北师大高中数学选择性必修第一册第四章课时作业33计数原理

北师大高中数学选择性必修第一册
第四章量课时作业33计数原理(原卷版)
一、选择题
1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋里装有30个英语单词卡片，右边口袋里装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，则从两个口袋里任取一张英语单词卡片，不同取法的种数为()
A.20
B.30
C.50
D.600
2.某班班干部有5名男生，4名女生，从中各选一名干部参加学生党校培训，则不同的选法种数有()
A.20
B.9
C.16
D.24
3.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是()
A.60
B.64
C.81
D.360
4.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有()
A.180种
B.360种
C.720种
D.960种
5.已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同的值的个数为()
A.2
B.4
C.8
D.15
6.已知集合P＝{1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数为()
A.49
B.48
C.47
D.46
7.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第
一、二象限内不同的点共有()
A.15个
B.17个
C.19个
D.21个
8.(多选题)回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为a n(n为正整数)，如11是2位回文数，则()
A.a2＝9
B.a3＝90
C.a4＝90
D.a5＝900
二、填空题
9.将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有6种.
10.一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有285个.11.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以是从0，1，2，3，5这5个数字中任取的2个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有14条.
三、解答题
12.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法?
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法?
13.标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球.
(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法?
(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法?
14.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺会演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有()
A.165种
B.286种
C.990种
D.1716种
15.某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是()
A.8
B.12
C.16
D.24
16.某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同，员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖，则他获得奖次的不同情形种数为18.
北师大高中数学选择性必修第一册
第四章量课时作业33计数原理(解析版)
一、选择题
1.王刚同学衣服上左、右各有一个口袋，左边口袋里装有30个英语单词卡片，右边口袋里装有20个英语单词卡片，这些英语单词卡片都互不相同，则从两个口袋里任取一张英语单词卡片，不同取法的种数为(C)
A.20
B.30
C.50
D.600
解析：王刚同学左边口袋里装有30个英语单词卡片，右边口袋里装有20个英语单词卡片，因为这些英语单词卡片都互不相同，所以从两个口袋里任取一张英语单词卡片，共有30＋20＝50(种)不同的选择.故选C.
2.某班班干部有5名男生，4名女生，从中各选一名干部参加学生党校培训，则不同的选法种数有(A)
A.20
B.9
C.16
D.24
解析：由题可知，男生选一名有5种选法，女生选一名有4种选法，则从中各选一名干部参加学生党校培训，不同的选法种数有5×4＝20.故选A.
3.现有4名同学去听同时进行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是(C)
A.60
B.64
C.81
D.360
解析：每名同学可以选3个课外知识讲座的其中一个，根据分步乘法计数原理可知，不同选法的种数是3×3×3×3＝81.故选C.
4.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0~9这十个数字中
选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(D)
A.180种
B.360种
C.720种
D.960种
解析：根据题意，车主第一个号码在数字3，5，6，8，9中选择，共5种选法，第二个号码只能从字母B，C，D中选择，有3种选法，剩下的3个号码在1，3，6，9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4＝64(种)选法，则共有5×3×64＝960(种).故选D.
5.已知x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，则xy可表示不同的值的个数为(D)
A.2
B.4
C.8
D.15
解析：x∈{1，2，3，4}，y∈{5，6，7，8}，从x中选一个，从y选一个，共有4×4＝16(种)，其中3×8＝4×6，故xy可表示不同的值的个数为16－1＝15.故选D.
6.已知集合P＝{1，2，3，4，5}，若A，B是P的两个非空子集，则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对(A，B)的个数为(A)
A.49
B.48
C.47
D.46
解析：根据题意，分4种情况讨论：
当A中的最大数为1，即A＝{1}时，B＝{2}，{3}，{4}，{5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，即{2，3，4，5}的非空子集的个数为24－1＝15；
当A中的最大数为2，即A＝{2}，{1，2}时，B＝{3}，{4}，{5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，{3，4，5}，即2×(23－1)＝14(个)；
当A中的最大数为3，即A＝{3}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}时，B＝{4}，{5}，{4，5}，即4×3＝12(个)；
当A中的最大数为4，即A＝{4}，{1，4}，{2，4}，{3，4}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}时，B＝{5}，即8×1＝8(个)；
所以总共个数为15＋14＋12＋8＝49(个).故选A.
