江苏省南通市2012届四校联考数学试卷

江苏省南通市2012届四校联考
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：160分
一、解答题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1、已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x <－1或x >4}，
那么集合A ∩(∁U B )等于 。

2、已知函数f (x )＝11－x 2
的定义域为M ，g (x )＝log 2(1－x )(x ≤－1)的值域为N ， 则∁R M ∩N 等于 。

3、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x |≤111＋x 2
，|x |>1，则f (f (12))等于 。

4、已知函数f (x )＝ln(x ＋x 2＋1)，若实数a ，b 满足f (a )＋f (b －1)＝0，则a ＋b 等于 。

5、已知54cos ),,0(-
=∈απα，则)4
sin(πα-= 。

6、若函数f (x )＝3cos(ωx ＋θ)对任意的x 都有f (π6＋x )＝f (π6－x )，则f (π6
)等于________
7、化简)15cos(3)45cos()75sin(000+-+++φφφ的值为 。

8、将函数y ＝f ′(x )sin x 的图象向左平移π4
个单位，得到函数y ＝1－2sin 2x 的图象， 则f (x )是 。

9、若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间(－12
，0)上单调递增，则a 的取值范围是 。

10、若π()sin 4n f n α⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，则()(4)(2)(6)f n f n f n f n ++++=·· 11、若π4
是函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2x (a ∈R ，为常数)的零点，则f (x )的最小正周期是________
12、设函数f (x )＝⎩⎨⎧
2x ，－2≤x <0
g (x )－log 5
(x ＋5＋x 2)，0<x ≤2，若f (x )为奇函数，则当0<x ≤2时，g (x )的最大值是________．
13、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，若sin A －3cos A ＝0，sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝0，
则角C 的大小为________
14、设非空集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |y ＝(3－x )(x －22)}，则A ⊆(A ∩B )的一个
充分不必要条件是________
二、解答题（15,16每题14分，17,18每题15分，19,20每题20分）
15、已知命题p ：指数函数f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2－3ax ＋2a 2＋1＝0的两个实根均大于3.若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
16、已知函数x x x x f 2cos 35cos sin 5)(-=（其中)R x ∈，求：
①函数)(x f 的最小正周期； ②函数)(x f 的单调递减区间；
③函数)(x f 图像的对称轴。

17、如下图所示，图1是定义在R 上的二次函数f (x )的部分图象，
图2是函数g (x )＝log a (x ＋b )的部分图象．
(1)分别求出函数f (x )和g (x )的解析式；
(2)如果函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，求m 的取值范围。

18、已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2
)一个周期的 图象如右图所示．
(1)求函数f (x )的表达式；
(2)若f (α)＋f (α－π3)＝2425
，且α为△ABC 的一个内角， 求sin α＋cos α的值．
19、已知f (x )＝x 2ln(ax )(a >0)．
(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝e a
处的切线斜率为3e ，求a 的值； (2)求f (x )在[1e
，e]上的最小值
20、已知函数f (x )＝x 3－3ax 2－9a 2x ＋a 3.
(1)设a ＝1，求函数f (x )的极值；
(2)若a >14
，且当x ∈[1,4a ]时，|f ′(x )|≤12a 恒成立，试确定a 的取值范围
1、 解析：由题意可得，∁U B ＝{x |－1≤x ≤4}，A ＝{x |－2≤x ≤3}，
所以A ∩(∁U B )＝{x |－1≤x ≤3}．主要考查集合运算。

2、解析：可求得集合M ＝{x |－1<x <1}，
集合N ＝{g (x )|g (x )≥1}，
则∁R M ＝{x |x ≤－1或x ≥1}，
∴∁R M ∩N ＝{x |x ≥1}
考查定义域求解
3、解析：∵f (12)＝|12－1|－2＝－32
， ∴f (f (12))＝f (－32)＝1
1＋(－32)2＝413. 本题主要考查分段函数运算。

4、解析：观察得f (x )在定义域内是增函数，而f (－x )＝ln(－x ＋x 2＋1)＝ln 1x ＋x 2＋1＝－f (x )，
∴f (x )是奇函数，则f (a )＝－f (b －1)＝f (1－b )，
∴a ＝1－b ，即a ＋b ＝1
考查函数奇偶性。

5、10
27 提示：由条件可知53sin =α，则4sin cos 4cos sin )4sin(παπαπα-=-，可代入求值
考查两角和与差。

6、解析：∵f (π6＋x )＝f (π6
－x ) ∴函数f (x )关于x ＝π6
对称， ∴x ＝π6
时，f (x )取得最值±3. 主要考查三角函数对称性。

