高二下学期3月月考试题数学(文)Word版含答案

衡阳市八中高二下学期3月份六科联赛
数学（文科）试题
命题人：吕建设 审题人：彭源
请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题23,24为479班学生必做题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求）
1．已知集合{}0,1,2,{|2,}x
A B y y x A ===∈，则A B ⋂=
A. {}0,1,2
B. {}1,2
C. {}1,2,4
D. {}1,4
2．函数1
ln x y x
-=
的定义域为 A ．()0+∞， B ．()1+∞， C ．()()11-∞+∞，，
D ．()
()011+∞，，
3．已知,,a b c ∈R ，且,0a b ab >≠，则下列不等式一定成立的是 A ．33a b > B ．22ac bc > C ．11
a b
< D ．22a b > 4
．函数1y =
的值域为
A ．()0,+∞
B ．()1,+∞
C ．[)0,+∞
D ．[)1,+∞ 5．同时满足下列三个条件的函数为
R 上的奇函数；③最小正周期为π． A ．tan y x = B ．cos y x = C ．
tan
2
x
y =
D ．sin y x =
6．设()()()2,0,
2,0
x x f x f f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2f -=
A ．2
B ．1
C ．
1
4
D ．
12
7．不等式组20200x y x y y ⎧+-≤⎪⎪
-+≥⎨⎪≥⎪⎩
所围成的平面区域的面积为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．已知三个实数,,a b c 满足3
1log 32,2,23
b a
c ==
=，则实数,,a b c 的大小关系为 A ．b a c << B ．c a b << C
．
b c a <<
D ．c b a <<
9.函数()x f x xe -=的图象可能是
A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为
A. 5
B. 34
C. 41
D. 52
11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为 A. 2- B. 12- C. 13 D. 32
12．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]
2,0x ∈-时，
()212x
f x ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20(0,1)
a f x x a a -+=>≠有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是
A. 1,14⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B. ()14，
C. ()18，
D. ()8+∞，
非选择题部分
二、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分. 将答案填写在题中横线上)
13．已知向量()2,1a =-， ()1,A x -， ()1,1B -，若a AB ⊥，则实数x 的值为 14.cos75cos15sin75sin15︒︒-︒︒的值是
15．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦
图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直 角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率 为
16.已知()()2
,f x x ax b a b R =++∈.对任意的[]
1,5x ∈时，不等式()22f x -≤≤恒成立，
则=a b +
三、解答题(本大题共6个小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题8分)
已知集合{}2|650A x x x =-+<， {}2|1216x B x -=<<， (){}
|ln C x y a x ==-，全集为实数集R ． （1）求A B ⋃和
(
)R
A B ⋂．
（2）若A C ⋂=∅，求实数a 的范围．
18.(本小题8分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）.已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.
（1）求,x y 的值；（直接写出结果，不必写过程）
（2）若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率.
19．(本小题8分) 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，
，
，、
分
别为
、
的中点. （1）求证：平面
； （2）求三棱锥的体积.
20.(本小题9分)
已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；
（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.
21．(本小题9分)
已知圆O 以坐标原点为圆心且过点1(22
，M,N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的坐标为3
(0)，
，过N 作直线交圆于A,B 两点. （1）求圆O 的方程;
（2）求ABM Δ面积的取值范围.
22.(本小题10分) 已知函数()()2
x
f x x R =∈.
（1）解不等式()()21692x
f x f x ->-⨯；
（2）若函数()()()2F x f x f x m =--在区间[]
1,1-上存在零点，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数， ()h x 为偶函数，若不等式
()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
2018年衡阳市八中高二下学期3月份
数学（文科）试题
命题人：吕建设 审题人：彭源
请注意：本试卷总分100分，时量120分钟；附加题23,24为479班学生必做题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，每小题的四个选项中只有一个是符合题目要求）
1．已知集合{}0,1,2,{|2,}x
A B y y x A ===∈，则A B ⋂=
A. {}0,1,2
B. {}1,2
C. {}1,2,4
D. {}1,4
2．函数1
ln x y x
-=
的定义域为 A ．()0+∞， B ．()1+∞， C ．()()11-∞+∞，，
D ．()()011+∞，，
3．已知,,a b c ∈R ，且,0a b ab >≠，则下列不等式一定成立的是 A ．33a b > B ．22ac bc > C ．11
a b
< D ．22a b > 4
．函数1y =
的值域为
A ．()0,+∞
B ．()1,+∞
C ．[)0,+∞
D ．[)1,+∞ 5．同时满足下列三个条件的函数为
R 上的奇函数；③最小正周期为π．
A ．tan y x =
B ．cos y x =
C ．
tan
2
x
y =
D ．sin y x =
6．设()(
)()2,0,
2,0x x f x f f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2f -=
A ．2
B ．1
C ．
1
4
D ．
12
7
．不等式组000x y x y y ⎧+-≤⎪⎪
-+≥⎨⎪≥⎪⎩
所围成的平面区域的面积为
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 8．已知三个实数,,a b c ，则实数,,a b c 的大小关系为 A ．b a c << B ．c a b << C
．
b c a <<
D ．c b a <<
9.函数()x f x xe -=的图象可能是( )