7.已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，7}，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第
一、二象限内不同的点共有(B)
A.15个
B.17个
C.19个
D.21个
解析：若集合M中的元素为横坐标，集合N中的元素为纵坐标，在第一象限的点分别为(1，5)，(1，6)，(1，7)，(3，5)，(3，6)，(3，7)，共6个；在第二象限的点分别为(－2，5)，(－2，6)，(－2，7)，共3个.若集合N中的元素为横坐标，集合M中的元素为纵坐标，在第一象限的点分别为(5，1)，(5，3)，(6，1)，(6，3)，(7，1)，(7，3)，共6个；在第二象限的点分别为(－4，1)，(－4，3)，共2个.综上可知，这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点共有17个.故选B.
8.(多选题)回文数是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如2，11，242，6776，83238等，设n位回文数的个数为a n(n为正整数)，如11是2位回文数，则(ABCD)
A.a2＝9
B.a3＝90
C.a4＝90
D.a5＝900
解析：2位回文数包含11，22，33，…，99，共9个，所以a2＝9；3位回文数，第一位和第三位有9种方法，中间有10种方法，根据分步乘法计数原理可知，共9×10＝90(个)，故a3＝90；4位回文数，第一位和第四位有9种方法，中间两位有10种方法，根据分步乘法计数原理可知有9×10＝90(种)方法，故a4＝90；5位回文数，第一位和第五位有9种方法，中间一位有10种方法，第二位和第四位有10种方法，根据分步乘法计数原理可知有9×10×10＝900(种)，故
a5＝900.故选ABCD.
二、填空题
9.将6枚硬币放入如图所示的9个方格中，要求每个方格中至多放一枚硬币，并且每行每列都有2枚硬币，则放置硬币的方法共有6种.
解析：先在第一列里任选一格不放硬币，有3种选法；再在第二列里选一格(不能选与第一列同行的空格)不放硬币，有2种选法，最后在第三列里选一格(不能与第一、二列同行的空格)不放硬币，有1种选法，所以共有3×2×1＝6(种)方法.
10.一个三位数，其十位上的数字小于百位上的数字，也小于个位上的数字，如523，769等，这样的三位数共有285个.
解析：按照十位上的数字分成9类：第一类：十位上的数字为0时，百位有9种，个位也有9种，此时满足条件的三位数有9×9＝81(种)；第二类：十位上的数字为1时，百位有8种，个位也有8种，此时满足条件的三位数有8×8＝64(种)；第三类：十位上的数字为2时，百位有7种，个位也有7种，此时满足条件的三位数有7×7＝49(种)；第四类：十位上的数字为3时，百位有6种，个位也有6种，此时满足条件的三位数有6×6＝36(种)；
第五类：十位上的数字为4时，百位有5种，个位也有5种，此时满足条件的三位数有5×5＝25(种)；第六类：十位上的数字为5时，百位有4种，个位也有4种，此时满足条件的三位数有4×4＝16(种)；第七类：十位上的数字为6时，百位有3种，个位也有3种，此时满足条件的三位数有3×3＝9(种)；第八类：十位上的数字为7时，百位有2种，个位也有2种，此时满足条件的三位数有2×2＝4(种)；第九类：十位上的数字为8时，百位有1种，个位也有1种，此时满足条件的三位数有1×1＝1(种)；所以符合条件的三位数共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285(个).
11.若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以是从0，1，2，3，5这5个数字中任取的2个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有14条.
解析：解法一：本题中有特殊数字0，所以以A，B中是否有数字0为标准进行分类，可分两类.
第1类，当A，B中有一个为0时，表示直线x＝0或y＝0，共2条不同直线.
