2025届江苏省溧水名校高考数学四模试卷含解析

2025届江苏省溧水名校高考数学四模试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．1
B ．43
C ．3
D ．4
2．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30 B ．－40 C ．40 D ．50
3．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，设P 为ABC ∆内一点，且1
1
34AP AB AC =+，则ABP ∆与ABC ∆的面积之比为
A ．1
4 B ．1
3
C ．2
3 D ．1
6
5．函数()cos 22x x x
f x -=+的部分图像大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知集合{}23100A x x x =--<，集合{}16B x x =-≤<，则A
B 等于（ ） A ．{}15x x -<< B ．{}15x x -≤<
C ．{}26x x -<<
D ．{}25x x -<< 7．抛物线23x ay =的准线方程是1y =，则实数a =（ ）
A ．34
- B ．34 C ．43- D ．43 8．抛物线()220y px p =>的准线与x 轴的交点为点C ，过点C 作直线l 与抛物线交于A 、B 两点，使得A 是BC 的
中点，则直线l 的斜率为（ ）
A ．1
3± B ．223± C ．±1 D ． 3±
9．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为( )
A ．23
B ．163
C ．6
D ．与点O 的位置有关
10．在三角形ABC 中，1a =，sin sin sin sin b c a b A A B C
++=+-，求sin b A =（ ） A 3B ．23 C ．12 D 611．函数cos 1ln(),1,(),1x x x f x x
e
x π⎧->⎪=⎨⎪≤⎩的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．()()()()()*121311x x x nx n N
+++⋅⋅⋅+∈的展开式中x 的一次项系数为（ ） A ．3n C B ．21n C + C ．1n n C - D ．3112n C + 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．6
21ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项系数为160，则a 的值为______. 14．已知函数()sin ()4f x x N πωω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭在[]0,π上仅有2个零点，设()228x g x f f x π⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝
⎭，则()g x 在区间[]0,π上的取值范围为_______． 15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．
16．函数()3)0,2f x x πωϕϕϕπ⎛
⎫=+><< ⎪⎝⎭
的图像如图所示，则该函数的最小正周期为________.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是棱长为2的正方形，侧面PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD ，,E F 分别为棱,AB PC 的中点．
（1）求证：EF ‖平面PAD ；
（2）求二面角P EC D --的正切值．
18．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的右焦点为1F ，过点1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为2，且1F 与短轴两端点的连线相互垂直.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若圆222:O x y a +=上存在两点M ，N ，椭圆C 上存在两个点,P Q 满足：1,,M N F 三点共线，1,,P Q F 三点
共线，且0PQ MN ⋅=，求四边形PMQN 面积的取值范围.
19．（12分）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos23cos 10C C +-=.
（1）求角C 的大小；
（2）若3b a =，ABC 3sin A B ，求sin A 及c 的值.
20．（12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα=⎧⎨=-+⎩
（t 为参数，0απ≤<），点(0,2)M -.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为424πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭.
（1）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其形状；
（2）曲线1C 与曲线2C 交于A ，B 两点，若1117||||4MA MB +=，求sin α的值. 21．（12分）如图,设点2(1,0)F 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点，圆222:(),C x a y a -+=过2F 且斜率为(0)k k >的直线l 交圆C 于,A B 两点，交椭圆E 于点,P Q 两点，已知当3k =时，2 6.AB =
（1）求椭圆E 的方程.
（2）当2103
PF =时，求PQC ∆的面积. 22．（10分）在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=，1tan 2
ACB ∠=
.已知E F ，分别是BC AC ，的中点.将CEF ∆沿EF 折起，使C 到C '的位置且二面角C EF B '--的大小是60°，连接C B C A ''，，如图：
（1）证明：平面AFC '⊥平面ABC '
（2）求平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A
【解析】
采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.
【详解】
根据三视图可知：该几何体为三棱锥
如图
该几何体为三棱锥A BCD -，长度如上图 所以111121,11222
MBD DEC BCN S S S ∆∆∆==
⨯⨯==⨯⨯= 所以3222
BCD MBD DEC BCN S S S S ∆∆∆∆=⨯---= 所以113A BCD BCD V S AN -∆=⋅⋅= 故选：A
【点睛】
本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.
2、C
【解析】
先写出()5
2x y -的通项公式，再根据33x y 的产生过程，即可求得. 【详解】
对二项式()52x y -，
其通项公式为()()()555155221r r r
r r r r r r T C x y C x y ---+=-=- 5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数
是()52x y -展开式中23x y 的系数与32x y 的系数之和.
