随机过程第三章-泊松过程

N (tk )
X (tk ) X (tk1)
Yi
iN (tk1 )1
相互独立,即 X (t)具有独立增量性.
k 1,2, , n
(2) （2）的证明需要用到矩母函数（略）.
例3.10 在保险中的索赔模型中,设索赔 要求以平均2次/月的速率的泊松过程到达 保险公司.每次赔付为均值为10000元的 正态分布,则一年中保险公司平均赔付额 是多少?
例3.3 设进入商店的顾客数可以用一个泊松过程来近似.
第 i 个顾客在商店购物支付的款数记作 Yi ,并设 Y1,Y2 ,
相互独立同分布,则在时段 (0,t] 中商店的营业额
N (t)
X (t) Yi i 1
是一个复合泊松过程.
例3.4 设保险公司接到的索赔次数服从一个泊松过程,每 次要求赔付的金额独立同分布,则在任一时段内保险公司 需要赔付的总金额就是一个复合泊松过程.
事件A发生的次数.
如果在不相交的时间区间中发生的事件数是独立的,则该 计数过程有独立增量.即到时刻t已发生的事件个数必须独 立于时刻t与t+s之间所发生的事件数.这就意味着, N(t)与 N(t s) N(t) 相互独立.
若在任一时间区间中发生的事件个数 N(t) 的分布只依 赖于时间区间的长度,则称计数过程 N(t) 有平稳增量.这就 意味着此时 N (t2 s) N (t1 s)与 N(t2 ) N(t1) 有相同的分布.
,
x0
0,
x0
则称 X 服从参数为 , 的 分布,记为 X ~ ( , )
当 1 时,就是参数为 的指数分布.
(4) 分布关于参数 具有可加性.即若 X ~ (1, ),
Y ~ (2, ), 且 X 与 Y 独立,则
X Y ~ (1 2, )
引理 设 X 指数分布,则有
1,
X 2,
(4) P{N(h) 2} o(h).
若 {N(t),t 0}是参数为 的泊松过程,则有 E(N(t)) t
于是可以认为 是单位时间内事件发生的平均次数.
称 为泊松过程的强度、风险率或速率.
强度为的泊松过程的数字特征：
1. E N t0,t EN t N t0 t t0 ；
一、非齐次泊松过程 定义3.4 计数过程 {N(t称),t 为 0强} 度为
过程,如果 (1) N(0) 0;
(2) 过程有独立增量;
的非(t)齐次0 泊松
(3) P{N(t h) N(t) 1} (t)h o(h);
(4) P{N(h) 2} o(h).
令
m(t
)
t
0
(s)ds,则有如下的等价定义.
s,t 0。
例例112：设{N (t),t 0}服从参数为 的泊松过程，求
(1) P{N (5) 4}; (2) P{N (5) 4, N (7.5) 6, N (12) 9}; (3) P{N (12) 9 N (5) 4}; (4) P{N (5) 4 N (12) 9}; (5) E[N (5)], D[N (5)],Cov[N (5), N (12)].
解 由题意,有 2,t 12, ,故1 所100求00的值为
E[ X (10)] t1 240000 (元)
三.条件泊松分布
在实际问题中,常常会出现这样的情形,此时某些意外事
件出现的频率是不能预先确定的,往往是一个随机变量 ,
而当频率确定时,意外事件出现的规律就是一个泊松过程. 这就是本节所要研究的条件泊松过程.
2. D N t0,t D N t N t0 t t0 ， 特别地，t0 0，由假设N 0 0，可得： N t E N t t, DN t D N t t；
3. CN s,t DN mins,t mins,t， s,t 0；
4. RN s,t CN s,t N s N t min s,t 2st，
(3)PN(12) 9 N(5) 4 PN(12) N(5) 5 N(5) 4
PN(12) N(5) 5 (7)5e7 5!