第2类，当A，B都不为0时，确定直线Ax＋By＝0需要分两步完成：
第1步，确定A的值，有4种不同的方法；
第2步，确定B的值，有3种不同的方法.
由分步乘法计数原理知，可以确定的不同直线有4×3＝12(条).
由分类加法计数原理知，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14(条).解法二(间接法)：分两步：
第1步，确定A的值，有5种不同的方法；
第2步，确定B的值，有4种不同的方法.
由分步乘法计数原理知，可以确定的直线有5×4＝20(条).
在这20条直线中，当A＝0，B＝1，2，3，5时，表示同一条直线(直线y＝0)；当B＝0，A＝1，2，3，5时，表示同一条直线(直线x＝0)，即有6条直线是重复计数的，故符合条件的不同直线共有20－6＝14(条).
三、解答题
12.某单位职工义务献血，在体检合格的人中，O型血的共有28人，A型血的共有7人，B型血的共有9人，AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血，有多少种不同的选法?
(2)从四种血型的人中各选1人去献血，有多少种不同的选法?
解：从O型血的人中选1人有28种不同的选法；
从A型血的人中选1人有7种不同的选法；
从B型血的人中选1人有9种不同的选法；
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血，即无论选哪种血型的哪一个人，“任选1人去献血”这件事情都可以完成，所以采用分类加法计数原理.
故不同的选法有28＋7＋9＋3＝47(种).
(2)要从四种血型的人中各选1人，即从每种血型的人中各选出1人后，“各选1人去献血”这件事情才算完成，所以采用分步乘法计数原理.
故不同的选法有28×7×9×3＝5292(种).
13.标号为A，B，C的三个口袋，A袋中有1个红色小球，B袋中有2个不同的白色小球，C袋中有3个不同的黄色小球，现从中取出2个小球.
(1)若取出的两个球的颜色不同，有多少种取法?
(2)若取出的两个小球颜色相同，有多少种取法?
解：(1)若两个球颜色不同，则应在A，B袋中各取1个，或A，C 袋中各取1个，或B，C袋中各取1个，共有1×2＋1×3＋2×3＝11(种)取法.
(2)若两个球颜色相同，则应在B袋中取出两个，或在C袋中取出两个，共有1＋3＝4(种)取法.
14.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺会演，原节目单上有10个节目已经排好顺序，又有3个新节目需要加进去，不改变原来节目的顺序，则新节目单的排法有(D)
A.165种
B.286种
C.990种
D.1716种
解析：第一步：10个节目空出11个位置，加入1个新来的节目，所以加入一个新节目有11种方法；第二步：从排好的11个节目空出的12个位置中，加入第2个新节目，有12种方法；第三步：从排好的12个节目空出的13个位置中，加入第3个新节目，有13种方法，所以由分步乘法计数原理得，加入3个新节目后的节目单的排法有
11×12×13＝1716(种).故选D.
15.某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是(B)
A.8
B.12
C.16
D.24
解析：四个人工小岛记为ABCD，对A分有一座桥相连和两座桥相连，用“－”表示桥
(1)A只有一座桥相连时，有A－B－C－D，A－B－D－C，A－C－B－D，A－C－D－B，A－D－B－C，A－D－C－B，共6种；(2)A 有两座桥相连时，有C－A－B－D，D－A－B－C，D－A－C－B，B －A－C－D，B－A－D－C，C－A－D－B，共6种.综上可知，共有12种.故选B.
16.某电商为某次活动设计了“和谐”“爱国”“敬业”三种红包，活动规定每人可以依次点击4次，每次都会获得三种红包的一种，若集全三种即可获奖，但三种红包出现的顺序不同对应的奖次也不同，员工甲按规定依次点击了4次，直到第4次才获奖，则他获得奖次的不同情形种数为18.
解析：根据题意，若员工甲直到第4次才获奖，则其第4次才集全“和谐”、“爱国”、“敬业”三种红包，由此可知，甲第4次获得的红包有3种情况，前三次获得的红包为其余的2种，有23－2＝6(种)情况，由分步计数原理可知，他获得奖次的不同情形种数为3×6＝18.。