2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考试卷试题解析

2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考试卷试题解析
1：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考1）
1：已知向量a 与b 的夹角是π
3
，且 1a =，4b =，若()
3a b a λ+⊥，则实数λ=（ ）
A ．32-
B ．32
C ．2-
D ．2
方法提供与解析：（宁波汪灿泉）
解析：πcos 23a b a b ⋅=⋅⋅=，()()
23
330302
a b a a b a a ab λλλλ+⊥⇒+⋅=⇒+=⇒=-，故选A ．
2：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考2） 2：设()2+i 1+2i z =，则z 的虚部为（ ）
A ．5
B ．25
C ．25
D ．5 方法提供与解析：（宁波汪灿泉） 解析：)
1+2i
52i 255
2+i 5z -=
=
=
，故选D ．
3：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考3）
3：已知 a ，b ，c 表示直线，α表示平面，给出下列命题：①若a α∥，b α∥，那么a b ∥； ②若b α⊂，a α∥，那么a b ∥；③若a c ⊥，b c ⊥，那么a b ⊥；④若a α⊥，b α⊥，那么a b ∥． 其中正确的命题个数是（ ）
A ． 0
B ． 1
C ． 2
D ． 3
方法提供与解析：（宁波汪灿泉）
解析：
对于①，直线a ，b 可能平行，可能相交，故错误；对于②，直线a ，b 可能平行，可能异面，故错误； 对于③，直线a ，b 可能平行，可能相交，也可能异面，故错误； 对于④，按照线面垂直的性质定理得a b ∥，故正确；综上，故选B ．
4：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考4）
4：《九章算术》中记录的“羡除"是算学和建筑学术语，指的是一段类似隧道 形状的几何体，如图，羡除ABCDEF 中，底面ABCD 是正方形，EF ∥平面ABCD ，
2EF =，其余棱长都为1，则这个几何体的外接球的体积为（ ）
A ． 2π
B ． 4π
3
C ．
82π
D ． 4π
方法提供与解析：（宁波汪灿泉）
解析：
1
2
HF =
，2232GF HG GF HF =-所以2OM HG ==，2AM =， 所以221OA OM AM =+，1OE =，所以1OA OB OC OD OE OF ======， 即这个几何体的外接球的球心为O ，半径为1，
所以外接球的体积为344
ππ33
V R ==，故选B ．
5：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考5）
5：某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共
有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社 团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极 拳社团的有12名，则（ ）
A ．这五个社团的总人数为100
B ．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C ．这五个社团总人数占该校学生人数8%
D ．从这五个社团中任选一人，其来脱口秀社团或舞蹈社团的概率为50%
方法提供与解析：（宁波汪灿泉） 解析：
这五个社团的总人数为
88010%=，804%2000=，AC 错误．因为太极拳社团人数的占比为12
8
⨯10%=15%， 所以脱口秀社团人数的占比为1-10%-15%-30%-25%=20%，B 正确．从这五个社团中任选一人， 其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为25%+20%=45%，D 错误．故选：B ．故选B ．
6：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考6）
6：已知平面上三点坐标为()2,1A -，()0,2B ，()1,0C ，小明在点B 处休息，一只小狗沿AC 所在直 线来回跑动，则小狗距离小明最近时所在位置的坐标为（ ）
A ． 311,88⎛⎫- ⎪⎝⎭
B ．519,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭
C ．13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭
D ． 37,55⎛⎫
- ⎪⎝⎭
方法提供与解析：（宁波汪灿泉）
解析： 1121
AC AC k l -==-⇒-：1y x =-+，设小狗的位置为点P ，当BP AC ⊥，小狗距离小明最近，此时直线的
方程为2y x =+，联立12213
