具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析

第38卷第1期2021年02月
工程数学学报
CHINESE JOURNAL OF ENGINEERING MATHEMATICS
Vol.38No.1
Feb.2021
doi:10.3969/j.issn.1005-3085.2021.01.008文章编号:1005-3085(2021)01-0085-12具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析
李海侠
(宝鸡文理学院数学与信息科学学院，宝鸡721013)
摘要:本文讨论一类具有B-D反应函数和Allee效应的捕食-食饵扩散模型正解的存在性、唯一性和多重性．首先运用不动点指数理论得到了正解存在的充分条件．接着利用特征值的变分原理给出了正解的唯一性条件．最后通过分析极限系统的正解，运用不动点指数理论、分歧理论和扰动理论确定了正解的确切重数和稳定性．讨论结果表明：只要Allee效应常量满足适当关系且捕食者的增长率较大，当参数满足适当条件时系统存在唯一正解，当食饵的增长率在一定范围内时系统恰好存在两个正解．
关键词:捕食-食饵模型；Allee效应；唯一性；不动点指数理论；扰动理论；确切重数；稳定性分类号:AMS(2010)35K57;35B35中图分类号:O175.26文献标识码:A
1引言
1931年Allee在研究过程中发现群居的生活状态有利于种群的增长，但是密度太大又会抑制种群的生长甚至会因为资源争夺而走向灭绝．对于每一个种群来说，必定存在着它独立的最适合自身生长繁殖的最佳密度，这就是Allee效应．已有大量的理论和实验证明，Allee效应与种群的灭绝密切相关，在很大程度上能增加低密度种群的灭绝风险，尤其对小种群、分散种群、稀有种群以及濒临灭绝种群的动力学行为具有非常大的影响．因此，研究具有Allee效应的生物模型对生物保护具有很重要的意义，近年来受到了生物学家和数学家的很大关注[1-10]．
本文在齐次Dirichlet边界条件下考虑如下具有B-D反应函数和Allee效应捕食-食饵扩散模型
−∆u=u(a1−u−m
u+k1
)−p1uv
b+cu+dv
,x∈Ω,
−∆v=v(a2−p2v
u+k2
),x∈Ω,
u=v=0,x∈∂Ω,
(1)
其中Ω是R N中带有光滑边界∂Ω的有界区域，u和v分别表示食饵和捕食者的浓度，a1和a2分别是u和v的最大增长率．m
u+k1
是加法Allee效应项，m和k1是Allee效应常量，反映了Allee效应的强弱程度．p2表示捕食者获得的平均减少率的最大值，k2表示环境对捕收稿日期:2018-08-27.作者简介:李海侠(1977年8月生)，女，博士，副教授.研究方向：偏微分方程计算及其可视化.
基金项目:国家自然科学基金(61672021;11801013)；陕西省自然科学基础研究计划项目(2018JQ1066)；宝鸡市科技计划项目(2018JH-20)；宝鸡文理学院博士科研项目(ZK2018069).