7、0 提示：令αφ=+0
15，则原式=αααcos 3)30cos()60sin(00-+++
=αααααcos 3sin 21cos 23sin 21cos 23--++=0 考查三角函数求值化简。

8、解析：y ＝1－2sin 2x ＝cos2x ，向右平移π4个单位得cos2(x －π4)＝cos(2x －π2
)＝sin2x ＝2cos x ·sin x ，故f ′(x )＝2cos x ，∴f (x )＝2sin x 考查函数图像平移思想。

9、解析：设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论：
①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12
，0)上单调递减， 即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－12
，0)上恒成立， ∴a ≥34，∴34
≤a <1； ②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在(－12
，0)上单调递增， 即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－12
，0)上恒成立， ∴a ≤0，∴a 无解，
综上，可知34
≤a <1， 本题考查复合函数单调性，要注意分类讨论。

10、1-
主要考查三角函数周期性。

11、解析：由题意得f (π4)＝sin π2＋a cos 2π4
＝0， ∴1＋12
a ＝0，∴a ＝－2. ∴f (x )＝sin2x －2cos 2x[来源:学科网]
＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4
)－1， ∴f (x )的最小正周期为π.
12、解析：由于f (x )为奇函数，当－2≤x <0时，f (x )＝2x 有最小值为f (－2)＝2－2＝14
，故当0<x ≤2时，f (x )＝g (x )－log 5(x ＋
5＋x 2)有最大值为f (2)＝－14，而当0<x ≤2时，y ＝log 5(x ＋5＋x 2)为增函数，考虑到g (x )＝f (x )＋log 5(x ＋
5＋x 2)，结合当
0<x ≤2时，f (x )与y ＝log 5(x ＋5＋x 2)在x ＝2时同时取到最大值，故[g (x )]max ＝f (2)＋log 5(2＋5＋22)＝－14＋1＝34
. 主要考查函数单调性。

13、解析：依题意得tan A ＝3，
sin 2B －sin B cos B －2cos 2B ＝sin 2B －sin B cos B －2cos 2B sin 2B ＋cos 2B
＝tan 2B －tan B －2tan 2B ＋1
＝0， 所以tan 2B －tan B －2＝0，即(tan B －2)(tan B ＋1)＝0，
所以tan B ＝2或tan B ＝－1.
当tan B ＝2时，tan C ＝－tan(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B
＝1， 又C ∈(0，π)，因此C ＝π4
； 当tan B ＝－1时，
tan C ＝－t an(A ＋B )＝－tan A ＋tan B 1－tan A tan B
＝－12<0， 此时B ，C 均为钝角，这显然不可能．
综上所述，C ＝π4
. 14、解析：B ＝{x |3≤x ≤22}，而A ⊆(A ∩B )⇔A ⊆B ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋1≥33a －5≤22
3a －5≥2a ＋1⇔6≤a ≤9，
则A ⊆(A ∩B )的一个充分不必要条件是6≤a ≤9，
15、解：若p 真，则f (x )＝(2a －6)x 在R 上单调递减，
∴0<2a －6<1，∴3<a <72
， 若q 真，令f (x )＝x 2－3ax ＋2a 2＋1，则应满足
⎩⎨⎧ Δ＝(－3a )2－4(2a 2＋1)≥0－－3a 2>3f (3)＝9－9a ＋2a 2＋1>0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－2a >2a <2或a >52，故a >52
， 又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．
①若p 真q 假，则⎩⎨⎧ 3<a <72a ≤52
，a 无解． ②若p 假q 真，则⎩⎨⎧ a ≤3或a ≥72a >52
，
∴52<a ≤3或a ≥72. 故a 的取值范围是{a |52<a ≤3或a ≥72
}． 16、解∵22cos 1352sin 25)(x x x f +-==2352cos 2352sin 25--x x =235)2cos 232sin 21
(5--x x =235)32sin(5--πx ， ∴①)(x f 最小正周期π=T ；
②由Z k k x k ∈+
≤-≤+,2323222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+,12
11125ππππ； ③由)(232Z k k x ∈+=-πππ，得)(x f 的对称轴为)(1252Z k k x ∈+=ππ。