令3r =，可得23x y 的系数为()3
3252140C -=-；
令2r =，可得32x y 的系数为()2
2352180C -=； 故5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为804040-=.
故选：C.
【点睛】
本题考查二项展开式中某一项系数的求解，关键是对通项公式的熟练使用，属基础题.
3、A
【解析】 将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.
【详解】
当时， 又，， 由在上的值域为
解得：
本题正确选项：
【点睛】
本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.
4、A
【解析】
作//PD AC 交AB 于点D ，根据向量比例，利用三角形面积公式，得出ADP S ∆与ABC S ∆的比例，再由ADP S ∆与APB S ∆的比例，可得到结果.
【详解】
如图，作//PD AC 交AB 于点D ，
则AP AD DP =+，由题意，13AD AB =，14DP AC =，且180ADP CAB ∠+∠=， 所以11111||||sin ||||sin 223412ADP
ABC S AD DP ADP AB AC CAB S ∆∆=∠=⨯⨯∠= 又13AD AB =，所以，134
APB ADP ABC S S S ∆∆∆==，即14APB ABC S S ∆∆=， 所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查三角函数与向量的结合，三角形面积公式，属基础题，作出合适的辅助线是本题的关键.
5、A
【解析】
根据函数解析式，可知()f x 的定义域为x ∈R ，通过定义法判断函数的奇偶性，得出()()f x f x -=，则()f x 为偶函数，可排除,C D 选项，观察,A B 选项的图象，可知代入0x =，解得()00f >，排除B 选项，即可得出答案.
【详解】
解：因为()cos 22x x
x f x -=+， 所以()f x 的定义域为x ∈R ，
则()()()cos cos 2222
x x x x x x f x f x ----===++， ∴()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除,C D 选项，
且当0x =时，()1002
=
>f ，排除B 选项，所以A 正确. 故选：A.
【点睛】
本题考查由函数解析式识别函数图象，利用函数的奇偶性和特殊值法进行排除.
6、B
【解析】
求出A 中不等式的解集确定出集合A ，之后求得A B . 【详解】 由{}()(){}{}2310025025A x x x x x x x x =--<=+-<=-<<， 所以{}15A B x x ⋂=-≤<，
故选：B.
【点睛】
该题考查的是有关集合的运算的问题，涉及到的知识点有一元二次不等式的解法，集合的运算，属于基础题目. 7、C
【解析】
根据准线的方程写出抛物线的标准方程,再对照系数求解即可.
【详解】
因为准线方程为1y =,所以抛物线方程为24x y =-,所以34a =-,即43a =-
. 故选：C
【点睛】
本题考查抛物线与准线的方程.属于基础题.
8、B
【解析】
设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2p x my =-，由题意得出212y y =，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合212y y =
可求得m 的值，由此可得出直线l 的斜率. 【详解】 由题意可知点,02p C ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，设点()11,A x y 、()22,B x y ，设直线AB 的方程为2
p x my =-， 由于点A 是BC 的中点，则212
y y =， 将直线l 的方程与抛物线的方程联立得222p x my y px
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，整理得2220y mpy p -+=，
由韦达定理得12132y y y mp +==，得123mp y =，2222121829m p y y y p ===
，解得4
m =±，
因此，直线l的斜率为122
3
m
=±.
故选：B.
【点睛】
本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
9、B
【解析】
根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.
【详解】
如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，
正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，
顶点O在平面11
ADD A上，高为2，
所以四棱锥的体积为18
42
33⨯⨯=，
所以该几何体的体积为
816 8
33 -=.
故选:B.
【点睛】
本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.
10、A
【解析】
利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角B的值，再利用正弦定理可求得sin
b A的值. 【详解】
sin sin sin sin b c a b A A B C ++=+-，由正弦定理得b c a b
a a
b c
++=+-，整理得222a c b ac +-=， 由余弦定理得2221cos 22
a c
b B a
c +-==，0B π<<，3B π∴=.