86工程数学学报第38卷
食者的保护程度．(1)中的参数a1,a2,k1,k2,p1,p2,m,b,c,d都是正常数且m<a1k1．当c=d=0时，文献[3]在齐次Neumann边界条件下讨论了系统唯一正常数解的稳定性以及非常数正解的存在性和不存在性．当d=0时，文献[4]在齐次Neumann边界条件下讨论了不具有扩散系统和具有扩散系统的定性性质．不考虑扩散的情形下文献[8]在齐次Neumann边界条件下研究了系统非常数正解的存在性和不存在性．然而，由于加法Allee效应项的引入使得系统的研究变得复杂，所以目前在齐次Dirichlet边界条件下对具有加法Allee效应捕食-食饵扩散模型的研究很少见．文献[6]利用稳定性理论和度理论考察了系统(1)参数p1充分小时正解的唯一性和稳定性，接着分析了参数c充分大时正则扰动下正解的多重性，此扰动的分析较简单．而本文除了利用特征值变分原理得到系统(1)正解的唯一性条件外，主要讨论参数c充分大时奇异扰动下正解的稳定性和确切重数，而且此情形的讨论比文献[6]的正则扰动复杂的多．本文的工作是对文献[6]的补充和完善．
为了得到重要的结论，这节最后我们给出一些预备知识．
令q(x)∈C(Ω),λ1(q)是如下特征值问题的主特征值
−∆ψ+q(x)ψ=λψ,x∈Ω,ψ=0,x∈∂Ω,
则λ1(q)连续依赖q，λ1(q)是简单的．而且，如果q1≤q2,q1≡q2，则λ1(q1)<λ1(q2)．为了简单起见，定义λ1(0)为λ1，相应于λ1的主特征函数记为ψ1．
非线性问题
−∆u=u(a−ru),x∈Ω,u=0,x∈∂Ω.(2)
众所周知，若a>λ1，则(2)存在唯一正解．我们定义唯一正解为θ(a,r)．特别地，记θ(a,1)为θa，则θa<a且θa连续依赖a．
2正解的存在性、不存在性和唯一性
考虑单物种问题
−∆u=u (
a1−u−
m
u+k1
)
,x∈Ω,u=0,x∈∂Ω,(3)
易知，当m<k2
1,a1>λ1+m
k1
时，(3)存在唯一正解，记为u∗．而且u∗<θa
1
<a1．因
此，在一定条件下系统(1)存在半平凡解(u∗,0)和(0,θ(a
2,p2
k2
)
)．简单起见记θ(a
2
,p2
k2
)
为v∗．
根据文献[6]可得如下引理．
引理1[6]系统(1)的任意正解(u,v)有先验估计
u(x)<a1,v∗<v(x)<Q,Q=a2(k2+a1)
p2
.
引理2[6]如果系统(1)有正解，则a1>λ1,a2>λ1．
第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析87为了计算不动点指数，引入以下记号
C0(Ω)={
u∈C(Ω):u=0,x∈∂Ω
}
,E=C0(Ω)⊕C0(Ω),
K={
u∈C(Ω):u≥0,x∈Ω
}
,W=K⊕K,
D={
(u,v)∈W:u≤a1+1,v≤Q+1
}
.
取q充分大，使得q>max{m/k1+p1/d,a2(a1+k2)/k2}．定义算子A:E→E为
A(u,v)=(−∆+q)−1
u
(
a1−u−m
u+k1
)
−p1uv
b+cu+dv
+qu
v
(
a2−p2v
u+k2
)
+qv
.
引理3[6](i)设a1=λ1+m k
1,a2=λ1．若a1>λ1+m
k1
或a2>λ1，则index W(A,(0,
0))=0；若a1<λ1+m
k1
且a2<λ1，则index W(A,(0,0))=1；
(ii)index W(A,D)=1；
(iii)设m<k2
1,a1>λ1+m
k1
．若a2>λ1，则index W(A,(u∗,0))=0；若a2<λ1，则
index W(A,(u∗,0))=1；
(iv)设a2>λ1．若a1>λ1(p1v∗
b+dv∗)+m
k1
，则index W(A,(0,v∗))=0；若a1<
λ1(p1v∗
b+dv∗)+m
k1
，则index W(A,(0,v∗))=1．
最后由引理3并结合度的可加性可得系统(1)正解存在的充分条件，证明省略．定理1若
m<k2
1,a1>λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
,a2>λ1,
则系统(1)至少存在一个正解．
由引理2可得系统(1)正解的不存在性．
定理2如果下面的条件之一成立，则系统(1)没有正解．
(i)a1≤λ1；(ii)a1>λ1且a2≤λ1；
(iii)a2>λ1且a1≤λ1(k2p1θa2
bp2+cp2a1+k2dθa
2
)．
证明只证明(iii)．首先根据最值原理易证得v>k2
p2θa
2
．于是
−∆u<u (
a1−u−
k2p1
p2
θa
2
b+cu+k2d
p2
θa
2
)
<u
[
a1−
k2p1θa
2
bp2+cp2a1+k2dθa
2
]
.