17、解：(1)由题图1得，二次函数f (x )的顶点坐标为(1,2)， 故可设函数f (x )＝a (x －1)2＋2，
又函数f (x )的图象过点(0,0)，故a ＝－2，
整理得f (x )＝－2x 2＋4x .
由题图2得，函数g (x )＝log a (x ＋b )的图象过点(0,0)和(1,1)，
故有⎩⎪⎨⎪⎧ log a b ＝0，log a (1＋b )＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝1，
∴g (x )＝log 2(x ＋1)(x >－1)．
(2)由(1)得y ＝g (f (x ))＝log 2(－2x 2＋4x ＋1)是由y ＝log 2t 和t ＝－2x 2＋4x ＋1复合而成的函数，
而y ＝log 2t 在定义域上单调递增，要使函数y ＝g (f (x ))在区间[1，m )上单调递减，必须t ＝－2x 2＋4x ＋1在区间[1，m )上单调递减，且有t >0恒成立．
由t ＝0得x ＝2±62
， 又t 的图象的对称轴为x ＝1.
所以满足条件的m 的取值范围为1<m <2＋62
. 18、解：(1)由图知，函数的最大值为1，则A ＝1，
函数f (x )的周期为T ＝4×(π12＋π6
)＝π. 而T ＝2πω
，则ω＝2. 又x ＝－π6时，y ＝0，∴sin[2×(－π6
)＋φ]＝0. 而－π2<φ<π2，则φ＝π3
， ∴函数f (x )的表达式为f (x )＝sin(2x ＋π3
)． (2)由f (α)＋f (α－π3)＝2425
得：[来源:] sin(2α＋π3)＋sin(2α－π3)＝2425
， 化简得：sin2α＝2425
. ∴(sin α＋cos α)2＝1＋sin2α＝4925.
由于0<α<π，则0<2α<2π，
但sin2α＝2425
>0，则0<2α<π，即α为锐角． 从而sin α＋cos α>0，因此sin α＋cos α＝75
.
19、解：(1)∵f ′(x )＝2x ln(ax )＋x 2·a ax
＝x [2ln(ax )＋1]， ∴3e ＝f ′(e a )＝e a [2ln(a ·e a
)＋1]，∴a ＝1. (2)由题知x >0，f ′(x )＝x [2ln(ax )＋1]，
令f ′(x )＝0，则2ln(ax )＋1＝0，得x ＝1a e
， ①当a ≥1时，1a e ≤1e
. 当x ∈[1e
，e]时，f ′(x )≥0， ∴f (x )在[1e
，e]上是增函数， ∴[f (x )]min ＝f (
1e )＝1e ln a e ＝1e (ln a －12)；[来源:学科网] ②当1e <a <1时，1e <1a e
< e. 当x ∈[1e ，1a e
)时，f ′(x )<0； 当x ∈[1a e
，e]时，f ′(x )>0， ∴f (x )在[1e ，1a e ]上是减函数，在[1a e
，e]上为增函数， ∴[f (x )]min ＝f (
1a e )＝1a 2e ln 1e ＝－12a 2e ； ③当0<a ≤1e 时，1a e
≥ e. 当x ∈[1e
，e]时，f ′(x )<0， ∴f (x )在[1e ，e]上是减函数，
∴[f (x )]min ＝f (e)＝eln a e ＝e(ln a ＋12
)． 20、解：(1)当a ＝1时，对函数f (x )求导数，得f ′(x )＝3x 2－6x －9.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3.
列表讨论f (x )，f ′(x )的变化情况：
x
(－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞) f ′(x ) ＋ 0
－ 0 ＋
f (x )
极大
值6
极小 值－26 所以，f (x )的极大值是f (－1)＝6，极小值是f (3)＝－26.
(2)f ′(x )＝3x 2－6ax －9a 2的图象是一条开口向上的抛物线，关于x ＝a 对称． 若14<a ≤1，则f ′(x )在[1,4a ]上是增函数，从而f ′(x )在[1,4a ]上的最小值是f ′(1)＝3－6a －9a 2，最大值是f ′(4a )＝15a 2.
由|f ′(x )|≤12a ，得－12a ≤3x 2－6ax －9a 2≤12a ，于是有f ′(1)＝3－6a －9a 2≥－12a ，且f ′(4a )＝15a 2≤12a .
由f ′(1)≥－12a ，得－13
≤a ≤1， 由f ′(4a )≤12a ，得0≤a ≤45
. 所以a ∈(14，1]∩[－13，1]∩[0，45
]， 即a ∈(14，45
]． 若a >1，则|f ′(a )|＝12a 2>12a .
故当x ∈[1,4a ]时|f ′(x )|≤12a 不恒成立．
所以使|f ′(x )|≤12a (x ∈[1,4a ])恒成立的a 的取值范围是(14，45
]．。