由正弦定理sin sin a b A B =得sin sin 1sin 3b A a B π==⨯=. 故选：A. 【点睛】
本题考查利用正弦定理求值，涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 11、A 【解析】
根据复合函数的单调性，同增异减以及采用排除法，可得结果. 【详解】
当1x >时，()1
ln()f x x x
=-，
由1
,y y x x =-
=在()1,+∞递增， 所以1
t x x
=-在()1,+∞递增
又ln y t =是增函数，
所以()1ln()f x x x
=-在()1,+∞递增，故排除B 、C 当1x ≤时()cos x
f x e
π=，若()0,1x ∈，则()0,x ππ∈
所以cos t x π=在()0,1递减，而t
y e =是增函数
所以()cos x
f x e π=在()0,1递减，所以A 正确，D 错误
故选：A 【点睛】
本题考查具体函数的大致图象的判断，关键在于对复合函数单调性的理解，记住常用的结论：增+增=增，增-减=增，减+减=减，复合函数单调性同增异减，属中档题. 12、B 【解析】
根据多项式乘法法则得出x 的一次项系数，然后由等差数列的前n 项和公式和组合数公式得出结论． 【详解】
由题意展开式中x 的一次项系数为2
1(1)122
n n n n C +++++=
=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二项式定理的应用，应用多项式乘法法则可得展开式中某项系数．同时本题考查了组合数公式．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、-2 【解析】
表示该二项式的展开式的第r +1项，令其指数为3，再代回原表达式构建方程求得答案. 【详解】
该二项式的展开式的第r +1项为()
()62
612316
611r
r
r r r r r r T C ax a C x x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅⋅ ⎪⎝⎭
令12333r r -=⇒=，所以()363312333346120T a C x a x --⨯=-⋅⋅=-，则3201602a a -=⇒
=-
故答案为：2- 【点睛】
本题考查由二项式指定项的系数求参数，属于简单题. 14、5
14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
【解析】
先根据零点个数求解出ω的值，然后得到()g x 的解析式，采用换元法求解()g x 在[]0,π上的值域即可. 【详解】
因为()sin ()4f x x N πωω⎛⎫
=+
∈ ⎪⎝
⎭
在[]0,π上有两个零点， 所以,444x πππωωπ⎛⎫⎡⎤+∈+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以24
34πωπππωππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩
，所以71144ω≤<且N ω∈，
所以2ω=，所以()sin 24f x
x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
， 所以()sin 2sin cos sin 2284x g x f x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=
+-=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
令sin cos 2sin 4x x x t π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以2sin 21x t =-，所以()2
215124g x t t t ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 因为[]0,x π∈，所以5,444x πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，所以2sin 1,24x π⎛
⎫⎡⎤+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，所以1,2t ⎡⎤∈-⎣⎦， 所以()
2max
1522124g x ⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭ ，()2
min 115
5224
4g x ⎛⎫=-+-=- ⎪⎝⎭，
所以()5,214g x ⎡⎤
∈-+⎢⎥⎣⎦
.
故答案为：5,214⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦
. 【点睛】
本题考查三角函数图象与性质的综合，其中涉及到换元法求解三角函数值域的问题，难度较难. 对形如
sin cos sin cos y x x a x x =++的函数的值域求解，关键是采用换元法令sin cos x x t +=，然后根据
()
2
sin cos 12sin cos x x x x +=+，将问题转化为关于t 的函数的值域，同时要注意新元t 的范围.
15、
64
【解析】
将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】
过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===，故
181286
cos 422223
C B
D +-∠=
=⨯⨯.
【点睛】
本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.
16、8
【解析】
根据图象利用(0)
f=，先求出ϕ的值，结合()10
f=求出ω，然后利用周期公式进行求解即可．【详解】
解：由(0)
fϕ
==
sinϕ=，
2
ϕ
π
<<π，
3
4
π
ϕ
∴=，
则
3
())
4
f x x
π
ω
=+，
(
)3
10
4
f
π
ω
⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，
3
4
π
ωπ
∴+=，即
4
π
ω=，
则函数的最小正周期
22
8
4
T
ππ
π
ω
===
，
故答案为：8
【点睛】
本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键．
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)见证明；
(2)
【解析】
（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而EF AG，得证线面平行；
（2）取AD中点O，连结PO，可得PO⊥面ABCD，连OB交CE于M，可证PMO
∠是二面角P EC D
--的平面角，再在PMO
∆中求解即得．
【详解】
（1）证明：取PD中点G，连结GF AG
、
GF 为PDC △的中位线，//GF CD ∴且1
2
GF CD =，
又//AE CD 且1
2
AE CD =，//GF AE ∴且GF AE =，
∴EFGA 是平行四边形，则EF
AG ，
又EF ⊄面PAD ，AG ⊂面PAD ，
EF ∴∥面PAD ；
（2）解：取AD 中点O ，连结PO ，
∵面PAD ⊥面ABCD ，PAD △为正三角形，
PO ∴⊥面ABCD ，且3PO =，
连OB 交CE 于M ，可得Rt EBC Rt OAB ≌，
MEB AOB ∴∠=∠，则90MEB MBE ∠+∠=︒，即OM EC ⊥．
连PM ，又PO EC ⊥，
可得EC ⊥平面POM ，则PM EC ⊥， 即PMO ∠是二面角P EC D --的平面角， 在Rt EBC 中，2535
BE BC BM OM OB BM CE ⋅=
==-=
∴15tan 3PO PMO OM ∠==
P EC D --的正切值为153
． 【点睛】
本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．
18、（1）2
212
x y +=；（2）[2,22]
【解析】
（1）又题意知，a =，a =及222a b c =+即可求得a b c 、、，从而得椭圆方程.