2
x y x y x y ⎧=-⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩，所以小狗离小明最近时所在的位置为13,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，故选C ．
7：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考7）
7：高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”咏春社”音乐社”三个社团的 选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立。

假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐
社”三个社团的概率分别为a 、b 、14，该同学可以进入两个社团的概率为1
5
，且三个社团都进不了的
概率为3
10，则ab =（ ）
A ．320
B ．110
C ．115
D ．15
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩）
解析：
由题意可知，该同学可以进入两个社团的概率为15，则()()11
1111144
45ab a b b a ⎛⎫⋅-+-+-= ⎪⎝⎭，
又三个社团都进不了的概率为
310，则()()13
111410a b ⎛⎫---= ⎪⎝⎭
，解得ab =110，故选B
8：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考8）
8：在ABC ∆中，9AB AC ⋅=，()sin cos sin A C A C +=，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上动点，
且CA CB CP x y CA
CB
=⋅
+⋅
，则
21
x y
+的最小值为（
） A ．1112B
．116 C ．
116 D ．
11
12
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩）
解析：
设AB c =，AC b =，根据题意得：cos 9cos 1
sin 62
bc A b c A bc A ⎧
⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎩，解得：35b c =⎧⎨=⎩，4sin 5A =，3
cos 5A =，所以4CB a ==，
34CA CB
x y
CP x y CA CB CA
CB ∴=⋅
+⋅
=+，
,,A P B 三点共线，134
x y
∴+=，212134x y x y x y ⎛⎫⎛
⎫∴+=++ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
11111112321212x y y x =
++≥++
，当且仅当32x y
y x =时，即(()
6463,55x y -==时成立， 故选A
9：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考9） 9：【多选题】下列结论正确的是（ ）
A ．若A ，
B 互为对立事件，()1P A =，则()0P B = B ．若事件A ，B ，
C 两两互斥，则事件A 与B C 互斥
C ．若事件A 与B 对立，则()1P A B =
D ．若事件A 与B 互斥，则它们的对立事件也互斥
方法提供与解析：（杭州俞蒙恩） 解析：
若A ，B 互为对立事件，()1P A =，则A 为必然事件，故B 为不可能事件，则()0P B =，故A 正确； 若事件A ，B ，C 两两互斥，则事件A ，B ，C 不能同时发生，则事件A 与B C 也不可能同时发生，
则事件A 与B
C 互斥，故B 正确；若事件A 与B 对立，则()()()1P A B P A P B =+=，故C 正确；
若事件A ，B 互斥但不对立，则它们的对立事件不互斥，故D 错误；故选：ABC ．
10：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考10） 10：【多选题】下列说法中错误的为（ ）
A ．己知()1,2a =，()1,1b =且a 与a λb +的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
B ．向量()12,3e =-，213,24e ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
不能作为平面内所有向量的一组基底
C ．非零向量a ，b ，满足a b <且a 与b 同向，则a b >
D ．非零向量a 和b ，满足a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为30 方法提供与解析：（浙江绍兴杨铸） 解析：
对于A ：因为()1,2a =，()1,1b =，且a 与a λb +的夹角为锐角，所以()(1,2)(1,2)a a b λλλ⋅+=⋅++=
