ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°， ∴∠BED=∠CDF ，
设CD=1，CF=x ，则CA=CB=2，
∴DF=FA=2-x ， ∴在Rt △CDF 中，由勾股定理得，CF 2+CD 2=DF 2，即x 2+1=（2-x ）2，
解得x=，
∴sin ∠BED=sin ∠CDF=
． 故选A ．
【考点】1.翻折变换（折叠问题）；2.三角形的外角性质；3.锐角三角函数的定义．
10.如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且＝＝，则S △ADE ∶S 四边形BCED 的值为（ ）
A ．1∶
B ．1∶2
C ．1∶3
D ．1∶4
【答案】C ．
【解析】试题解析：在△ADE 与△ACB 中，
，
∴△ADE ∽△ACB ， ∴S △ADE ：S △ACB =（AE ：AB ）2=1：4，
∴S △ADE ：S 四边形BCED =1：3．
故选C ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
11.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的x 、y 的部分对应值如下表：则当x ＝4时，y 的值为（ ）
A ．5
B ．
C ．3
D ．不能确定
【答案】A ．
【解析】试题解析：由图表可知，x=4时的函数值与x=-1时的函数值相同．
所以当x=4时，y 的值为5．
故选A ．
【考点】二次函数的性质．
12.如图，两个反比例函数y=和y= (其中k 1>k 2>0)在第一象限内的图象依次是C l 和C 2，设点P 在C 1上，PC ⊥x 轴于点C ，交C 1于点A ，PD 上y 轴于点D ，交C 2于点B ，则四边形PAOB 的面积为( )
A ．k l +k 2
B ．k l -k 2
C ．k l ·k 2
D ．
【答案】B.
【解析】试题解析：∵S 矩形OCPD =k 1，S △AOC =S △DOB =k 2，
∴四边形PAOB 的面积=S 矩形OCPD -2S △AOC =k 1-k 2．
故选B.
【考点】反比例函数系数k 的几何意义．
13.如图是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线x ＝1： ① b 2＞4ac ② 4a －2b ＋c ＜0 ③ 不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是x ＞3.5 ④若（－2，y 1），（5，y 2）是抛物线上的两点，则y 1＜y 2上述4个判断中，正确的是（ ）
A ．①②
B ．①④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】B ．
【解析】试题解析：①∵抛物线与x 轴有两个交点，
∴b 2-4ac ＞0，
∴b 2＞4ac ，故①正确；
②x=-2时，y=4a-2b+c ，而题中条件不能判断此时y 的正负，即4a-2b+c 可能大于0，可能等于0，也可能小于0，故②错误；
③如果设ax 2+bx+c=0的两根为α、β（α＜β），那么根据图象可知不等式ax 2+bx+c ＞0的解集是x ＜α或x ＞β，故③错误；
④∵二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=1，
∴x=-2与x=4时的函数值相等， ∵4＜5， ∴当抛物线开口向上时，在对称轴的右边，y 随x 的增大而增大， ∴y 1＜y 2，故④正确．
故选B ．
【考点】1.二次函数图象与系数的关系；2.二次函数图象上点的坐标特征；4.二次函数与不等式（组）．
14.如图在直角△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，分别以A 、B 为圆心，以的长为半径作圆，将直角△ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为（ ）
A.