（2）分三种情况：直线MN 斜率不存在时，MN 的斜率为0时，MN 的斜率存在且不为0时，设出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可. 【详解】
（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，b c =，
∵过点1F 且与x .22b
a
∴=
又222a b c =+，解得1a b c ===.
∴椭圆C 的方程为2
212
x y +=
（2）由（1）可知圆O 的方程为22
2x y +=，
（i ）当直线MN 的斜率不存在时，直线PQ 的斜率为0，
此时||2,||PMQN MN PQ S ===四边形
（ii ）当直线MN 的斜率为零时，|||2PMQN MN PQ S ===四边形.
（iii ）当直线MN 的斜率存在且不等于零时，设直线MN 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，
联立22
2x y +=，得2222
(1)220(0)k x k x k +-+-=∆>，
设,M N 的横坐标分别为,M N x x ，则2222
22
,11M N M N k k x x x x k k
-+=⋅=++.
所以||M N MN x =-=
，
（注：||MN 的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.） 由PQ MN ⊥可得直线PQ 的方程为1
(1)(0)y x k k
=-
-≠，联立椭圆C 的方程消去y ， 得2
2
2
(2)4220(0)k x x k +-+-=∆>
设,P Q 的横坐标为,P Q x x ，则2
22
422,22p p Q Q k
x x x x k k
-+=⋅=++.
||PQ ∴==
1||||2PMQN S MN PQ ===四边形
2110,12222PMQN S k <
<∴<<∴<<+四边形.
综上，由（i ）（ii ）（ⅲ）得PMQN S 四边形的取值范围是. 【点睛】
本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用a b c 、、的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题.
19、（1）3
C π
=（2）sin 14
A =
；c =【解析】
（1）由2cos 22cos 1C C =-代入cos23cos 10C C +-=中计算即可；
（2）由余弦定理可得c =，所以sin
A C =，由1
sin sin 2
ABC S ab C A B ==△，变形即可得到答案. 【详解】
（1）因为cos23cos 10C C +-=，可得：22cos 3cos 20C C +-=， ∴1
cos 2
C =，或cos 2C =-（舍），∵0C π<<， ∴3
C π
=
.
（2）由余弦定理2222222cos 327c a b ab C a a a =+-=+=，
得c =
所以sin C A =，
故sin
14
A C ==
，
又1sin sin 2
ABC S ab C A B =
=△，3C π∠=
所以2
4sin sin sin a b c A B C ⎛⎫
⋅== ⎪⎝⎭
，
所以c =
本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题. 20、（1）2
2
(2)(2)8x y -++=，以(2,2)-
为圆心，（2
）sin α=【解析】
（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式，直接得到2C 的直角坐标方程并判断形状； （2）联立直线参数方程与2C 的直角坐标方程，根据直线参数方程中t
的几何意义结合
11||||4
MA MB +=
求解出sin α的值.
【详解】
解：（1
）由4πρθ⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
，得4cos 4sin ρθθ=-，所以2
4cos 4sin ρρθρθ=-， 即2
2
44x y x y +=-，22
(2)(2)8x y -++=.
所以曲线2C 是以(2,2)-
为圆心，.
（2）将cos 2sin x t y t αα
=⎧⎨=-+⎩代入22
(2)(2)8x y -++=，
整理得24cos 40t t α--=.
设点A ，B 所对应的参数分别为1t ，2t ， 则124cos t t α+=，124t t =-.
12
121211||||||||||||4
44
t t t t MA MB MA MB MA MB t t +-++======
，
解得2
1cos
16
α=
，则sin 4
α==
. 【点睛】
本题考查极坐标与直角坐标的互化以及根据直线参数方程中t 的几何意义求值，难度一般.（1）极坐标与直角坐标的互化公式：cos ,sin x y ραρθ==；（2）若要使用直线参数方程中t 的几何意义，要注意将直线的标准参数方程代入到对应曲线的直角坐标方程中，构成关于t 的一元二次方程并结合韦达定理形式进行分析求解.