(4)PN (5) 4 N (12) 9
PN (5) 4, N (12) 9 PN (12) 9
PN(5) 4PN(12) N(5) 5 PN(12) 9
定义3.2(泊松过程)计数过程{N(t),t 0}称为参数为( 0)
的泊松过程,如果:
(1) N(0) 0;
(2) N(t) 有独立增量;
(3)对任意的 s,t 0,有
P{N (t s) N (s) n} (t)n et ,
n!
n 0,1,2,
由条件(3)可知泊松过程有平稳增量并且在任一长度为t
后5年平均2年需要维修一次. 求它在使用期内只维修过一
次的概率. 解 由题意,强度函数为
1
(t )
2.5 1
0t 5 5 t 10
2
则在使用的期限(10年)内,故障发生的次数 N(10) N(0) 服
从参数为
10
5
m(10) (t)dt
1
dt 10 1dt 4.5
0
0 2.5 5 2
即 X1, X 2 相互独立且均服从参数为 的指数分布.
重复以上的推导可证定理之结论.
定理3.3 Tn ~ (n, )
n
证 由于 Tn
Xi
i 1
故由定理3.2以及引理的结论马上可得本定理之结论.
注:1 (n, )的概率密度为
fTn (x)
et
(t ) n 1
(n 1)!
2. {Tn t} {N (t) n}
(t 0)
由定理3.2,我们给出泊松过程的另一个等价定义.
定义3.3 设{N (t),t 0}是计数过程,如果它的相继到达 时间间隔序列相互独立且服从相同的指数分布,则称 N(t) 为泊松过程.
定理3.2的直接推论 设泊松过程的强度为 ,记 X 为过
程的到达间隔,则
E(X ) 1
引理 (无后效性或无记忆性)设随机变量 X服从参数
证 当 t 0时,有
F1(t) P{X1 t} 1 P{X1 t} 1 P{N(t) 0}
所以 又
1 et t 0
F1()
0,
t0
P{X 2 t | X1 s} P{N(s t) N(s) 0 | X1 s}
P{N(s t) N(s) 0} P{N(t) 0} et
定义3.7 设 是具有分布 G的(正) 值随机变量,如果在给
定 的条件 下,计数过程
服{从N(参t)数,t 为0} 的泊松过程,
则称
是条件{泊N(松t),过t 程0}.
由定义可知,如果 {N(t),t是条0}件泊松过程,则有
P{N(t s) N(s) n} (t)n et dG()
0 n!
P{M
(t)
m
|
N
(t)
n}
n m
pm
(1
p)nm
若
nm
由题意
P{N (t) n} (t)n et
n!
于是
P{M
(t)
m}
nm
n m
p
m
(1
p)nm
(t)n
n!
et
et pm (t)m (1 p)nm (t)nm
m!
nm
(n m)!
et pm (t)m et (1 p)
m!
(pt)m etp
为 的指数分布,则
t 0, x 0, P{X t x | X t} P{X x} 证 P{X t x | X t} P{X x}
P{X t x, X x} P{X t x}
P{X x}
P{X x}
e (t x) et
ex
P{X
x}
第三节 泊松过程的推广
定理3.7 设 {N(t),是t 条0}件泊松过程,且
,则E(2 )
(1) E[N (t)] tE[]; (2) D[N (t)] t 2D() tE().
证 (1) E[N(t)] E[E(N(t) | )] E[t] tE()
(2) D[N (t)] E[N 2 (t)] E[( N (t)]2
定义3.5 计数过程 {N(t),t称为0}强度为 过程,如果
的非(t)齐次0 泊松
(1) N(0) 0;
(2) 过程有独立增量;
(3)对于任意的实数 t 0, s 0, N(t服 s从) 参N数(t)为
m(t s) m(t)
ts
(u )du
的泊松分布.
t
定理 定义3.4与定义3.5是等价的.
