山西大学附中2018-2019学年高二下学期3月模块诊断 数学(文)

山西大学附中
2018-2019学年高二第二学期3月（总第二次）模块诊断
数学试题（文）
★祝考试顺利★ 注意事项：
1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一.选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分，请把答案写在答题纸上) 1.下列导数运算正确的是（ ）
A.()26232
+='
+x x B.()x x cos sin -=' C.211x x ='⎪⎭
⎫ ⎝⎛- D.()[]
()x x e e 22='
2.已知)(x f 的导函数()f x '的图象如右图所示，那么函数)(x f 的图象最有可能的是( )
3.已知函数()x
x
x f ln =
，则()x f 的增区间为（ ） A. ()1,0 B. ()e ,0 C.()+∞,1 D. ()+∞,e
4．函数3
2
39y x x x =--(22)x -<<有（ ）
A ．极大值5，无极小值
B ．极小值﹣27，无极大值
C ．极大值5，极小值﹣27
D ．极大值5，极小值﹣11
5. 已知函数()x f 的导函数为()x f '
,且满足关系式()()x xf x f ln 23'
+=,则()1'
f 的值等于( ).
A.
41 B.41- C. 43- D. 4
3 6.若函数()sin f x x kx =-存在极值，则实数k 的取值范围是（ ）
A ．()1,1-
B ．[0,1)
C ．(1,)+∞
D ．(,1)-∞- 7. 已知函数()x
x e e x f --=
2
321，则曲线()y f x =上任意一点处的切线的倾斜角α
的取值范
A B
C
D
围是（ ）
A.(0]3π，
B. 2(]23ππ，
C. [)32
ππ， D.[)3ππ，
8. 函数x ax x f sin )(2+=的图象在2
π
=x 处的切线方程为b x y +=，则b 的值为( )
A.4
1π
+
B.41π-
C. π41+
D.π
4
1- 9．定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x x e f x e >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（ ）
A ．()0,+∞
B ．()(),03,-∞+∞
C ．()(),00,-∞+∞
D ．()3,+∞
10. 若函数()()x a x x f ln 12
-+=在区间()+∞,0内任取有两个不相等的实数21,x x ， 不等式
()()1112
121>-+-+x x x f x f 恒成立，则a 的取值范围是（ ）
A.()3,∞-
B. ()3,-∞-
C.(]3,∞-
D. (]3,-∞-
11. 已知3,ln 3ln ln -==-bd c a ，则22)()(c d b a -+-的最小值为（ ） A ．
5
10
3 B ．518 C ．516 D ．512
12. 已知()()1
sin 12
2
+++=x x x x f ,)
(x f '是()x f 的导函数，则()()+'+20192019f f ()()=-'--20192019
f f （ ） A.8056 B. 4028 C. 1 D. 2
二．填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分，请把答案写在答题纸上) 13.函数()x e x x f )1(+=的单调减区间是 ． 14.设曲线x
e y =在点()1,0处的切线与曲线x
y 1
=
()0>x 上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 .
15. 若函数1
()x f x e x m
=
-+ 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 ．
16. 设函数x
x x f 1
)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒
成立，则正数k 的取值范围是 .
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （满分10分）已知()3
4
313+=x x f ，若直线l 过点()4,2且与()x f 图像相切，求直线l 的方程．
18. (本小题满分12分)已知函数x x x f ln 2
1)(2
+=
(1)求函数)(x f 在],1[e 上的最大值和最小值．
(2)求证：在区间[)+∞,1上函数()x f 的图象恒在函数()3
3
2x x g =的图象的下方.
19．(本小题满分12分) 已知函数32().f x x ax bx =-+
(1)当2,()b f x =-时在[)1,+∞上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)当1
3,()3
b f x x ==
时在处取得极值，求函数[]()1f x a 在，上的值域. 20. （本小题满分12分）近期，某市公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动,活动设置了一段时间的推广期,由于推广期内优惠力度较大,吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次,用x 表示活动推出的天数, y 表示每天使用扫码支付的人次(单位:十人次),统计数据如表1所示
:
根据以上数据,绘制了散点图.
（1）根据散点图判断,在推广期内,bx a y +=与x d c y ⋅= (d c ,均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由); （2）根据(1)的判断结果及表1中的数据,建立y 关于x 的回归方程,并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次;
（3）推广期结束后,车队对乘客的支付方式进行统计，结果如下
已知该线路公交车票价为2元,使用现金支付的乘客无优惠,使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠,扫码支付的乘客随机优惠，根据统计结果得知,使用扫码支付的乘客中有6
1
的概率享受折优惠,有
31的概率享受8折优惠,有2
1
的概率享受9折优惠.根据所给数据以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,试估计从20名乘客从中随机抽取1人，恰好享受8折优惠的概率 .
其中i i y v lg =,∑==1
7i i v v
参考公式:
对于一组数据(),,11v u () ,,22v u ()n n v u ,,其回归直线u a v
∧
∧
∧
+=β的斜率和截距的最小二乘估
计公式分别为:∑∑==∧
--=
n
i i
n
i i i u
n u
v
u n v u 1
2
21β，u v a ∧
∧-=β .
21.（本小题满分12分）.已知函数()()a x x x f +-=ln 的最小值为0,其中>0a . (1)求a 的值;
(2)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; 22．（本小题满分12分）已知函数()()()R a x a x x a x f ∈-+-=12ln 2有两个不同的零点. (1)求a 的取值范围;
(2)设21,x x 是()x f 的两个零点,证明: a x x 221>+.
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2018-2019学年高二第二学期3月（总第二次）模块诊断
数学答案（文科）
13. ()2,-∞- 14． (1,1) 15. 1->m 16. 1
21
-≥
e k
17.已知()3
4
313+=
x x f ，若直线l 过点()4,2且与()x f 图像相切，求直线l 的方程． 解析：设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A (x 0 ，13x 30＋4
3
)，则切线的斜率k ＝y ′|x
＝x 0＝x 2
0.
∴切线方程为y －(13x 30＋43)＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43
.∵点P (2,4)在切线上∴4＝2x 2
0－
23x 30＋43
， 即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 2
0＋4＝0，解得x 0＝－1或x 2＝2，
切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. ------------10分 18.
22
23
23232211()ln ,'()20'()0
()(0,)[1,]11(),1
2212
(2)()()ln 23
11
'()'()2(21)
()21,'()626(f x x x f x x x
x f x f x e e x f x x e f x g x x x x f x g x x x x x x x
h x x x h x x x x =
+∴=+>∴>∴+∞∴==+-=+-∴-=-++=-++=-++=-+=-解：(1)
在是增函数,即在是增函数
时取最小值为时取最大值为设则2322311
)636
(1,)'()0,()()(1)01
[1,)'()'()(21)012
1,),()()ln 231
()()(1)(1)0
6
()()1,)()()x h x h x h x h x f x g x x x x f x g x x x x f x g x f g f x g x f x g x -+
∈+∞<∴<=∴∈+∞-=
-++<+∞-=+-∴-<-=-<∴-+∞当时是减函数,当时即在[上是减函数
函数在[上始终是负数,即函数的图象，在函数的图象下方。

