2013陕西省高考压轴卷 数学(文)试题百名特级教师押题 押中一分 改变一生

2013年普通高等学校招生全国统一考试（·某某卷·压轴卷）
文科数学
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．已知集合{1,0,1},{||1|,}A B x x a a A =-==+∈，则A
B 中的元素的个数为
A ．{}0
B ．{}1
C ．{}0,1
D ．{}0,1,2
2.复数
i
1i
31-+的共轭复数是
A.
B. .
C.
1122++ D. 1122
-- 3.下列函数一定是偶函数的是
A. cos(sin )y x = B . sin cos y x x =
C.()cos ln y x =
D. cos sin y x x =-
4．已知向量b a ,满足||1,(1,3)a b ==-，且()
b a a +⊥，则a 与b 的夹角为
A ． 60
B ． 90
C ． 120
D ． 150
5.已知q 是等比数列{}n a 的公比，则“1q <”是“数列{}n a 是递减数列”的 A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C .充要条件D . 既不充分也不必要条件
是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是124，则判断框①处应填入的条件是 A.2n > B. 3n > C. 4n > D. 5n >
7一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A.9B.10C.11D.
232
8.已知ABC ∆的面积为2，在ABC ∆所在的平面内有两点P Q 、，满足
0,PA PC QA QB QC BC +=++=，则APQ ∆的面积为
A.
12
B.2
3 C.1 D.2
9.直线30x -
=截圆()2
224x y -+=所得劣弧所对的圆心角是
A ．
6πB ．3π C ．2
π
D ．23π
ln 1y x =-的图像与函数()2cos 24y x x π=--≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于
A ．8
B ．6
C ．4
D ．2
二。

填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，
共25分）
2222
1x y a b
-=的一个焦点与抛线线2
12y x =的焦点重合，且双曲线的离心率等于32，则该双曲线的方程为 .
12. “公差为d 的等差数列数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是公差为2d 的等差
数列”，类比上述性质有：“公比为q 的等比数列数列{}n b 的前n 项的和为n T ，则数列___________________________”.
13.若y x ,满足条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≤-+≥+-,001532,
0653y y x y x ，当且仅当3==y x 时，y ax z -=取最小值,则实
数a 的取值X 围是______.
14.定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()22c f =--，则,,a b c 的大小关系为___。

15.A （不等式选做题）
若存在实数x 满足不等式235x x m m -+-<-则实数m 的取值X 围是。

15. B （几何证明选做题）
在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足1
3
BE BD =，延长AE 交BC 于点F ，则
BF
FC
的值为_____． 15 .C （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系．曲线1C
的参数方程为1
x y t ⎧=⎪
⎨
=+⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标
方程为sin cos 3ρθρθ-=，则1C 与2C 交点在直角坐标系中的坐标为____。

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16.
已知函数2
()cos
sin (0,0)2
2
2
2
x x x f x ωϕ
ωϕ
ωϕ
π
ωϕ+++=+><<
．
其图象的两个相邻对称中心的距离为2
π
，且过点(,1)3π．
(I) 函数()f x 的解析式；
(Ⅱ)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222
222
sin 2sin sin C b a c A C c a b --=---．
且()13
2
f A +=
，求角C 的大小. 17.在等比数列{}n a 中，已知13a =，公比1q ≠，等差数列{}n b 满足
1142133b a b a b a ===，，.
（Ⅰ）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n n a b 的前n 项和.
18.已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，1
22
AD AB BC ===，90ABC ∠=︒，PAB ∆是等边三角形，平面PAB ⊥平面ABCD ． (Ⅰ)求证：BD DC ⊥；
(Ⅱ)求三棱锥P BCD -的体积．
19.2013年1月份以来,我国北方部分城市出现雾霾天气，形成雾霾天气主要原因与2.5PM 有关. 2.5PM 是指大气中直径小于或等于 2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒
物. 2.5PM 日均值越小，空气质量越好. 2012年2月29日，国家环保部发布的《环境空气质量标准》见下表：
2.5PM 日均值k (微克)
空气质量等级
35k ≤ 一级 3575k <≤ 二级 75k >
超标
某环保部门为了了解甲、乙两市的空气质量状况，在过去某月的30天中分别随机抽取了甲、乙两市6天的 2.5PM 日均值作为样本，样本数据茎叶图如上右图所示（十位为茎，个位为叶）. （Ⅰ）分别求出甲、乙两市 2.5PM 日均值的样本平均数，并由此判断哪个市的空气质量较好；
（Ⅱ）若从甲市这6天的样本数据中随机抽取两天的数据，求恰有一天空气质量超标的概率.
20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为22，且椭圆C 上一点与两个焦点构成
的三角形的周长为222+.
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设过椭圆C 右焦点F 的动直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，试问：在x 轴上是否存在定点M ，使7
16
MA MB ⋅=-成立？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
21.已知函数()ln f x x =，2
()()g x f x ax bx =++，函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴．
（I ）确定a 与b 的关系； （II ）若0a ≥，试讨论函数()g x 的单调性；
（III ）设斜率为k 的直线与函数()f x 的图象交于两点1122(,),(,)A x y B x y ，（12x x <） 证明：
21
11k x x <<．
【参考答案】
1.B 【解析】{}{||1|,}0,1,2,B x x a a A ==+∈=所以{}0,1A B =.
2.B
()(
)(
(1111,22i i
+++==所以其共轭复数为
11.22
i - 【解析】由偶函数定义可知，函数cos(sin )y x =中，x 的定义域关于原点
对称且
cos(sin())cos(sin )x x -=.
4.C 【解析】由()
a a
b ⊥+得2
0a a b +⋅=，112cos 0,θ+⨯=所以120.θ︒=
5.D 【解析】由数列{}n a 是递减数列可得01q <<，因此“1q <” 是“数列{}n a 是递减数列”的既不充分也不必要条件。