A. B. C. D.
10.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为
A. 5
B. 34
C. 41
D. 52
11.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为 A. 2- B. 12- C. 13 D. 32
13．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()22f x f x +=-，当[]
2,0x ∈-时，
()21x
f x ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，若在区间()2,6-内关于x 的方程()()log 20(0,1)
a f x x a a -+=>≠有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是
A. 1,14⎛⎫
-
⎪⎝⎭
B. ()14，
C. ()18，
D. ()8+∞，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案
B D A D A A B
C C
D D D
非选择题部分
三、填空题(本大题共4个小题，每小题3分，共12分. 将答案填写在题中横线上)
13．已知向量()2,1a =-， ()1,A x -， ()1,1B -，若a AB ⊥，则实数x 的值为 -5 14.cos75cos15sin75sin15︒︒-︒︒的值是 0
15．在北京召开的第24届国际数学家大会的会议，会议是根据中国古代数学家赵爽的弦 图（如图）设计的，其由四个全等的直角三角形和一个正方形组成，若直角三角形的直 角边的边长分别是3和4，在绘图内随机取一点，则此点取自直角三角形部分的概率 为
24
,25
16.已知()()2
,f x x ax b a b R =++∈.对任意的[]
1,5x ∈时，不等式()22f x -≤≤恒成立，则=a b + 1
三、解答题(本大题共6个小题，共52分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题8分)
已知集合{}2|650A x x x =-+<， {}2|1216x B x -=<<， (){}
|ln C x y a x ==-，全集为实数集R ． （1）求A B ⋃和
(
)R
A B ⋂．
（2）若A C ⋂=∅，求实数a 的范围．
1）{}|15A x x =<<， {}|26B x x =<<， {}|C x x a =<， 所以{}|16A B x x ⋃=<<， {}|15R C A x x x =≤≥或, 则{}|56R C A B x x ⋂=≤<. （2）A C φ⋂=，所以1a ≤．
18.(本小题8分)
下面的茎叶图记录了甲、乙两代表队各10名同学在一次英语听力比赛中的成绩（单位：分）.已知甲代表队数据的中位数为76，乙代表队数据的平均数是75.
(1)求,x y 的值；（直接写出结果，不必写过程）
(2)若分别从甲、乙两队随机各抽取1名成绩不低于80分的学生，求抽到的学生中，甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率. (1) 6x = 3y =；
(2)甲队中成绩不低于80的有 80，82，88；乙队中成绩不低于80的有 80，86，88，89，甲尧乙两队各随机抽取一名袁基本事件总数为3412⨯=，其中甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的有()()()()()80808280888088868888，；，；，；，；，.条件总数为3115++=，所以甲队学生成绩不低于乙队学生成绩的概率为5
12
p =.
19．(本小题9分) 如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，
，
，、
分
别为
、
的中点. （1）求证：平面
； （2）求三棱锥
的体积.
（2）取BA 中点为G ，连,EG GF ，由于11////GF AC A C 且
111122
GF AC AC EC =
==，所以四边形1FGEC 是平行四边形，故1//,C F EG EG ⊂平面ABE ，所以1//C F 平面ABE ；（3）因为13
2,1,413,22
ABC AC BC AB S AB CB ∆==⇒=-==⋅=，
所
以
11133233E ABC ABC V S BB -∆==⨯⨯=。

20.(本小题9分)
已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；
（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.
解
析：
数
列
满足： ， ，即数
列
为
等
差
数
列
且
公差为 ，
通项
（II ）令 可解得
， 数列 的前
项为负值，从第 项开始为正数，
数
列 中
最小
21.(本小题9分) 已知函数()()2
x
f x x R =∈.