---12分
19． 解:(1)32'2
()2.()322f x x ax x f x x ax =--∴=--, ……………1 因为()f x 在[)1,+∞上是增函数，
所以'
2
()3220f x x ax =--≥在区间[)1,+∞上横成立， (2)
即22
322
232,2,23x ax x a a x x x
-≤-∴≤≤-即在区间[)1,+∞上横成立，…………… 4 令2()3g x x x =- ，'
22()30g x x
=+>，()g x ∴在[)1,+∞上单调增函数.
所以1
2(1)1,.2
a g a ≤=≤即 (6)
(2) 32'2()3.()323f x x ax x f x x ax =-+∴=-+，
因为1()3f x x =
在处取得极值，所以'1()3
f =0，得出 5.a =…………… 7 '2()3103(31)(3)f x x x x x ∴=-+=--,令'1
()0,3,3
f x x x ===得.……………
∴()f x 在[]1,3上为减函数，在[]3,5上增函数， (9)
又{}(1)1,(5)15,max max (1),(5)15,min (3)9,f f f f f =-=====-…………… 11 所以，函数[]()1f x a 在，上的值域为[]9,15-.…………… 12 20. 详解：（1）根据散点图判断，适宜作为扫码支付的人数关于活动推出天数的回
归方程类型； ------------2分
（2）
，两边同时取常用对数得： ；设
，
，
，把样本中心点
代入,得: ，
，
，
关于
的回归方程式：
；把
代入上式:
；活动推出第天使用扫码支付的人次为；---------8分
（3）由题意，20名乘客中，现金支付的有2人，乘车卡支付的有12人，扫码支付的有6人，其中享受八折优惠的共有，12+2=14人，有古典概型计算公式，所以估计从20名乘客从中随机抽取1人，恰好享受8折优惠的概率为10
7
2014=。

----------12分 21(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞
()ln()f x x x a =-+11
()101x a f x x a a x a x a
+-'⇒=-
==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-
得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔=---------------4分
（2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*）
(1)1ln 200g k k =-+≥⇒>
1(221)
()2111x kx k g x kx x x +-'=-+=++
①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02k
g x x x g x g k
-'≤⇔≤≤
=⇒<=与（*）矛盾 ②当1
2
k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*）
得：实数k 的最小值为1
2------------12分
22．(1)函数f (x )的定义域为(0,+∞).
f'(x )=
x a
-2x+2a-1=-()()x
a x x -+12 ①当a ≤0时,易得f'(x )<0,则f (x )在(0,+∞)上单调递减,
则f (x )至多只有一个零点,不符合题意,舍去. ②当a>0时,令
∴f (x )max =f (x )极大值=f (a )=a (ln a+a-1).
设g (x )=ln x+x-1,∵g'(x )=
x
1
+1>0,则g (x )在(0,+∞)上单调递增. ∵g (1)=0,∴当x<1时,g (x )<0;当x>1时,g (x )>0.
因此:(ⅰ)当0<a ≤1时,f (x )max =a ·g (a )≤0,则f (x )无零点,不符合题意,舍去. (ⅱ)当a>1时,f (x )max =a ·g (a )>0,
∵f
=a -1-<0,
∴f (x )在区间,a 上有一个零点,
∵f (3a-1)=a ln(3a-1)-(3a-1)2+(2a-1)(3a-1)=a [ln(3a-1)-(3a-1)], 设h (x )=ln x-x (x>1),∵h'(x )=-1<0,
∴h (x )在(1,+∞)上单调递减,则h (3a-1)<h (2)=ln 2-2<0, ∴f (3a-1)=a ·h (3a-1)<0,
∴f (x )在区间(a ,3a-1)上有一个零点,那么f (x )恰有两个零点.
综上所述,当f (x )有两个不同零点时,a 的取值范围是(1,+∞).-------6分 (2)由(1)可知,
--------------12分。