142350λλλ+++=+>，且0λ≠（0λ=时，a 与a b +的夹角为0），所以5
3
λ>-且0λ≠，故A 错误；
对于B ：向量124e e =，即共线，故不能作为平面内所有向量的一组基底，故B 正确；
对于C ：向量是有方向的量，不能比较大小，故C 错误； 对于D ：因为a
a b ，两边平方得，2
2b a b =⋅，又a b =，则()
2
232
a a
b a a b a ⋅+=+⋅=
，(
)
2
2223a b a b
a a
b b a +=
+=+⋅+=，故()
2332cos ,23a a a b a a b a a b a a
⋅++===
⋅+⋅， 而向量的夹角范围为[0,180]，所以a 和a b +的夹角为30，故D 正确．故选：A ，C ．
11：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考11）
11：31111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11ADD A 内(含边界)运动， 则下列结论正确的是（ ）
A ．若点P 在1AD 上运动，则1P
B A D ⊥ B ．若//PB 平面11B CD ，则点P 在1A D 上运动
C ．存在点P ，使得平面PB
D 截该正方体的截面是五边形 D ．若2PA PD =，则四棱锥P ABCD -的体积最大值为1 方法提供与解析：（浙江绍兴杨铸） 解析：
对于A ：因为AB ⊥平面11ADD A ，而1A D ⊂平面11ADD A ，所以1AB A D ⊥， 而11AD A D ⊥，1
1,,AD AB A AD AB =⊂平面1ABD ，所以1A D ⊥平面1ABD ，
因为点P 在1AD 上运动，所以PB ⊂平面1ABD ，因此1PB A D ⊥，A 正确； 对于B ：连接1,A B BD ，因为11//,BD B D BD
平面11B CD ，
11B D ⊂平面11B CD ， 所以//BD 平面11B CD ，同理1//A D 平面11B CD ，而11,,A D
BD D A D BD =⊂平面1A BD ，
因此平面1//A BD 平面11B CD ，当//PB 平面11B CD ，所以有点P 在1A D 上运动，故B 正确； 对于C ：由正方体的截面的性质可知截面不可能是五边形，故C 错误；
对于D ：正方体ABCD 333，当点P 在1DD 上时，高最长，此时有：223PA PD =+， 而2PA PD =，所以22431PD PD PD =+⇒=，所以P ABCD -的体积最大值为1
3113
⨯⨯=，故D 正确．
故选：A ，B ，D ．
12：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考12）
12：【多选题】已知()11,A x y ，()22,B x y 是圆O ：221x y +=上两点，则下列结论正确的是（ ） A ．若1AB =，则3
AOB π∠= B ．若点O 到直线AB 的距离为
1
2
，则3AB =C ．若2
AOB π
∠=，则112211x y x y +-++-的最大值为 22D ．若2
AOB π
∠=
，则112211x y x y +-++-的最大值为 4
方法提供与解析：（湖州赵健鑫） 解析：
对于A ，因为圆的半径为1，所以当1AB =时，ABO △为等边三角形，则3
AOB π∠=
，故A 正确；
对于B ，由垂径定理可知，222AB r d =-d 为弦心距，因为点O 到直线AB 的距离为12
， 所以1
2d =
，因为1r =，所以3AB =B 错误；对于CD 11221122
x y x y +-+- 为单位圆上的()11,A x y ，()22,B x y 两点到直线10x y +-=的距离之和，因为2
AOB π
∠=，所以ABO △为等
腰直角三角形，设M 是AB 的中点，则OM AB ⊥，且22
2OM OA =
，则M 在以O 点为圆心，半径 2
的圆上，则()11,A x y ，()22,B x y 两点到直线10x y +-=的距离之和为M 到直线10x y +-=的距离 的两倍，因为点()0,0O 到直线10x y +-=2
2
=
M 到直线10x y +-=的距离的最大 211221
1
2
2
x y x y +-+-的最大值为2∴112211x y x y +-++-的最大值为4，故D 正确；
故选AD ．
13：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考13）
13：向量()2,1a =在向量()3,4b =方向上的投影向量坐标为 ． 方法提供与解析：（湖州赵健鑫） 解析：a 在b 方向上的投影为：2368cos ,,55916916b a b b a a b
b
b b
⋅⨯+⎛⎫
=
⋅== ⎪++⎝⎭，故填68,55⎛⎫ ⎪⎝⎭．
14：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考14）
14：定义一个新的运算：a b
ad bc c d
=-，若复数z 使