故当a1≤λ1(k2p1θa2
bp2+cp2a1+k2dθa
2)时，系统(1)无正解．
这节最后利用特征值的变分原理给出系统(1)正解存在的唯一性条件．
定理3设a1>λ1+p1Q
b+dQ +m
k1
,a2>λ1．令 =max{sup
Ω
u∗
v∗
,sup
Ω
v∗
u∗
}．若
p1cQ b(b+dQ)+
m
k2
1
≤1且p21(a1+k2)
b2p2
+p2Q
2
k3
2
+4m
k2
1
+
4p1c
bd
≤4,
则系统(1)存在唯一正解．
88
工程数学学报第38卷
证明根据已知条件和定理1可知系统(1)存在正解．采用反证法证明唯一性．假设
系统(1)存在两个不同的正解(u 1,v 1)和(u 2,v 2)，其中u i >0,v i >0(i =1,2)．由比较原理和引理1可知u ∗≤u i ≤u ∗,v ∗≤v i ≤v ∗，这里u ∗,v ∗分别为如下问题的唯一正解
−∆u =u (a 1−u −
m
k 1−p 1Q b +dQ
),x ∈Ω,u =0,x ∈∂Ω,
−∆v =v (a 2−p 2v a 1+k 2
)
,x ∈Ω,
v =0,
x ∈∂Ω.
令Φ=u 1−u 2,Ψ=v 1−v 2，则
−∆Φ−(
a 1−u 1−
m u 1+k 1−p 1v 1
b +cu 1+dv 1
)Φ+u 2Φ
−
mu 2Φ(u 1+k 1)(u 2+k 1)+p 1u 2[(b +cu 2)Ψ−cv 2Φ]
(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)
=0,
(4)−∆Ψ−(a 2−p 2v 1u 1+k 2)Ψ+p 2v 2[(u 2+k 2)Ψ−v 2Φ]
(u 1+k 2)(u 2+k 2)=0.
(5)
因为(u 1,v 1)是系统(1)的正解，所以根据特征值的变分原理可知
∫Ω
[−∆φ−(a 1−u 1−m
u 1+k 1−p 1v 1b +cu 1+dv 1)φ]φ≥0,
∀φ∈C 2
0(Ω),
∫Ω
[−∆ψ−(a 2−
p 2v 1u 1+k 2)ψ]ψ≥0,∀ψ∈C 2
0(Ω).于是，公式(4)表明
∫Ω[1−m (u 1+k 1)(u 2+k 1)−p 1cv 2
(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)]u 2Φ2d x
+
∫
Ωp 1u 2(b +cu 2)
(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)ΦΨd x ≤0.(6)
同理，由(5)式有
∫
Ω
p 2v 2
u 1+k 2
Ψ2d x −
∫
Ω
p 2v 22
(u 1+k 2)(u 2+k 2)
ΦΨd x ≤0.
(7)
令
Γ=
∫Ω
[
1−m (u 1+k 1)(u 2+k 1)−p 1cv 2
(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)]u 2Φ2d x
+∫Ω
[p 1u 2(b +cu 2)
(b +cu 1+dv 1)(b +cu 2+dv 2)−p 2v 2
2(u 1+k 2)(u 2+k 2)
]ΦΨd x
+
∫
Ω
p 2v 2
u 1+k 2
Ψ2d x.
第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析89
由假设p1cQ
b(b+dQ)+m
k2
1
≤1可推出
1−
m
(u1+k1)(u2+k1)
−p1cv2
(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)
>0.
最后，令
∆=[p
1
u2(b+cu2)
(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)
−p2v22
(u1+k2)(u2+k2)
]2
−4
[
1−
m
(u1+k1)(u2+k1)
−p1cv2
(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)
]p
2
v2u2
u1+k2
.
经过计算并结合已知条件可得
∆=
p2v2u2
u1+k2
[p2
1
u2(b+cu2)2(u1+k2)
(b+cu1+dv1)2(b+cu2+dv2)2v2p2
−2p1v2(b+cu2)
(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)(u2+k2)
+
p2v3
2
(u1+k2)(u2+k2)2u2
]−4
[
1−
m
(u1+k1)(u2+k1)
−p1cv2
(b+cu1+dv1)(b+cu2+dv2)
]
<
p2v2u2
u1+k2
[p2
1
(a1+k2)
b2p2
u2
v2
+
p2Q2
k3
2
v2
u2
−4+4m
k2
1
+
4p1c
bd
]
<
p2v2u2
u1+k2
[p2
1
(a1+k2)
b2p2
+p2Q
2
k3
2
−4+4m
k2
1
+
4p1c
bd
]
≤0.