B. C. D.
【答案】A ．
【解析】试题解析：∵在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB=10，即两圆的半径是5，
∴阴影部分的面积是S=S
△ACB -S
扇形AEF
-S
扇形BEM
=×6×8-
=24-π．
故选A．
【考点】扇形面积的计算．
15.如图，A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB ＝45°，则弦AB的长为（）
A. B. 2 C. D. 4
【答案】C．
【解析】试题解析：∵A、B、P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，
∴∠AOB=2∠APB=90°，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=OA=2．
故选C．
【考点】1.圆周角定理；2.等腰直角三角形．
16.已知一个三角形的三条边长均为正整数.若其中仅有一条边长为5，它又不是最短边，则满足条件的三角形有（）
A．4B．6C．8D．10
【答案】D．
【解析】试题解析：∵一个三角形的三条边长均为正整数，
并且其中仅有一条边长为5，且它又不是最短边，
①当边长为5是最大的边长时，可能的情况有3、4、5；4、4、5；3、3、5；4、2、5等四种情况．
②当边长为5是第二大的边长时，可能的情况有2、5、6；3、5、7；3、5、6；4、5、6；4、5、7；4、5、8；共十种情况．
所以共有10个三角形．
故选D．
【考点】三角形三边关系．
二、填空题
1.一家医院某天出生了3个婴儿，假设生男生女的机会相同，那么这3个婴儿中，出现1个男婴、2个女婴的概率是______.
【答案】.
【解析】试题解析：可能出现的情况如下表
一共有8种情况，出现2个男婴、1个女婴的情况有3种，
故答案为.
【考点】列表法与树状图法．
2.在等腰直角△ABC中，AB＝BC＝5，P是△ABC内一点，且PA＝，PC＝5，则PB＝______．
【答案】．
【解析】试题解析：如图所示，过点B作BE⊥AC，过点P作PD，PF分别垂直AC，BE
在△APD中，PA2=PD2+AD2=5，
在△PCD中，PC2=PD2+CD2，且AD+CD=5，
解得AD=，CD=，PD=，
在Rt△ABC中，BE=AE=，
所以在Rt△BPF中，PB2=PF2+BF2=()2+(-)2=10，
所以PB=．
【考点】勾股定理．
3.如图，已知直线y=x与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，点B的坐标为（－4，－2），C为双曲线y=
（k＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC的面积为6，则点C的坐标为．
【答案】（2，4）或（8，1）．
【解析】试题解析：∵点B（-4，-2）在双曲线y=上，
∴=-2，
∴k=8，
根据中心对称性，点A、B关于原点对称，
所以，A（4，2），
如图，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，设点C 的坐标为（a ，），
若S △AOC =S △COF +S 梯形ACFE -S △AOE ，
=×8+×（2+
）（4-a ）-×8， =4+-4，
=
， ∵△AOC 的面积为6，
∴=6，整理得，a 2+6a-16=0，
解得a 1=2，a 2=-8（舍去），
∴==4，
∴点C 的坐标为（2，4）．
若S △AOC =S △AOE +S 梯形ACFE -S △COF =
，
∴=6， 解得：a=8或a=-2（舍去）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
4.二次函数的图象与轴正方向交于A ，B 两点，与轴正方向交于点C ．已知，
，则 ． 【答案】 【解析】试题解析：由题意知，点C 的坐标为（0，c ），OC=c ． 设A ，B 两点的坐标分别为（x 1，0），（x 2，0），
则x 1，x 2是方程x 2+bx+c=0的两根，
由根与系数的关系得：x 1+x 2=-b ，x 1x 2=c ，
又∵∠CAO=30°，则AC=2c ，
∴AB=AC=2c ；
∴x 1=OA=ACcos30°=
c ，x 2=OB=OA+AB=3c ．
由x 1x 2=9c 2=c ，得c=
【考点】二次函数综合题．
5.一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在新泰通往泰安的公路上匀速行驶。

在某一时刻，客车在前，小轿车在后，
货车在客车与小轿车的正中间。

过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟小轿车追上了客车；再过t 分钟，货车追上了客车。

则t=
【答案】15分钟.
【解析】试题解析：设在某一时刻，货车与客车、小轿车的距离均为S 千米，小轿车、货车、客车的速度分别为a ，
b，c（千米/分），并设货车经x分钟追上客车，
由题意得
∴30（b-c）=S，
∴x=30．
故30-10-5=15
【考点】应用类问题．
6.如图，已知四边形ABCD中，AC平分,于点E，且，若,则
=______________.