22i 322i z z =，则z = ． 方法提供与解析：（湖州赵健鑫）
解析：22i 3
4622i z z z =--=，即2442z z ++=-，所以22i z +=，即22i z =-±，故填22i -．
15：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考15）
15：“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[]0,10 内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位临湘市居民，他们的幸福感指数为 3，4，5，5，6，7，7，8，9，10．则这组数据的80%分位数是________．
方法提供与解析：（浙江慈溪史林波） 解析：
从小到大排列后，取第8个数作为第80百分位数，第8个数是8，∴80%分位数是为8.5；故填8.5
16：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考16）
16：如图，四棱锥F ABCD -的底面ABCD 是菱形，其对角线2AC =， 2BD =AE 、CF 都与平面ABCD 垂直，1AE =，2CF =，则三棱锥
E ABD -与四棱锥
F ABCD -公共部分的体积是_________．
方法提供与解析：（浙江慈溪史林波） 解析：
令EQ (Q 为AC ，BD 交点)，FA 交点为P ，连接PB ，PD ，则三棱锥P ABD -为公共部分。

A
B
C
D E
F
P
Q
A
C
E
F
P
O
Q
画出平面EFCA ，如图，过P 作PO EA ∥，则PO 为体高。

由相似可知12
PO =
，
所以体积为111133432ABD AC BD S PO PO ⋅⋅⋅=⋅⋅=
=
． 17：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考17）
17：已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，
c ，_____________．
cos sin 0B b C +=；②sin 0sin sinC a c B a b A -+=++；③22cos cos2102
A B
C ++-=．
请在以上三个条件中任选一个补充在横线处，并解答： （1）求角C 的值；
（2）若2
CA CB
c CD +==且2CD =CA CB ⋅的值．
方法提供与解析：（绍兴 徐萍）
解析1
：
（1
cos sin 0B b C +=，又sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+
=+，
cos cos sin )cos sin sin 0B C B C C B B
C ++=cos sin sin 0B C B C +=， 由于0B π<<，所以
sin 0B ≠ sin 0
C C +=，于是tan C =0C π<<，所以2
3
C π=，
若选②，由sin 0sin sinC
a c B a
b A -+=++，得
222222
10cos 22a c b a b c a b c ab C a b a c ab -+-+=⇒+-=-⇒==-++， 因0C π<<，所以得2
3
C π=；
若选③，由22cos cos2102
A B
C ++-=，有2cos()cos 202cos cos 10A B C C C ++=⇒--=，
从而有(cos 1)(2cos 1)0C C -+=，解得1cos 2C =-或cos 1C = (舍)(因为0C π<<)，所以2
3
C π=；
（2）1,()()AC AB AD a b AC BD a b b c a =+=+⋅=+⋅+-则，由2
CA CB
CD +=
，可得点D 为AB 的中点， 且有2CD CA CB =+，所以有2
2
2
248CA CB CA CB CD ++⋅==
，若
23c =，则AD BD = 又ADC BDC π∠+∠= ，所以2
2
cos cos 0ADC BDC ∠+∠=+
=，从而可得22
10CA CB +=，
所以有1028CA CB +⋅=，可得1CA CB ⋅=-
18：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考18） 18： 过点P (2，1)作直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A ，B 两点． （1）当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程；
（2）当PA PB ⋅取最小值时，求直线l 的方程．
方法提供与解析：（绍兴 徐萍） 解析：
（1）设所求的直线l 方程为
1(0,0)x x
a b a b
+=>>，21212
a b ab +=≥， ∴142AOB S ab ∆=≥于是，当且仅当211
2
a b ==，即4,2a b ==时取等号，
此时直线l 的方程为142
x x
+= ，即240x y +-=
