版高中全程复习方略配套课件：3.6简单的三角恒等变换(数学文人教A版湖南专用)(共53张PPT)

【反思·感悟】本题利用了“1”的逆代技巧，即化1为
sin2 co是s2欲擒，故纵原则.一般地有
2
2
1sin2sin cos, 1cos22cos,
1cos22sin .
三角恒等式的证明 【方法点睛】三角恒等式证明的方法及切入点 (1)证明恒等式的方法： ①从左到右；②从右到左； ③从两边化到同一式子. 原则上是化繁为简，必要时也可用分析法. (2)三角恒等式证明的切入点： ①看角：分析角的差异,消除差异,向结果中的角转化; ②看函数:统一函数,向结果中的函数转化.
3
【解题指南】先利用三角恒等变换把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+
tan2 1
(1)2 3
1
2.
2tan 1 2 1 1 3
答案：(1)1
3
(2)
1 (3)
2
2
3
【反思·感悟】三角函数式求值问题的注意点 (1)三角函数式求值时一定要准确地应用公式和选择恰当的思路， 否则会使求值过程繁琐. (2)条件求值要求准确利用所给的条件，在此可能涉及到式子的 变形和角的变换，同时要注意所给角的范围.
a s in x b c o s x a 2 b 2 s in (x )的应用 【方法点睛】三角函数性质的讨论 (1)三角函数性质的讨论，可通过变形为asinθ+bcosθ=
a2b2sin()(其中 ta n b )的形式去讨论.这样的变形，
a
主要是 角的确定. (2)通过恒等变形，可以将较为复杂的函数形式转化为较为简 洁的函数形式，有利于更好地讨论三角函数的性质，但要注意 是恒等变形，因为在某些情形下，变形会导致定义域的变化， 从而影响函数的值域和周期等性质.
(3)三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异 角化同角. 【提醒】同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常应用， 特别是“1”的代换经常用到.
【例2】化简 21sin 2 (1co s ),α∈(π,2π). 【解题指南】利用三角函数的倍角公式凑根号下为完全平方式， 化无理式为有理式，但要注意α的范围.
s in _ _ _ 1 _ c2_ os_ _ _ c o s _ _ _ 1_ _ c2o_ s _ _ 2 2
tan___ 11_ _ ccoo_ ss __
2
【即时应用】
(1)思考：你能用sinα、cosα表示 t a n 吗？ 提示：tan 2csoins 2csoins 222ccooss 21sicnos2，
第六节 简单的三角恒等变换
三年6考 高考指数:★★ 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、 余弦和正切公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差 化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
1.利用公式变换,进行三角函数式的化简是高考考查的热点. 2.常与实际应用问题、函数等结合命题. 3.高考主要以解答题的形式进行考查.
2 22 tan 2csoins 2 csoins 2 22ssiinn 2 1sicnos.
2 22
(2)判断下列公式及其变形是否正确(请在括号中填写“√”或
“×”)
① cos 1cos
2
2
② sin2 1cos
22
③ tan1cos
2 sin
() () ()
【解析】①根据公式可知根号下分子上应该是“+”，故错;②
2sin50 sin30cos10 cos30sin10 cos10
2cos40 sin40 sin80 cos10 1. cos10 cos10 cos10
(2)∵cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= 1①
5
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= 3 ②
a2b2
a2b2
【即时应用】
(1)把下列三角函数式化成 a2b2sin(x) 的形式 ①sinα+ 3cos =______; ②sinα+cosα=______;
③5sinα+12cosα=______. (2)计算： cos10 3sin10 =______.
1cos80
【解析】(1)① s i n 3 c o s 1 (3 ) 2 s i n ( ) 2 s i n ( )
3
3
②sinα+cosα= 2sin( );
4
③5sinα+12cosα= 5 2 1 2 2 s in ( ) 1 3 s in ( )
(其中 tan ).1 2
5
(2)原式 2(1 2cos1023sin10)2sin40 2.
2sin240
2sin40
答案：(1)① 2sin( )
【规范解答】(1)左边= 2sin(x)cos(x)
4
4
=sin( -2x)=cos2x=右边，原题得证.
2
(2)左边= cos2sin22sincos
(cossin)(cossin)
(cossin)2
(cossin)(cossin)
= cossin=1 右ta边n，原题得证.
cossin 1tan
【例1】求下列三角函数式的值
(1)sin50°(1+ 3tan10)=_______.
(2)若 cos()1,cos()3, 则tanαtanβ=______.
5
5
(3)已知tan( +α)=2,则
1
=______.