（1）解不等式()()21692x
f x f x ->-⨯；
（2）若函数()()()2F x f x f x m =--在区间[]
1,1-上存在零点，求实数m 的取值范围； （3）若函数()()()f x g x h x =+，其中()g x 为奇函数， ()h x 为偶函数，若不等式
()()220ag x h x +≥对任意[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
（1）原不等式即为2221692x x x
->-⨯，
设t=2x ，则不等式化为t，t 2，16，9t， 即t 2，10t+16，0，解得2，t，8， 即2，2x ，8， ∴1，x，3
∴原不等式的解集为（1，3，， （2）函数[]
1,1-上有零点， 所以
在[]
1,1-上有解，
即()()2m f x f x =-在[]
1,1-有解． 设()()()2
211222224x
x
x x f x f x ϕ⎛
⎫=-=-=--+ ⎪⎝
⎭，
∵11x -≤≤，
∴
1
222
x ≤≤， ∴当122x =时， ()max 14
x ϕ=；当22x
=时， ()min 2x ϕ=-．
∴()1
24
x ϕ-≤≤．
∵()()2m f x f x =-在[]
1,1-有解 ∴124
m -≤≤
故实数m
，3）由题意得，
解得．
由题意得()()220ag x h x +≥，即(
)
(
)
()
2
22222
2222
22
2
2
x x
x x
x
x
x x
a a -----+--+
=-+
0≥对任意[]12x ∈，恒成立，
令[]
22,1,2x
x
x λ-=-∈，则315
24
λ≤≤． 则得22
02
a λλ++
≥对任意的315,24λ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立，
∴221222a λλλλ+⎛⎫≥-=-+ ⎪⎝⎭对任意的315,24λ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立， 因为()122G λλλ⎛⎫=-
+ ⎪⎝⎭在315,24⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上单调递减， ∴()max 317212G G λ⎛⎫
==- ⎪
⎝⎭
． 所以17
12
a ≥-
． ∴实数a 的取值范围17,12⎡⎫
-+∞⎪⎢⎣⎭
．
22．(本小题9分)
已知圆O
以坐标原点为圆心且过点1(22
，M,N 为平面上关于原点对称的两点，已知N 的坐标为3
(0)，
，过N 作直线交圆于A,B 两点. （3）求圆O 的方程;
（4）求ABM Δ面积的取值范围. (1）因为圆心坐标为(0,0)
且圆过1(2，所以圆的半径
2213
r ()()1
22
，所以圆的
方程为2
2x
y 1 (4)
分
（2）因为M,N 关于坐标原点对称所以M(0
当AB 垂直x 轴时，M,A,B 三点构不成三角形所以AB 斜率一定存在 设3
3
AB :y
kx y kx
即M 到AB 的距离23d
k 1
2
2
22
2
3
13k2
3
O AB AB21212
3(k1)3(k1)
k
1
d==-d
到的距离所以
22
ABM222222
123k223k2231
S AB d
23(k1)3(k1)3(k1)(k1)
Δ
所以……8分
22
2
139
t(0t1)(t)
k124
令，g(t)=3t-t
222
31
0t10g(t)202
k1(k1)
因为所以所以
ABM
222
2312222
0,0S
3k1(k1)33
-
+Δ
所以所以.…………12分
23.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为
(t为参数).
(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
解(1)曲线C的普通方程为+y2=1.
当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.
由解得
从而C与l的交点坐标为(3,0),.
(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=
.
当a≥-4时,d的最大值为.由题设得,所以a=8;
当a<-4时,d
的最大值为.由题设得,a=-16.
综上,a=8或a=-16.
24..为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调了50人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎放开”人数如下表:
(1)由以上统计数据填下面2×2列联表,并问能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异;
(2)若对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率是多少? 解 (1)2×2列联表为:
所以不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异.
年 龄
[5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] 频 数
5 10 15 10 5 5 支持
“生育二胎”
4 5 12 8 2 1
年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45岁的人数 合计 支持 a= b= 不支持 c= d= 合计
P (K 2≥k 0) 0.050 0.010 0.001 k 0 3.841 6.635 10.828
K
2
=n (ad -bc )2
(a +b )(c +d )(a +c )(b +d ).
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
支持
a=3 b=29 32 不支持 c=7 d=11 18 合 计 10
40
50
K 2=50×(3×11-7×29)210×40×32×18
≈6.272<6.635,
(2)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎放开”的4人分别为a,b,c,d,
不支持“生育二胎放开”的1人记为M,则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有(a,b),(a,c),(a,d),(a,M),(b,c), (b,d),(b,M),(c,d),(c,M),(d,M),共10种.
设“恰好这两人都支持‘生育二胎放开’”为事件A,则事件A所有可能的结果有
(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),共6种,所以
63
()
105
P A==，所以对年龄在[5,15)的被调查人中
随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持“生育二胎放开”的概率为3 5。