（2）设直线l ：1(2)y k x -=-，分别令=0,0y x =，得1
(2,0),(0,12)A B k k
--，
则222211
=(44)(1)84()4PA PB k k k k
⋅++=++≥，当且仅当21k =，即1k =±时，取最小值，
又0k <，1k ∴=-，此时直线l 的方程为3=0x y +-．
19：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考19） 19：已知Rt ABC △的斜边为AB ，且(1,0)A -，(3,0)B ．求： （1）直角顶点C 的轨迹方程；
（2）直角边BC 的中点M 的轨迹方程．
方法提供与解析：（宁波胡余泽） 解析：
（1）设(,)C x y ，因为,,A B C 三点不共线，所以0y ≠， 因为AC BC ⊥，所以1AC BC k k ⋅=-，又因为1AC y k x =
+，3BC y k x =-，所以113
y y
x x ⋅=-+-， 整理得22230x y x +--=，即22(1)4x y -+=，所以直角顶点C 的轨迹方程为22(1)4(0)x y y -+=≠． （2）设(,)M x y ，00(,)C x y ，因为(3,0)B ，M 是线段BC 的中点， 由中点坐标公式得00
30
,22
x y x y ++=
=，所以0023,2x x y y =-=， 由（1）知，点C 的轨迹方程为22(1)4(0)x y y -+=≠，
将023x x =-，02y y =代入得22(24)(2)4x y -+=，即22(2)1x y -+=， 所以动点M 的轨迹方程为()()2
2210x y y -+=≠．
20：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考20） 20：为打造精品赛事，某市举办“南粤古驿道定向大赛”，该赛 事体现了“体育+文化+旅游”全方位融合发展．本次大赛分少年组、 成年组、专业组三个小组，现由工作人员统计各个组别的参赛人数以 及选手们比赛时的速度，得到如下统计表和频率分布直方图：
组数 速度（千米/小时） 参赛人数（单位：人）
少年组 [)6,8 300 成年组 [)8,10 600
专业组
[]10,12
b
B
x
（1）求a ，b 的值；
（2）估计本次大赛所有选手的平均速度（同一组数据用该组数据的中间值作代表，最终计算结果精确到 0.01）
； （3）通过分层抽样从成年组和专业组中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人接受采访，求接受采访 的2人都来自“成年组”的概率．
方法提供与解析：（宁波胡余泽） 解析：
（1）由频率分布直方图可知0.10.150.30.150.11a +++++=，∴0.2a =．少年组人数为300人，
频率10.10.150.25P =+=，总人数300
12000.25
n =
=人，∴1200300600300b =--=，∴0.2a =，300b =． （2）平均速度 6.50.17.50.158.50.29.50.310.50.1511.50.19.05v =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ∴估计本次大赛的平均速度为9.05千米/小时．
（2）成年组和专业组的参赛人数分别为600人、300人．设在成年组和专业组抽取的人数分布为x ，y ，
则6600300600300
x y ==+．∴4x =，2y =．∴由分层抽样在成年组中抽取4人，专业组中抽取2人． 设成年组中的4人分别用A ，B ，C ，D 表示；专业组中的2人分别为a ，b 表示．从中抽取两人接受采访 的所有结果为：AB ，AC ，AD ，Aa ，Ab ，BC ，BD ，Ba ，Bb ，CD ，Ca ，Cb ，Da ，Db ，ab 共15种． 接受采访的两人均来自成年组的所有结果为：AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD 共6种．
故接受采访的两人都来自成年组的概率为62
155
=．
21：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考21）
21：如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，4PA AD ==，2AB =，
PA ⊥平面ABCD ，且M 是PD 的中点．
（1）求证：AM ⊥平面PCD ；
（2）求异面直线CD 与BM 所成角的正切值； （3）求平面MAB 与平面MBC 所成的夹角的大小．
方法提供与解析：（浙江绍兴+谢柏军） 解析： （1
）
PA ⊥面ABCD ，PA DC ∴⊥，PA AD ⊥，矩形ABCD ，CD AD ∴⊥，
CD PA ⊥，CD AD ⊥，PA PAD ⊂面，AD PAD ⊂面，PA
AD A =，
CD PAD ∴⊥面，CD AM ∴⊥，AP AD =，M 为PD 中点，AM PD ∴⊥，
AM CD ⊥，AM PD ⊥，PD PCD ⊂面，CD PCD ⊂面，PD CD D =，AM PCD ∴⊥面；