故Γ>0．而式(6)和(7)可知Γ≤0，矛盾．因此结论成立．
3正解的确切重数和稳定性
本小节应用扰动理论和不动点指数理论讨论参数c→∞时，系统(1)正解的确切重数和稳定性．易看出当c→∞时，系统(1)的正解有两种类型，即如果(u,v)是系统(1)的任意正解，则对于充分大的c，(u,v)趋于如下问题的正解
−∆u=u(a1−u−m
u+k1
),x∈Ω,
−∆v=v(a2−p2v
u+k2
),x∈Ω,
u=v=0,x∈∂Ω,
(8)
或者(cu,v)趋于如下问题的正解
−∆w=w(a1−m
k1
−p1v
b+w+dv
),x∈Ω,
−∆v=v(a2−p2v
k2
),x∈Ω,
w=v=0,x∈∂Ω.
(9)
引理4[6]如果m<k2
1,a1>λ1+m
k1
,a2>λ1，则(8)有唯一非退化且线性稳定的
正解．
90
工程数学学报第38卷
定理4[6]
设m <k 2
1,a 2>λ1．对于任意小的ϵ>0，存在充分大的C (ϵ)，使得
当c ≥C (ϵ)时，若
λ1+m k 1+ϵ≤a 1<λ1(p 1
v ∗b +dv ∗)+m k 1
,
则系统(1)至少存在两个正解．
如果a 2>λ1，则问题(9)等价于如下问题
−∆w =w (a 1−m k 1−p 1v ∗
b +w +dv ∗
),x ∈Ω,w =0,
x ∈∂Ω.(10)
对于问题(10)，用类似文献[11]的证明方法有如下引理．引理5
设a 2>λ1，则(10)存在正解当且仅当λ1+
m k 1
≤a 1≤λ1(p 1v
∗
b +dv ∗
)+m
k 1
且所
有正解不稳定．而且存在充分小的ϵ0，使得当
a 1∈(λ1+m k 1,λ2+m k 1]∪[λ1(p 1v ∗
b +dv ∗)+m k 1−ϵ0,λ1
(p 1
v ∗b +dv ∗)+m k 1)时，(10)的正解(若存在)唯一且非退化．
引理6
若λ1+
m
k 1
≤a 1≤λ1(p 1v
∗
b +dv ∗)+m k 1
,a 2>λ1，则(9)存在正解且不稳定．引理2和定理1表明系统(1)正解存在的必要条件和充分条件存在代沟．下面的引理
给出当a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m
k 1
)且c 充分大时，系统(1)恰好有两种类型的正解．引理7
设m <k 2
1,a 2>λ1．对任意小的ϵ,δ>0，存在充分大的C (ϵ,δ)，使得若
c ≥C (ϵ,δ),a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1
v ∗b +dv ∗)+
m k 1
)且(u,v )是(1)的正解，则：
(a)∥u −u ∗∥C 1+∥v −v ∗∗∥C 1≤δ；
(b)∥cu −w ∥C 1+∥v −v ∗∥C 1≤δ；这里w 是(10)的正解，v ∗∗为如下问题的正解
−∆v =v (a 2−p 2v u ∗+k 2
)
,x ∈Ω,
v =0,x ∈∂Ω.