4
2sincoscos2
【解题指南】(1)把切函数换成弦函数再用公式化简求值，重在
三角函数式的化简
【方法点睛】三角函数式化简的原则、要求及方法
(1)三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能
求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.
(2)
三角
函数
式化
简的
要求
①能求出值的应求出值； ②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数.
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
2.形如asinx+bcosx的式子的化简
asinx+bcosx=___a_2 __b_2_sin(x+φ)
(其中 sin b ,cos a )
2
答案：① 做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 2:12:10 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/192021/9/192021/9/19Sep-2119-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/192021/9/192021/9/19Sunday, September 19, 2021
【反思·感悟】1.三角函数式的化简与证明的类型及思路 (1)对三角的和式，基本思路是降幂、消项和逆用公式； (2)对三角的分式，基本思路是分子与分母约分和逆用公式， 最终变成整式或数值； (3)对二次根式，则需要运用倍角公式的变形形式. 2.化简与证明的过程中体现了化归的思想，是一个“化异为 同”的过程，涉及切弦互化，即“函数名”的“化同”；角的 变换，即“单角化倍角”、“单角化复角”，“复角化单角”、 “复角化复角”等具体手段.
22
2
时， 3
2
sincos0， 22
∴原式= 2 (sin c o s ) 2 c o s 2 sin ,
22 2 2
当 3 即 ,
42
3时 ， 2
2
sincos0, 22
∴原式 2 sin 4 c o s (其2中5 sin ( ), )
22
2
tan2
∴原式= 2s2in5 2si， n( 2)(其 32中tan2)， 322.
【规范解答】∵ 1 s in s in 2 c o s 2 2 s in c o s
2 2 22 (sincos)2，
22
2(1+cosα)= 2(12cos21)4cos2，
2
2
∴原式= 2sincos2cos.
22
2
∵α∈(π,2π),∴ 当 即3 ,
224
(,),cos0,
等号右边分子上应该是“-”，故错；③等号右边分子上应该是
“-”，可以化简验证，故错.
答案：①× ②× ③×
(3)填空：①cos215°-sin215°=______.
②2sin215°-1=______.
【解析】①cos215°-sin215°=cos30°= 3 ;
2
②2sin215°-1=-cos30°= 3 .
公式的逆用；(2)利用两角和、差的余弦公式展开求
cosαcosβ,sinαsinβ，相除得结果；(3)根据已知条件求出
tanα，把所给的三角函数式变形，代入tanα即可.
【规范解答】(1)原式= sin50(1 3sin10)
cos10
2( 1 cos10 3 sin10)
sin50 2
2
cos10
3
② 2sin( )
4
③ 13sin()(其 中 tan12)
5
(2) 2
三角函数式的求值 【方法点睛】三角函数式求值的类型和思路 (1)三角函数式求值的类型 三角函数式求值分为直接求值和条件求值, ①直接求值就是直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化 简变形求得三角函数式的值.
②条件求值是要根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求 得所需要的值，同时注意所给角的范围. (2)条件求值的一般思路 ①先化简所求式子或所给条件; ②观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入 手); ③将已知条件代入所求式子,化简求值.
【例3】证明：(1) 2 sin(x)sin （ x ） co s2 x .
4
4
(2) 1c os22 s in sicn o2 s 1 1 tta an n .
【解题指南】(1)从等号的左边开始证明先变成相同的角，再利
用公式推导；
(2)从等号的左边证明，主要是利用同角三角函数关系式，注意
“1”的代换.
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月19日星期日2021/9/192021/9/192021/9/19 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/192021/9/192021/9/199/19/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/192021/9/19September 19, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/192021/9/192021/9/192021/9/19
5
由①②解得 coscos2,sinsin1,
5
5
则 tantansinsin1.
coscos 2
(3)由 tan()1得tan2, ta n 1 ,
4 1tan
3
于是 2 sin c o s 1 c o s2 2 sis n i n 2 c o s c o s c 2 o s2
1.半角公式 c o s 2 1_ _ _ 2_ s_ in_ 2_ _ c o s 2 2_ c_ o_ s_ 2_ _ _ 1_ 以代2,以 代 2
cos _1__2_s_in_2__2cos 2__co_s_2_2___1
【提醒】该公式是逆用两角和的正弦公式得到的.当φ为特殊
角即 | b 的| 值为1或
a
3时、 要3 熟练掌握.对φ是非特殊角时,
3
只要求会求最值即可.
【例4】已知函数 f(x ) sin 2 x 3 sin x sin ( x )(ω>0)的最
2
小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)求函数f(x)在区间［ 0 ，2 ］ 上的取值范围.