（2）矩形ABCD ，//CD AB ∴，CD ∴与BM 所成角即AB 与BM 所成角，由（1）知CD PAD ⊥面，
AB PAD ∴⊥面，ABM ∴∠即AB 与BM 所成角，4PA PD =
=，PA AD ⊥，M 为PD 中点，
AM ∴=tan AM
ABM
AB
∴∠==， ∴异面直线CD 与BM （3）PA ABCD ⊥面，矩形ABCD ，PA AB ∴⊥，PA AD ⊥，AB AD ⊥， 以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴建立坐标系，
()0,0,0A ，()2,0,0B ，()2,4,0C ，()0,4,0D ，()0,0,4P ，()0,2,2M ，
设面MBC 的法向量为()111,,n x y z =，
n BM n BC ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩，即1111222040x y z y -++=⎧⎨=⎩，10y ∴=，令11x =，则11z =，()1,0,1n ∴=， PD AM ⊥，PD AB ⊥，AM ABM ⊂面，AB ABM ⊂面，AB AM A =，PD ABM ∴⊥面
MAB ∴面的法向量为()0,4,4PD =-，
41
cos ,2
422
PD n PD n PD n
⋅<>=
=
=
⋅，∴平面MAB 与平面MBC 所成的夹角的大小为60︒． 22：（2022学年湖北部分重点中学高二上第一次月考22）
22：在2021年6月17日，神舟十二号载人飞船顺利升空并于6.5小时后与天和核心舱成功对接． 如图，是神舟十二号飞船推进舱及其推进器的简化示意图，半径相等的圆1234,,,I I I I ，与圆柱1OO 底面 相切于,,,A B C D 四点，且圆1I 与22,I I 与33,I I 与44,I I 与1I 分别外切，线段1A A 为圆柱1OO 的母线．点M 是 线段 11A O 中点，点N 在线段1CO 上，且12CN NO =．已知圆柱1OO ，底面半径为12,4AA =．
（1）求证：//AM 平面BDN ；
（2）线段1AA 上是否存在点E ，使得OE ⊥平面BDN ? 若存在，请求出AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图，是飞船推进舱与即将对接的天和核心舱的相对位置的简化示意图．天和核心舱为底面半径 为2 的圆柱23O O ，它与飞船推进舱共轴，即123O,O ,O ,O 共线．核心舱体两侧伸展出太阳翼，其中三角 形RST 为以 RS 为斜边的等腰直角三角形，四边形PQRS 为矩形．已知推进舱与核心舱的距离为4，即 124O O =，且 232,7O O RS PS ===．在对接过程中，核心舱相对于推进舱可能会相对作出逆时针旋转
的运动，请你求出在舱体相对距持不变的情况下，在舱体相对旋转过程中，直线1A P 与平面PQRS 所成 角的正弦值的最大值．
方法提供与解析：（浙江义乌朱小坤） 解析：
（1）证明：如图1,,M N ''分别是点,M N 在线段AC 上的投影， 则M '为AO 的中点，N '为OC 的三等分点，
所以4
tan 41
MM MAM AM '∠'==='，12
3tan 413
OO
NN NON ON OC '∠'=
=='， 所以MAM NON ∠'=∠'， 则 //AM ON ， 又因为AM ⊂/平面,BDN ON ⊂平面BDN ，
所以//AM 平面;BDN
（2）以O 为原点，分别以1,,OA OB OO 所在方向为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则28(0,0,0),(0,2,0),(0,2,0),,0,33O B D N ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭， 设(2,0,)(04)E t t ≤≤，
所以28(0,4,0),,2,,(2,0,)33DB DN OE t ⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
，若OE ⊥平面 BDN ，
则048103320
OE DB t t OE DN ⎧⋅=⎪⇒-+=⇒=⎨⋅=⎪⎩， 即12AE =时，OE ⊥平面.BDN
（3）将矩形PQRS 作为参照物，不妨设1A 顺时针旋转(0)αα>， 则1(2cos(),2sin(),4)A αα--，即1(2cos ,2sin ,4),(10,0,8)A P αα-，
所以1(102cos ,2sin ,4)A P αα=-，因为y 轴⊥平面PQRS ，则平面PQRS 的一个法向量为(0,1,0)u =， 设1A P 与平面PQRS 所成的角为θ，
则21221cos sin cos ,3cos 10(102cos )4sin 16
A P u α
θααα-===--++ 若cos 1α=±， 则sin 0θ= ；
若1cos 1α-<<，令3cos (2,4)t α=-∈， 则81105
sin 6
4261010
t t θ-⎛⎫
=
-++⋅-+ ⎪⎝
⎭， 当且仅当2t = 即cos 322α=-sin θ105
-。