而且，若(a)情形出现，则正解(u,v )非退化且线性稳定．
证明
采用反证法证明．假设存在
a 1,i →a 1∈[λ1+m k 1+ϵ,λ1(p 1
v ∗b +dv ∗)+
m k 1
),c i →∞,
以及(1)的正解(u i ,v i )远离(u ∗,v ∗∗)且(c i u i ,v i )远离(9)的任意正解．根据L p 估计和So-
bolev 嵌入定理假定在C 1(Ω)中u i →u,v i →v ．分析以下两种情况：
(i)若c i ∥u i ∥∞→∞，则当i →∞时，u i →u ∗．因此v i →0或v i →v ∗∗．而a 2>λ1，所以必有v i →v ∗∗，即(u i ,v i )→(u ∗,v ∗∗)．这与假设(u i ,v i )远离(u ∗,v ∗∗)矛盾；
(ii)若c i ∥u i ∥∞一致有界，则当i →∞时，u i →0．于是v i →v ∗．设c i u i =w i ，则w i 满足
−∆w i =w i (a 1,i −u i −m u i +k 1−p 1v i
b +w i +dv i
),x ∈Ω,w i =0,x ∈∂Ω.(11)
第1期李海侠：具有Allee 效应的捕食-食饵扩散模型定性分析
91
∥w i ∥∞一致有界，所以由L p 估计和Sobolev 嵌入定理假定在C 1(Ω)中w i →w ．对(11)式取极限，不难看出w 满足(10)式．如果w ≥0,≡0，则由Harnack 不等式可知w >0．因此，(w,v ∗)是(9)的正解，这与假设(c i u i ,v i )远离(9)的任意正解矛盾．因此，w ≡
0，则(w i ,v i )→(0,v ∗)．令˜w i =w i
∥w i ∥∞
，则−∆˜w i =˜w i (a 1,i −u i −m u i +k 1−p 1v i
b +w i +dv i
),x ∈Ω,˜w i =0,x ∈∂Ω.
故a 1,i →λ1(p
1v
∗
b +dv ∗
)+m k 1
．利用局部分歧定理[12]易验证(λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1,0,v ∗
)是(9)的分歧点，则在(λ1(p 1v
∗
b +dv ∗)+m k 1,0,v ∗)的邻域内(9)存在正解．因此存在ˆa 1,i →λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m
k 1
，使得系统(9)有正解(ˆw i ,v ∗)→(0,v ∗)．于是，当i →∞时，(a 1,i ,c i u i ,v i )接近于(ˆa 1,i ,ˆw i ,v ∗)，又与假设(c i u i ,v i )远离(9)的正解矛盾．故定理的第一部分成立．
接下来证明剩余部分．易看出当情形(a)发生时，(1)是(8)的正则扰动．于是通过引理4和标准的扰动理论可知正解(u,v )非退化且线性稳定．
引理8设m <k 2
1,a 2>λ1．存在充分小的ϵ1>0(ϵ1<ϵ0)和充分大的C 1>0，使
得如果
c ≥C 1,a 1∈[
λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1−ϵ1,λ1
(p 1
v ∗b +dv ∗)+m k 1
)
,则系统(1)恰好有两个正解，一个渐近稳定而另一个不稳定，这里ϵ0在引理5中给出．
证明
根据引理7分两步证明．首先证明当c 充分大时，(1)接近(u ∗,v ∗∗)的正解唯
一且渐近稳定．引理7可知系统(1)接近(u ∗,v ∗∗)的任意正解非退化且渐近稳定．故只需证明接近(u ∗,v ∗∗)的正解(u,v )唯一．取δ′>δ充分小，这里δ在引理7中给出．设
ˆD
={(u,v )∈E :u ∗−δ′<u <u ∗+δ′,v ∗∗−δ′<v <v ∗∗+δ′},取τ∈[0,1]和充分大的常数P ．定义算子F τ:ˆD
→W 为F τ(u,v )=(−∆+P )
−1 u (a 1−u −m
u +k 1)−τp 1uv b +cu +dv +P u v (a 2−p 2v
u +k 2
)+P v
.显然，F τ是紧的连续可微算子．(u,v )是系统(1)在ˆD
中的正解当且仅当它是F 1的正不动点．另外，由引理7可知F τ在∂ˆD
上没有不动点，因而由不动点指数的同伦不变性有index W (F τ,ˆD
)≡常数，且index W (F 1,ˆD )=index W (F 0,ˆD )．因为F 0在ˆD 内有唯一不动点(u ∗,v ∗∗)且(u ∗,v ∗∗)稳定，所以
index W (F 0,ˆD )=index W (F 0,(u ∗,v ∗∗))=1.