【答案】65°．
【解析】试题解析：如图，在AB上截取AF=AD，连接CF，
∵AC平分∠BAD，AC为公共边，
∴△AFC≌△ADC，
∴∠ADC=∠AFC，
∵AE=（AB+AD），AF=AD，
∴AF+EF=（AF+BF+AF），
∴EF=BF，
∴EF=BE，
∵CE⊥AB，
∴∠ABC=∠BFC，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∵∠D=115°，
∴∠B=65°．
【考点】全等三角形的判定与性质.
7.如图，要在宽为22米的滨湖大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长为2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的中轴线DO与灯臂CD垂直，当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳。

此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为 .
【答案】（11-4）米．
【解析】试题解析：如图，延长OD，BC交于点P．
∵∠ODC=∠B=90°，∠P=30°，OB=11米，CD=2米，
∴在直角△CPD中，DP=DC•cos30°=m，PC=CD÷（sin30°）=4米，
∵∠P=∠P，∠PDC=∠B=90°，
∴△PDC∽△PBO，
∴
∴PB=米，
∴BC=PB-PC=（11-4）米．
【考点】相似三角形的应用．
8.银座商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种
商品原来的利润率是 .
【答案】17%．
【解析】试题解析：设原进价为a元，这种商品原来的利润率为x，根据题意列方程得，
=x+8%，
解得x=17%．
【考点】一元一次方程的应用．
三、解答题
1.某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用 13200 元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求. 商家又用28800 元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的 2 倍，但单价贵了 10 元.
（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？
（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50 件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润率不低于25%（不考虑其它因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？
【答案】（1）商家购进的第一批衬衫是120件．（2）至少是150元．
【解析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价
贵了10元，列出方程求解即可；
（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．
试题解析：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有
，
解得x=120，
经检验，x=120是原方程的解，且符合题意．
答：该商家购进的第一批衬衫是120件．
（2）3x=3×120=360，
设每件衬衫的标价y元，依题意有
（360-50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），
解得y≥150．
答：每件衬衫的标价至少是150元．
【考点】1.分式方程的应用；2.一元一次不等式的应用．
2.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B.
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．
【答案】(1)证明见解析；（2）6.
【解析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADF∽△DEC；
（2）利用△ADF∽△DEC，可以求出线段DE的长度；然后在Rt△ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度．
试题解析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC．
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，
∴∠AFD=∠C．
在△ADF与△DEC中，
∴△ADF∽△DEC．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=8．
由（1）知△ADF∽△DEC，
∴，
∴DE=
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=．
【考点】1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理；3.平行四边形的性质．
3.如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最
小值；
【答案】(1)证明见解析；（2）y=x2-20x+125（0＜x＜20）．．
【解析】（1）由对应两角相等，证明两个三角形相似；
（2）如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N，由此构造直角三角形BMN，利用勾股定理求出y与x的函数关
系式，这是一个二次函数，求出其最小值；
试题解析：（1）∵∠QAP=∠BAD=90°，
∴∠QAB=∠PAD，
又∵∠ABQ=∠ADP=90°，
∴△ADP∽△ABQ．
（2）∵△ADP∽△ABQ，
∴，即，解得QB=2x．
∵DP=x，CD=AB=20，
∴PC=CD-DP=20-x．
如图所示，过点M作MN⊥QC于点N，
∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，
∴点N为QC中点，MN为中位线，
∴MN=PC=（20-x）=10-x，
BN=QC-BC=（BC+QB）-BC=（10+2x）-10=x-5．
在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10-x）2+（x-5）2=x2-20x+125，
∴y=x2-20x+125（0＜x＜20）．
∵y=x2-20x+125=（x-8）2+45，
∴当x=8即DP=8时，y取得最小值为45，BM的最小值为=．
【考点】相似形综合题．
4.如图，一架长4米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为
．
（1）求AO与BO的长；
（2）若梯子顶端A沿NO下滑，同时底端B沿OM向右滑行.
