人教A版高中数学选修1-1配套限时规范训练：第3章 导数及其应用 3.3.3

第三章 3.3 3.3.3
基础练习
1．函数y ＝ln x x
的最大值为( ) A ．e －1
B ．e
C ．e 2
D ．103 【答案】A
2．已知函数f (x )＝x －eln x ，则f (x )的最小值为( )
A ．0
B ．e
C ．－1
D ．1 【答案】A
3．函数f (x )＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦
⎤0，π2上取最大值时，x 的值为( ) A ．0
B ．π6
C ．π3
D ．π2 【答案】B
4．函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值为M ，最小值为m ，则M －m 的值为
( )
A ．2
B ．－4
C ．4
D ．－2 【答案】C
5．(2019年河北张家口期末)已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________.
【答案】－12
【解析】y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1，∴函数在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，＋∞)上单调递减．若a ＞－1，则最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12⎝⎛⎭⎫a ＝－32舍去；若a ≤－1，则最大值为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.综上知a ＝－12
. 6．函数y ＝e x x
在区间⎣⎡⎦⎤12，e 上的最小值是________．
【答案】e
【解析】函数y ＝e x x 的导函数为y ′＝x e x －e x x 2.令y ′＝0，可得x ＝1.所以当x ∈⎣⎡⎭⎫12，1时，y ′＜0，函数是减函数；当x ∈(1，e]时，y ′＞0，函数是增函数．所以函数在x ＝1取得极小值也是最小值f (1)＝e.
7．已知a 是实数，函数f (x )＝x 2(x －a )．
(1)当f ′(1)＝3时，求a 的值及曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)求f (x )在区间[0,2]上的最大值．
解：(1)f ′(x )＝3x 2－2ax .
因为f ′(1)＝3－2a ＝3，所以a ＝0.
当a ＝0时，f (1)＝1，f ′(1)＝3，
所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.
(2)令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝2a 3
. 当2a 3
≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,2]上单调递增， 从而[f (x )]max ＝f (2)＝8－4a .
当2a 3
≥2，即a ≥3时，f (x )在[0,2]上单调递减， 从而[f (x )]max ＝f (0)＝0.
当0＜2a 3
＜2，即0＜a ＜3时，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，2a 3上单调递减，在⎣⎡⎦⎤2a 3，2上单调递增， 从而[f (x )]max ＝⎩
⎪⎨⎪⎧ 8－4a ，0＜a ≤2，0， 2＜a ＜3. 综上所述，[f (x )]max ＝⎩⎪⎨⎪⎧
8－4a ，a ≤2，0，a ＞2. 8．已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x ＋a .
(1)求f (x )的单调递减区间；
(2)若f (x )在区间[－2,2]上的最大值是20，求它在该区间上的最小值．
解：(1)f ′(x )＝－3x 2＋6x ＋9.
令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3.
∴函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)∵f (－2)＝8＋12－18＋a ＝2＋a ，
f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a ，
∴f (2)＞f (－2)．
∵在(－1,3)上f ′(x )＞0，∴f (x )在(－1,2)上单调递增．
又由于f (x )在(－2，－1)上单调递减，
∴f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[－2,2]上的最大值和最小值．
于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.
∴f (x )＝－x 3＋3x 2＋9x －2.
∴f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f (x )在区间[－2,2]上的最小值为－7.
能力提升
9. 在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝2x ＋1x 2在同一点取得相同的最小值，那么f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值是( )
A ．134
B ．54
C ．8
D ．4 【答案】D
【解析】g ′(x )＝2－2x 3，当x ＜1时，g ′(x )＜0，当x ＞1时，g ′(x )＞0，故函数g (x )在x ＝1处取得最小值，g (1)＝3.∴对于函数f (x )，当x ＝1时，函数有最小值3，∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋p ＋q ＝3，－p 2＝1.
解得p ＝－2，q ＝4.∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3.∴函数f (x )的对称轴为x ＝1，开口向上．∴在区间⎣⎡⎦⎤12，2上，函数f (x )的最大值为f (2)＝4.故选D ．
10．已知函数f (x )＝x 4cos x ＋mx 2＋x (m ∈R )，若导函数f ′(x )在区间[－2,2]上有最大值12，则导函数f ′(x )在区间[－2,2]上的最小值为( )
A ．－12
B ．－10
C ．－8
D ．－6 【答案】B
【解析】由已知得f ′(x )＝4x 3cos x －x 4sin x ＋2mx ＋1.令g (x )＝4x 3cos x －x 4sin x ＋2mx ，则g (x )是奇函数．由f ′(x )的最大值为12，知g (x )的最大值为11，最小值为－11，从而f ′(x )的最小值为－11＋1＝－10.
11．若不等式2y 2－x 2≥c (x 2－xy )对任意满足x >y >0的实数x ，y 恒成立，则实数c 的最大值为________．
【答案】22－4
【解析】由x >y >0,2y 2－x 2≥c (x 2－xy )得c ≤2y 2－x 2x 2－xy ，即c ≤2－x 2
y 2x 2y 2－x y .设t ＝x y ，则t >1.令g (t )
＝2－t 2t 2－t ＝－t 2＋t ＋2－t t 2－t ＝－1＋2－t t 2－t ，g ′(t )＝－(t 2－t )－(2t －1)(2－t )(t 2－t )2＝t 2－4t ＋2(t 2－t )2.当1<t <2＋2时，g ′(t )<0；当t >2＋2时，g ′(t )>0.所以g (t )min ＝g (2＋2)＝22－4，则c ≤22－4，即实数c 的最大值为22－4.
12．(2019年湖北孝感模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋a x
. (1)当a <0时，求函数f (x )的单调区间；
(2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值是32
，求a 的值． 解：(1)f (x )＝ln x ＋a x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a x 2＝x －a x 2.∵a <0，∴f ′(x )>0. 故f (x )在其定义域(0，＋∞)上单调递增．
(2)x ∈[1，e]时，分如下情况讨论：
①当a ≤1时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增，其最小值为f (1)＝a ≤1，与f (x )在[1，e]上的最小值是32
矛盾． ②当1<a <e 时，函数f (x )在[1，a )上有f ′(x )<0，f (x )单调递减，在(a ，e]上有f ′(x )>0，
f (x )单调递增，所以f (x )的最小值为f (a )＝ln a ＋1.由ln a ＋1＝32
，得a ＝ e. ③当a ≥e 时，显然f (x )在[1，e]上单调递减，其最小值为f (e)＝1＋a e ≥2，与最小值是32
矛盾．
综上，a 的值为 e.
由Ruize收集整理。

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