故index W (F 1,ˆD
)=1．另一方面，由引理7可知F 1在ˆD 内的所有正不动点非退化且线性稳定．因此根据紧算子理论可得F 1至多有有限个正解．记为{(u i ,v i ):0≤
i ≤n }．于是I −F ′
1
(u i ,v i )在W (u i ,v i )上可逆且F ′1(u i ,v i )没有大于1的实特征根．又因为W (u i ,v i )=S (u i ,v i )，所以F ′
1(u i ,v i )在W (u i ,v i )上不具有性质α．故根据文献[13]的定理1有index W (F 1,(u i ,v i ))=1．最后利用引理3和度的可加性得
1=index W (F 1,ˆD )=∑1≤i ≤n
index W (F 1,(u i ,v i ))=n.
92
工程数学学报第38卷
由此证明了系统(1)接近(u ∗,v ∗∗)的正解(u,v )唯一．
接下来证明(1)存在唯一且不稳定的类型(b)的正解．首先证明唯一性．设˜u =cu,µ=1/c ．考虑如下问题
−∆˜u =˜u (a 1−µ˜u −m µ˜u +k 1)−p 1˜u v b +˜u +dv ,x ∈Ω,
−∆v =v (a 2−p 2v
µ˜u +k 2),x ∈Ω,˜u =v =0,x ∈∂Ω.
(12)
显然，(u,v )是(1)的正解当且仅当(cu,v )是(12)带有µ=1/c 的正解．因此，只要证明(12)的正解(˜u ,v )唯一即可．对于固定的µ≥0，以a 1作为分歧参数再由局部分歧定理
可知(λ1(p
1v
∗
b +dv ∗
)+m
k 1
,0,v ∗)是(12)的单重分歧点，则存在σ>0和正分歧解曲线
Υµ={(a 1(µ,s ),˜u (µ,s ),v (µ,s )):0<s ≤σ},0≤µ≤σ,
其中
˜u (µ,s )=s (φ1+κ1(µ,s ))
,
v (µ,s )=v ∗+s (ψ1(µ)+κ2(µ,s ))
,
φ1是λ1(p 1v
∗
b +dv ∗)+m
k 1
所对应的特征函数，
ψ1(µ)=(
−∆−(
a 2−2p 2v ∗k 2))−1µp 2k 2
2
(v ∗)2
φ1>0,a 1(0,0)=λ1
(p 1
v ∗b +dv ∗)+m
k 1
,κ1(0,0)=κ2(0,0)=0.而且，(12)在(λ1(p 1v
∗
b +dv ∗
)+m
k 1
,0,v ∗)附近的所有解都在曲线Υµ上．于是只需证明对于固
定的µ≥0和适当的ϵ1，曲线Υµ一致覆盖a 1-区域
[λ1(p 1v ∗b +dv ∗)+m k 1−ϵ1,λ1
(p 1
v ∗b +dv ∗)+m k 1
)
仅一次即可．将分歧正解(a 1(µ,s ),˜u (µ,s ),v (µ,s ))代入到(12)的第一个方程中，两边同除以s 关于s 在s =0处微分并在Ω上积分得
∂a 1∂s (0,0)=−∫
Ωp 1v ∗b +dv
∗φ3
1d x <0.(13)
选择σ充分小，使得∂a 1
∂s
(µ,s )<0．因而λ1(p 1
v ∗b +dv ∗)+
m
k 1
−a 1(0,σ)=a 1(0,0)−a 1(0,σ)>0.因为a 1(µ,s )连续，所以存在σ1∈(0,σ]，使得
ϵ1=min 0≤µ≤σ1(λ1(p 1
v ∗b +dv ∗)+
m
k 1−a 1(µ,σ))>0.于是若
a 1≥λ1(p 1
v ∗b +dv ∗)+
m
k 1
−ϵ1,
第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析93则对于任意µ∈[0,σ1],a1(µ,σ)≤a1．这样我们得到对于任意的µ∈[0,σ1],Υµ一致覆
盖a1-区域[
λ1(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
−ϵ1,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
)
.