【解析】由框图的顺序，()()0,1,0111,s n s s n n ===+=+⨯=依次循环
()1226s =+⨯=，3n =，注意此刻33>仍然为否， () 633274s n =⨯+==，注意到44>仍然为否，
此刻输出()2744124,s =+⨯= 5.n =
7.C 【解析】由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形高是3的直四棱柱的基础上截去一个底面积为
1
2112
⨯⨯=高为3的三棱锥形成的，所以43111.V =⨯-= 8.B 【解析】由0PA PC +=知P 为ABC ∆的边AC QA QB QC BC QC QB ++==-，所以20QA QB +=，Q 为ABC ∆的边AB 的三等分点（靠近点B ）.于是
2111112.3223233APQ AB AB ABC S AB h AB h S ∆∆⎛⎫⎛
⎫=⨯⨯=⨯⨯== ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
9.D 【解析】圆心()2,0
到直线0x -
=的距离为212
d =
=，所求的圆心角为
22.3
3
π
π⨯=
10.B 【解析】
画出两函数图象可知均关于直线1=x 对称，所以在[]4,2-内所有交点横坐标之和为
.632=⨯ 11.
22
145x y -=【解析】抛线线212y x =的焦点22(3)9a b ⇒+=，0． 3
2 5.2
c e a b a ==⇒=⇒=
12.
{}n
n
T 是公比为
q 的等比数列【解析】n n n n b b b T 121)(⋅⋅= n
n n q
b 1
1211)(-+++=
()
1
1
12
)1(1
)(--==n n
n n n q b q
b ，∴
{}n
n
T 是公比为
q 的等比数列。