,
X
相互独立且均服从参数为
n
的
X1 X 2 X n ~ (n, )
(5)泊松过程的样本轨迹是跳跃度为1的阶梯函数.记Tn 为
第 n 次事件发生的时刻, X n 是第 n 次与第n 1 次事件发生
的时间间隔.
一. X n和 Tn 的分布
定理3.2 X n (n 1)服从参数为 的指数分布,且相互独立.
p 的泊松过程.
证 M (t)满足定义3.2中的前两个条件是显然的,下证它也 满足第三个条件.
显然, M (t)的可能取值为 0,1,2, , 并且由全概率公式,有
P{M (t) m} P{M (t) m | N (t) n}P{N (t) n} n0
而 P{M (t) m | N(t) n} 0 若 n m
(5)4 e5 4!(7)5 e7 (12)9 e12 9!
5! C94
5 12
4
1
5 12
94
.
(5) E[N(5)]=5, D N 5 5,
Cov[N(5), N(12)] D N 5 5.
例2 事件A的发生形成强度为 的泊松过程 {N(t),t 0}.如 果每次事件发生时以概率 p能够记录下来,并以 M (t)表示到 t时刻被记录下来的事件总数,证明{M (t),t 0} 是一个强度为
m!
所以, {M (t),t 0}是一个强度为 p 的泊松过程.
第二节 与泊松过程相联系的若干分布
预备知识
(1) 函数定义为:
(z) x z1ezdz
0
(2)有关 函数的几个重要公式:
(z 1) z(z)
(n 1) n!
1
2
(3)若随机变量 X 的概率密度为
f
(
x)
(
)
x
e 1 x
解：(1) PN 5 4 (5)4e5 4!
(2) PN 5 4, N (7.5) 6, N (12) 9 PN 5 4, N (7.5) N (5) 2, N (12) N (7.5) 3
[(5)4 e5 4!][(2.5)2 e2.5 2!][(4.5)3 e4.5 3!]
第三章 泊松过程
第一节 泊松过程的基本概念
定义3.1(计数过程)随机过程 {N(t),t 0}称为计数过程,如 果N(t) 表示t时刻为止,某一特定事件A发生的次数.
由定义,计数过程具有以下两个特点:
(1) N(t)取值为非负的整数;
(2) s t 时, N(s) N(t)且 N(t) N(s) 表示时段 (s,t]内
的泊松分布,故
P{N (10) N (0) 1} (4.5)e4.5
二.复合泊松过程
定义3.6 称随机过程 {X (t),t 0}为复合泊松过程,如果对
于 t 0 ,它可以表示为如下形式
N (t)
X (t) Yi i 1
其中 {N(t),t 0} 是一个泊松过程, Y1, ,Yn 是一族独立同 分布的随机变量,并且与 {N(t),t 0} 独立.
N (t)
定理3.6 设 X (t) Yi 是一复合泊松过程,其中泊松 i 1
过程 N(t) 的强度为 ,则
(1) X (t) 具有独立增量;
(2)若E(Yi ) 1, E(Yi2 ) 2 均存在,则
E[ X (t)] t1,
D[ X (t)] t2
证 (1) 令 t0 t1 tn ,由于N(t)具有独立增量性,故
证 只需证
P{N (t s) N (t) n}
[m(t s) m(t)]n
exp{[m(t s) m(t)]}
n!
证明过程将要用到母函数的概念,从略.
例3.7 设某设备的使用期限是10年,在使用期限内,如果
出现故障则需要维修.设出现故障的计数过程是一个非齐
次的泊松过程,并且已知前5年它平均2.5年需要维修一次,
的区间中事件的个数服从参数(均值)为 t 的泊松分布.
在实际过程中,条件(3)的验证存在着一定的困难,为此我
们给出泊松过程另一个等价定义.
定理3.1 计数过程 {N(t),t 0} 称为泊松过程 ,参数为( 0), 如果
(1) N(0) 0; (2) 过程有平稳与独立增量;
(3) P{N(h) 1} h o(h);