又因为∂a1
∂s
(µ,s)<0，所以每条曲线覆盖区域仅一次．取C1=1/σ1，如果
c≥C1,a1∈[
λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
−ϵ1,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
)
,
则(1)恰好有唯一(b)类型的正解．
最后，我们证明(b)类型的正解不稳定．令L1是(1)在(u,v)处带有特征值η1和特征函数(ξ1,ζ1)的线性化算子．令L2是(12)在(cu,v)处带有特征值η2和特征函数(ξ2,ζ2)的线性化算子．易证ξ1=ξ2,ζ1=cζ2,η1=η2．于是证明(12)于(cu,v)处的线性化算子在分歧曲线Υµ的任意点处有负的特征值γ即可．通过文献[14]可得存在ν>0和C1函数
α:(−ν,ν)×(
λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
−ν,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
+ν
)
→R1,
β:(−ν,ν)×(−ν,ν)→R1,
使得α(µ,a1)是(12)在(a1,0,v∗)处线性化算子的特征值，β(µ,s)是(12)在(a1(µ,s),˜u(µ, s),v(µ,s))(0≤µ,s≤ν)处线性化算子的特征值．进而，如果
∂α∂a1(
0,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
)
=0,
则
lim s→0s∂a1
∂s
(0,s)∂α
∂a1
(0,λ1(p1v∗
b+dv∗
)+m
k1
)
β(0,s)
=−1.(14)
下面，我们证明∂α
∂a1(µ,λ1(p1v∗
b+dv∗
)+m
k1
)<0．从上面的讨论很容易看出α(µ,a1)是如下特
征值问题
−∆χ−(
a1−
p1v∗
b+dv∗
−m
k1
)
χ=α(µ,a1)χ,x∈Ω,χ=0,x∈∂Ω
的一个特征值．于是∂α
∂a1(µ,λ1(p1v∗
b+dv∗
)+m
k1
)<0．最后结合(13)和(14)，可得β(0,s)<
0．这表明类型(b)的正解不稳定．
基于上面引理，这节最后给出c充分大时确定(1)正解确切个数的重要结果．
定理5设m<k2
1
,a2>λ1固定．任意ϵ∈(0,ϵ2)，存在充分大的C=C(ϵ)，如果c≥C且
a1∈[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[
λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
−ϵ0,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
)
,
则系统(1)恰好有两个正解，一个渐近稳定另一个不稳定．其中
ϵ2=min {
λ2+
m
k1
,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
−ϵ0
2
}
−λ1.
94工程数学学报第38卷证明令
E=[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[
λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
−ϵ0,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
−ϵ1
]
.
引理8可知只需证明当a1∈E时，(1)恰好有一个渐近稳定的正解和另一个不稳定的正解即可．引理7表明如果c充分大且
a1∈[
λ1+
m
k1
+ϵ,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
)
,
则(1)存在两类形式的正解．采用类似引理8的证明过程易证得，若a1∈E，则(1)存在唯一接近(u∗,v∗∗)类型(a)的渐近稳定的正解．
其次，证明若a1∈E，则(1)存在唯一不稳定的类型(b)的正解．再次讨论问题(12)．设˜a1∈E．由引理5可知(10)带有a1=˜a1的唯一正解w˜a1非退化．于是，(w˜a1, v∗)是(12)带有(a1,µ)=(˜a1,0)的非退化正解．显然，对于小的µ>0，(12)是(9)的正
则扰动．因此，根据隐函数定理可得存在小的δ,˜ϵ>0，使得(12)有唯一正解(˜u a
1,v a
1
)，
且对任意a1∈E和0≤µ≤˜ϵ，有
∥˜u a1−w a1∥C1+∥v a1−v∗∥C1≤δ.
设C(ϵ)=max{1/˜ϵ,C(ϵ,δ)}，这里C(ϵ,δ)在引理7给出．于是对于任意ϵ∈(0,ϵ2)，存在C=C(ϵ)，使得如果c≥C和a1∈E，则(1)存在唯一类型(b)的正解．接下来，证明(1)具有类型(b)的正解不稳定．定义算子B和B0分别如下
B
ω
χ
=
−∆ω−[a1−2u−mk1
(u+k1)2
−p1v(b+dv)
(b+cu+dv)2
]ω+p1u(b+cu)
(b+cu+dv)2
χ
−∆χ−(a2−2p2v
u+k2
)χ−p2v2
(u+k2)2
ω
,
B0
ω
χ
=
−∆ω−[a1−m
k1
−p1v∗(b+dv∗)
(b+w a
1
+dv∗)2
]ω
−∆χ−(a2−2p2v∗
k2
)χ−p2
k2
2
(v∗)2ω
.