13⎪⎭
⎫
⎝⎛-
53,32【解析】画出可行域，得到最优解()3,3，把y ax z -=变为z ax y -=，即研究z -的最大值。

当⎪⎭
⎫
⎝⎛-
∈53,32a 时，z ax y -=均过()3,3且截距z -最大 。

14.a c b >>【解析】设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时
()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>．
15.A (,1)
(2,)-∞-+∞【解析】
()
min
352
x x -+-=，所以22m m ->，2m >或
1.m <- 1
4
【解析】过点D 作DM AF 交BC 于点M ，则FM MC =，又
1
,2
BF BE FM ED == 所以2,4,FM BF FC BF ==即
BF FC 1
.4
=
)5,2(【解析】2C 为3=-x y ，所以31=-+t t ，解得,4=t 因此⎩
⎨⎧==52
y x .
16.【解析】（Ⅰ）3
1
()
sin()
1cos()2
2
f x x x
π1sin()62
x
. 两个相邻对称中心的距离为
π
2
，则πT ，
2ππ,>0,
=2||，又()f x 过点π
(,1)3，
2ππ1π1sin
1,sin
3
6
2
2
2
即，1cos
2
， πππ1
,,()sin(2)23
62
f x x
. (Ⅱ)在△ABC 中，222
222
sin 2cos cosB sin cos 2sin sin 2cos cos sin cos C b a c ac B c C B A C ab C b C B C
c a b ---====----， 因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，
所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =．
而由()f A =
得4A π=,所以5.4312C ππππ=--=
17.【解析】(Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ，等差数列{}n b 的公差为d .
由已知得：2
323,3q a q a ==，
d b d b b 123,23,31341+=+==
341112333332
2=⇒⎩⎨⎧+=+=⇒⎩⎨⎧+=+=q d
q d
q d q d q 或1=q (舍去)， 所以，此时2=d
所以，n
n a 3=，12+=n b n . (Ⅱ)设(21)3n
n n n c a b n ==+⋅,
n n c c c S +++= 21()123335373...213n n =⨯+⨯+⨯+++⨯,
()23413335373...213n n S n +=⨯+⨯+⨯+++⨯
两式相减得()
()1231233233...3213n n n S n +-=⨯+⨯+++-+⨯,
所以1
3.n n S n +=⋅
18.【解析】(Ⅰ)∵2AD =，2AB =，45AD AB ADB DBC ⊥⇒∠=∠=︒ 过D 作DM BC ⊥，垂足为M ，则2DM AB MC === ∴45DCM ∠=︒，∴90BDC ∠=，∴BD DC ⊥.
(Ⅱ)2113233
P BCD V -=
=⋅=. 19.【解析】（Ⅰ）甲市抽取的样本数据分别是34,42,67,71,79,85；乙市抽取的样本数据为31,48,45,65,73,86.
344267717985636x +++++=
=甲，314845657386
586
x +++++==乙．
因为x x >甲乙，所以乙市的空气质量较好.
（Ⅱ）由茎叶图知，甲市6天中有4天空气质量未超标，有2天空气质量超标，记未超标的4天数据为,,,a b c d ，超标的两天数据为,m n ，则6天中抽取两天的所有情况为：
,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad am an bc bd bm bn cd cm cn dm dn mn ，基本事件总数为15.
记“恰有一天空气质量超标”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为：,,,,,,,am bm cm dm an bn cn dn ，
事件数为8. 所以8()15P A =
. 即恰有一天空气质量超标的概率为8
15
.
20.【解析】（I ）由题意知：2
c a =，且222a c +=+,
解得1a c =
=,2221b a c =-=,
∴ 椭圆C 的方程为2
212
x y +=. （II ）易求得右焦点(1,0)F ,假设在x 轴上存在点(,0)M t （t 为常数），使7
16
MA MB ⋅=-
.
①当直线l 的斜率不存在时，则:1l x =，此时(1,
(1,22
A B -,
217(1,
(1,(1)22216MA MB t t t ⋅=-⋅--=--=-,解得54t =或3
4
.
②当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y k x =-，
联立方程组22(1)12
y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得2222
(21)4220k x k x k +-+-=,
设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122
2422
,2121
k k x x x x k k -+==++ 1122(,(1))(,(1))MA MB x t k x x t k x ⋅=--⋅--22221212(1)()()k x x t k x x k t =+-++++
222
22222224(1)()2121k k k t k k t k k -=+⋅-+⋅++++22
2
(41)221
t k t k -+=-+ 当
41221t -=即54t =时，MA MB ⋅为定值：27216
t -=- 由①②可知，在x 轴上存在定点5
(,0)4M ，使716
MA MB ⋅=-成立.
21.【解析】（I ）依题意得2
()ln g x x ax bx =++，则1'()2g x ax b x
=++
由函数()g x 的图象在点(1,(1))g 处的切线平行于x 轴得：'(1)120g a b =++= ∴21b a =--.
（II ）由（1）得22(21)1'()ax a x g x x -++=(21)(1)
ax x x
--=
. ∵函数()g x 的定义域为(0,)+∞
∴当0a =时，1
'()x g x x
-=-
由'()0g x >得01x <<，由'()0g x <得1x >，
即函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；
当0a >时，令'()0g x =得1x =或1
2x a
=，
若112a <，即12a >时，由'()0g x >得1x >或102x a <<，由'()0g x <得112x a
<<， 即函数()g x 在1(0,)2a ，(1,)+∞上单调递增，在1
(,1)2a
单调递减；
若112a >，即102a <<时，由'()0g x >得12x a >或01x <<，由'()0g x <得112x a
<<， 即函数()g x 在(0,1)，1(,)2a +∞上单调递增，在1
(1,)2a
单调递减；
若112a =，即12
a =时，在(0,)+∞上恒有'()0g x ≥， 即函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，
综上得：当0a =时，函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞单调递减；
教育
11 / 11 当102a <<
时，函数()g x 在(0,1)单调递增，在1(1,)2a 单调递减；在1(,)2a
+∞上单调递增； 当12
a =
时，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增， 当12a >时，函数()g x 在1(0,)2a 上单调递增，在1(,1)2a
单调递减；在(1,)+∞上单调递增． （III ）依题意得21212121
ln ln y y x x k x x x x --==--， 证2111k x x <<，即证212211
ln ln 11x x x x x x -<<- 因210x x ->，即证21221211
ln x x x x x x x x --<< 令21
x t x =（1t >），即证11ln 1t t t -<<-（1t >） 令1()ln 1h t t t =+-（1t >）则22111'()t h t t t t
-=-=0> ∴()h t 在（1，+∞）上单调递增，
∴()(1)h t h >=0，即1ln 1t t >-（1t >）--------------② 综①②得11ln 1t t t -<<-（1t >），即
21
11k x x <<．。