辽宁省大连市2017-2018学年高二上学期期末考试数学(文

大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷
高二数学（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“”的否定是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】全称命题的否定是特称命题,故选.
2. 在等比数列中，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】等比数列的性质可知,故选.
3. 命题，命题，则是的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件【答案】A
【解析】试题分析：当时可得到，反之不成立，所以是的充分不必要条件
考点：充分条件与必要条件
4. 已知实数满足，则的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】画出可行域如下图所示,由图可知目标函数在点处取得最大值为,故选.
5. 双曲线的离心率等于，则该双曲线的焦距为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】依题意可知,,,故选.
6. ，且，则下列结论正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】令,代入验证,排除.令,代入验证,排除,故选.
7. 为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，垂直于轴，且三角形为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由于轴,所以,依题意可知,即,两边除以得
,解得.故选.
8. 数列的前项和，当取最小值时的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】二次函数的开口向上,对称轴为,故当或时,取得最小值.故选.
9. 已知直线与曲线相切，则的值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查导数的运算，导数的几何意义及导数的应用.
............
10. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的
解集为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,由于解决为,故,且,故的开口向下,两个根为,所以解集为.故选.
11. 为双曲线上的任意一点，则到两条渐近线的距离乘积为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】不妨设,双曲线渐近线为.点到的距离为,故成绩为.
【点睛】本小题主要考查双曲线的概念与性质,考查双曲线上的点到渐近线的距离的成绩为定值.由于本题是一个定值问题,再结合题目是一个选择题,故可以采用特殊点,计算点到渐近线
的距离然后相乘,即可得到所求的结果.双曲线的渐近线是令求解出来.
12. 已知函数，若，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】画出函数的图象如下图所示.由图可知,当和相切时,斜率取得最小值,将代入,化简得,判别式,所以的取值范围是,故选.
【点睛】本小题主要考查函数图象与性质,考查含有绝对值函数图象的画法,考查直线和二次曲线相切的表示方法,即判别式为零. 应用函数零点的存在情况求参数的值或取值范围常用的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知的最大值为___．
【答案】
【解析】由基本不等式得.
14. 函数的单调递增区间是___．
【答案】
【解析】,由题意，解得，所以函数的递增区间是.
15. 已知抛物线和点,质点在此抛物线上运动，则点与点距离的最小值为___．【答案】
【解析】设,由两点间的距离公式得
.
16. 等差数列与的前项和为分别为和，若，则___．
【答案】
【解析】.
【点睛】本小题主要考查等差数列前项和公式,考查等差数列的性质. 这些题都是等差数列的性质的应用,熟记等差数列的性质,并能灵活运用是解这一类题的关键,注意等差数列与等比
数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用．另外注意不能直接代入计算.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 过抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于两点.
求证：
【答案】证明见解析
【解析】【试题分析】当直线斜率不存在时,可求得两点的坐标,可得成立.当直线斜率存在时,用点斜式设出直线方程,联立直线方程和抛物线方程,消去,用韦达定理证明. 【试题解析】
当过焦点的直线垂直于轴时，则成立，
当直线不与轴垂直时，设
得
所以 .
18. 已知函数
（1）当时，求的极大值；
（2）当为何值时，函数有个零点.
【答案】(1)；(2).
【解析】【试题分析】(1)时,对函数求导,写出单调区间,可得到极大值.(2)对函数求导,得到函数的单调区间和极大值与极小值,只需要极大值大于零,极小值小于零就符合题意,由此解得的取值范围.
【试题解析】
（1）由解得或
解得
所以当时有极大值
（2）由解得
的单调增区间是和当时，是减函数；
的极大值极小值为
所以且所以
19. 已知是椭圆的一个顶点，焦点在轴上，其右焦点到直线：的距离等于（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，若为中点，求直线方程.
【答案】(1)；(2).
【解析】【试题分析】(1)由题知,利用焦点到直线的距离求出,进而得到和椭圆的标准方程.(2)设出两点的坐标,代入椭圆方程,利用点差法求得直线的斜率,用点斜式得到直线方程.
【试题解析】
（1）由题知，
（2）
所以.
所以直线方程为，即.
【点睛】本小题主要考查椭圆方程的求法,考查点到直线的距离公式,考查点差法求解有关中点弦的问题. 处理直线与圆锥曲线相交时候的相交弦长和中点问题时，利用根与系数的关系或者中点坐标公式，涉及弦的中点，还可以利用点差法．设点的坐标,并没有求出来,这就是设而不求的思想.
20. 已知数列的前项和，数列的每一项都有.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前项和.
【答案】(1)；(2).
【解析】【试题分析】(1)利用求得数列的通项公式.(2)数列前项为正数,从第项起为负数,故将分成两类,求解出数列的前项和.
【试题解析】
（1）
（2）
21. 已知函数
（1）求的单调区间；
（2）当时，若恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)f(x)在上是增函数，在上是减函数；(2).
【解析】【试题分析】(1)求函数的定义域,求导后写出单调区间.(2)原不等式等价于恒成,构造函数,利用导数求得函数的最小值,由此求得实数的取值范围.
【试题解析】
（1）f(x)定义域为，，
，解得，，解得，
∴f(x)在上是增函数，在上是减函数；
（2）不等式等价于，令，，
，解得，，解得，
∴g(x)在上是减函数，在上是增函数，
g(x)在时取最小值，∴，
故A的最佳取值为
【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性,函数导数与不等式恒成立问题的解法. 不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．
22. 已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长，焦点，点，且
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆过坐标原点，
若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由.
【答案】(1)；(2)答案见解析.
【解析】【试题分析】(1)利用列方程,可求得,由题意可知,由此求得,且出去椭圆的标准方程.(2) 设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,写出韦达定理,利用圆的直径所对的圆周角为直角,转化为两个向量的数量积为零建立方程,由此求得的值.
【试题解析】
（1）由题意知，
由，得，解得：
椭圆的方程为
离心率为
（2），设直线的方程为
联立，得
设，则
由已知得，得，即
解得：，
符合直线的方程为.。