考虑如下特征值问题
B(ω,χ)T=ˆη(ω,χ)T,B0(ω,χ)T=ˆη0(ω,χ)T.
容易验证当c→∞，对于趋于(0,v∗)的(u,v)，其中cu→w a
1
，B以算子范数一致地趋向于B0．通过算子的特征值理论有B0的特征值是
ˆη0=λ1(
−a1+m
k1
+
p1v∗(b+dv∗)
(b+w a
1
+dv∗)2
)
<λ1
(
−a1+m
k1
+
p1v∗
b+w a
1
+dv∗
)
=0.
根据标准的扰动理论可知B有特征值ˆη接近ˆη0且Reˆη<0．因此，对于充分大的c和a1∈E，(1)具有类型(b)的正解不稳定．
第1期李海侠：具有Allee效应的捕食-食饵扩散模型定性分析95 4讨论与结论
本文在齐次Dirichlet边界条件下研究了具有Allee效应和B-D反应函数的捕食-食饵扩散模型．通过分析得到：当Allee效应常量m,k1满足m<k2
1
且食饵和捕食者的增长率
较大
a1>λ1(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
,a2>λ1
时，食饵和捕食者能够共存；当食饵或捕食者的增长率过小时，食饵或捕食者将灭绝；只要捕食者的增长率a2>λ1且Allee效应常量m,k1满足m<k21，当食饵的增长率
a1∈[λ1+ϵ,λ1+ϵ2]∪[
λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
−ϵ0,λ1
(p
1
v∗
b+dv∗
)
+
m
k1
)
,
且捕食者对食饵的处理时间c的影响充分大时食饵和捕食者不但能够共存，而且系统恰好存在两个正解．从生物意义上来讲，研究结果表明当参数满足一定条件时系统出现了生物上所谓的多态性，而且食饵和捕食者将会以稳定均衡的形式共存．这说明保持适合种群自身生长繁殖的最佳密度、控制种群适当的增长率以及合理地开发和利用生物资源对生物种群保护和维持生态平衡具有非常重要的意义．Allee效应增加了系统动力学行为的复杂性，本文得到的主要结论既补充和完善了以往相关文献的结果，又丰富了齐次Dirichlet边界条件下具有Allee效应的生物扩散模型的研究内容．
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Qualitative Analysis of a Diffusive Predator-prey Model
with Allee Effect
LI Hai-xia
(Institute of Mathematics and Information Science,Baoji University
of Arts and Sciences,Baoji721013)
Abstract:The existence,uniqueness and multiplicity of positive solutions to a diffusive predator-prey model with B-D functional response and Allee effect are discussed.By thefixed point index theory,the sufficient conditions for the existence of positive solutions are obtained. Secondly,the conditions for the uniqueness of positive solutions are given by the variational characterization of the lowest eigenvalue.Finally,based on the analysis of positive solutions to two limiting systems,the exact multiplicity and stability of positive solutions are determined by means of the combination of thefixed point index theory,bifurcation theory and perturbation theory of eigenvalues.When the Allee effect constants meet appropriate relationship and the growth rate of the predator is large,the results show that the system has only a unique positive solution when the parameters satisfy certain conditions,and has exactly two positive solutions when the growth rate of the prey lies in a certain range.
Keywords:predator-prey model;Allee effect;uniqueness;fixed point index theory;perturba-tion theory;exact multiplicity;stability
Received:27Aug2018.Accepted:06Mar2020.
Foundation item:The National Natural Science Foundation of China(61672021;11801013);the Natural Science Basic Research Plan in Shaanxi Province of China(2018JQ1066);the Science and Technology Program of Baoji(2018JH-20);the Doctoral Scientific Research Starting Foundation of Baoji University of Arts and Sciences(ZK2018069).。