21、（1）
2
2198
x y （2）
409
（1）先求出圆心(),0C a 到直线l 的距离为
d
=
AB =()2
23164
a a -+
=，解之即得a
的值，再根据c=1求出b 的值得到椭圆的方程.(2)先求出81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，716,39Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭，再求得PQC ∆的面积()2140
29
Q P S CF y y =⋅-=.
【详解】
(1)因为直线l 过点()21
,0F ，且斜率k =
所以直线l 的方程为)1y
x =-
0y --=，
所以圆心(),0C a 到直线l 的距离为
d =
又因为AB =C 的半径为a ，
所以2
22
2AB d a ⎛⎫+= ⎪
⎝⎭，即()2
23164
a a -+=， 解之得，3a =或9a =-（舍去）. 所以2228
b a
c =-=，
所以所示椭圆E 的方程为22
198
x y += .
(2)由(1)得，椭圆的右准线方程为:9m x =，离心率1
3
c e a =
=， 则点P 到右准线的距离为2
1031013
PF d e
=
==， 所以910P x -=，即1P x =，把1P x =-代入椭圆方程22
198
x y +=得，83P
y =±， 因为直线l 的斜率0k >，
所以83P y =-，81,3P ⎛
⎫∴-- ⎪⎝
⎭
因为直线l 经过()21,0F 和81,3P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
， 所以直线l 的方程为()4
13
y x =
-， 联立方程组()22
41,31,9
8y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得2
3470x x --=， 解得1x =-或7
3
x =， 所以716,39Q ⎛⎫
⎪⎝
⎭， 所以PQC ∆的面积()21116840
222939
Q P S CF y y ⎛⎫=⋅-=⨯⨯+= ⎪⎝⎭. 【点睛】
本题主要考查直线和圆、椭圆的位置关系，考查椭圆的方程的求法，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 22、（1）证明见解析（2）45° 【解析】
（1）设AC '的中点为G ，连接FG ，设BC '的中点为H ，连接GH ，EH ，从而BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角，60BEC ∠='，推导出EH BC '⊥，从而EF ⊥平面BEC '，则AB EH ⊥，即EH AB ⊥，进而EH ⊥平面ABC '，推导四边形EHGF 为平行四边形，从而FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，由此即可得证.
（2）以B 为原点，在平面BEC '中过B 作BE 的垂线为x 轴，BE 为y 轴，BA 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面AFC '与平面BEC '所成二面角的大小. 【详解】
（1）∵F 是AC 的中点，∴AF C F '=. 设AC '的中点为G ，连接FG . 设BC '的中点为H ，连接GH ，EH . 易证：C E EF '⊥，BE EF ⊥，
∴BEC '∠即为二面角C EF B '--的平面角. ∴60BEC ∠='，而E 为BC 的中点.
易知BE EC '=，∴BEC '∆为等边三角形，∴EH BC '⊥.①
∵EF C E '⊥，EF BE ⊥，C E BE E '=，∴EF ⊥平面BEC '. 而EF AB ∥，∴AB ⊥平面BEC '，∴AB EH ⊥，即EH AB ⊥.② 由①②，BC AB B '=，∴EH ⊥平面ABC '.
∵G H ，分别为AC BC ''，的中点.
∴四边形EHGF 为平行四边形.
∴FG EH ∥，FG ⊥平面ABC '，又FG ⊂平面AFC '.
∴平面AFC '⊥平面ABC '.
（2）如图，建立空间直角坐标系，设2AB =.
则()002A ，，，()000B ，，，()201F ，，，()200E ，，，()130C '，， 显然平面BEC '的法向量()001m =，，，
设平面AFC '的法向量为()n x y z ，，=，()1
32AC ='-，，，()201AF =-，，， ∴20320x z x y z -=⎧⎪⎨+-=⎪⎩，∴()
132n =，，. 2cos ,2
m n m n m n ⋅==⋅， 由图形观察可知，平面AFC '与平面BEC '所成的二面角的平面角为锐角. ∴平面AFC '与平面BEC '所成的二面角大小为45°.
【点睛】
本题主要考查立体几何中面面垂直的证明以及求解二面角大小，难度一般，通常可采用几何方法和向量方法两种进行
求解.。