①如图2，设A点下滑到C点，B点向右滑行到D点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A沿NO下滑多少米；
②如图３，当A点下滑到A’点，B点向右滑行到B’点时，梯子AB的中点P也随之运动到P’点．若∠POP’＝，试求AA’的长．
【答案】（1）BO=2m；AO=2m．（2）①（）m．②（2-2）m．
【解析】（1）直角三角形中已知斜边和一个角，那么两条直角边就容易求得了．
（2）①可先设出AC，BD的长，然后表示出OC，OD的长，根据滑动前后梯子长不变的特点在直角三角形
WMC中运用勾股定理求出未知数的值，然后求出AC，BD的长．
②可根据直角三角形斜边中线定理，和已知的∠ABO的度数，来求出∠B′A′O的度数，然后求出OA′的长，从而求出AA′的长．
试题解析：（1）BO=AB×cos60°=4×=2（m）
AO=AB×sin60°=4×=2（m）
答：BO=2m；AO=2m．
（2）①设AC=2x，BD=3x，在Rt△COD中，OC=2-2x，OD=2+3x，CD=4m．
根据勾股定理有OC2+OD2=CD2．
∴（2-2x）2+（2+3x）2=42．
∴13x2+（12-8）x=0．
∵x≠0，
∴13x+12-8=0，
∴x=．
∴AC=2x=（）m．
答：梯子顶端A沿NO下滑了（）m．
②∵P点和P′点分别是Rt△AOB的斜边AB与Rt△A′OB′的斜边A′B′的中点．
∴PA=PO，P′A′=P′O．
∴∠PAO=∠AOP，∠P′A′O=∠A′OP′．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠A′OP′-∠AOP．
∴∠P′A′O-∠PAO=∠POP′=15°．
又∵∠PAO=30°．
∴∠P′A′O=45°．
∴A′O=A′B′×cos45°=4×=2（m）．
∴AA′=AO-A′O=（2-2）m．
【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．
5.定义一种变换：平移抛物线得到抛物线，使经过的顶点．设的对称轴分别交于点，点是点关于直线的对称点．
（1）如图1，若：，经过变换后，得到：，点的坐标为，则①的值等于
______________；
②四边形为（）
A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形
（2）如图2，若：，经过变换后，点的坐标为，求的面积；
（3）如图3，若：，经过变换后，，点是直线上的动点，求点到点的距离和到直线的距离之和的最小值．
【答案】（1）-2；D；（2）2；（3）．
【解析】（1）已知F2的解析式，把已知坐标代入即可得出b的值；
（2）在（1）的基础上求出S
；
△ABD
（3）要分情况讨论点C在点A的左边还是右边，作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH，是PB+PH值最小可求出h的最小值．
试题解析：（1）-2；D；
（2）∵F
：y=a（x-2）2+c-1，
2
上，可得a=．
而A（0，c）在F
2
∴DB=（4a+c）-（c-1）=2，
∴S
=2；
△ABD
（3）当点C在点A的右侧时（如图1），
设AC与BD交于点N，
抛物线y=x2-x+，配方得y=（x-1）2+2，
其顶点坐标是A（1，2），
∵AC=2，
∴点C的坐标为（1+2，2）．
∵F
过点A，
2
∴F
解析式为y=（x-1-）2+1，
2
∴B（1+，1），
∴D（1+，3）
∴NB=ND=1，
∵点A与点C关于直线BD对称，
∴AC⊥DB，且AN=NC
∴四边形ABCD是菱形．
∴PD=PB．
作PH⊥AD交AD于点H，则PD+PH=PB+PH．
要使PD+PH最小，即要使PB+PH最小，
此最小值是点B到AD的距离，即△ABD边AD上的高h．
∵DN=1，AN=，DB⊥AC，
∴∠DAN=30°，
故△ABD是等边三角形．
∴h=AD=∴最小值为．
当点C在点A的左侧时（如图2），同理，最小值为．
综上，点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值为．【考点】二次函数综合题．。