陕西省黄陵中学高新部2018_2019学年高二数学下学期期末考试试题文(含解析)

陕西省黄陵中学高新部2018-2019学年高二数学下学期期末考试试
题 文（含解析）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.） 1.i 是虚数单位，计算122i
i
-+ 的结果为（ ） A. i B. i -
C. 1
D. 1-
【答案】B 【解析】
分析：根据复数的除法法则计算即可． 详解：由题意得12(12)(2)52(2)(2)5
i i i i
i i i i ----===-++-． 故选B ．
点睛：本题考查复数的除法运算法则，考查学生的运算能力，属于容易题． 2.已知{}
13A x x =-<<，{
}
2
320B x x x =-+<，则A B =U （ ） A. (,)-∞+∞ B. (1,2)
C. (1,3)-
D. (1,3)
【答案】C 【解析】
Q
{}
A 13x x =-<<，
{}
2320B x x x =-+<{}{}|12,|13x x A B x x =<<∴⋃=-<<=()1,3-，故选C.
3. 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在3
35/g m μ以下空气质量为一级，在3
35~75/g m μ空气量为二级，超过3
75/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3
/g m μ)的日均值，则下列说法不．正确．．
的是（ ）
A. 这10天中有3天空气质量为一级
B. 从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低
C. 这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55
D. 这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日 【答案】C 【解析】 【分析】
认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果.
【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A 正确； 从图可知从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低，所以B 正确； 从图可知，这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日，所以D 正确； 由图可知，这10天中 2.5PM 日均值的中位数是4145
432
+=，所以C 不正确； 故选C.
【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键. 4.函数sin y x x π=-的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】 【分析】
首先根据函数是奇函数，图象关于原点对称，从而排除B,C 两项，再结合相应区间上的函数值的符号，排除A 项，从而得到正确的结果.
【详解】根据sin y x x π=-，可知其为奇函数，所以图象关于原点对称，所以排除B,C 两项，
当x →+∞时，鉴于正弦函数的有界性，可知函数值y 趋向于正无穷， 所以图象应落在x 轴的上方，所以排除A ， 故选D.
【点睛】该题考查的是有关函数图象的选择问题，在解题的过程中，注意从定义域，单调性，图象的对称性，特殊点以及函数值的符号等方面入手，就可以正确选择函数的图象，属于简单题目. 5. 已知命题
1p ：函数22x x y -=-在R 为增函数， 2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，
则在命题1q ：12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p -∨和4q ：()12p p ∧-中，真命题是 A. 1q ，3q B. 2q ，3q
C. 1q ，4q
D. 2q ，4q
【答案】C 【解析】
1p 是真命题，2p 是假命题，∴1q ：12p p ∨，4q ：()12p p ∨⌝是真命题. 选C.
6.下列命题中的假命题是（ ） A. x R ∀∈，120x >－ B. *x N ∀∈，()2
10x >- C. 0x R ∃∈，0ln 1x < D. 0x R ∃∈，0tan 2x =
【答案】B 【解析】 【分析】
对x 赋值直接排除即可.
【详解】对于B 选项，当1x =时，满足*x ∈N ， 但是()2
10x =-，与()2
10x >-矛盾. 故选：B
【点睛】本题主要考查了命题真假的判断，考查赋值法及转化思想，属于基础题。

7.函数y x x =的图象经描点确定后的形状大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
判断y x x =的奇偶性即可得解。

【详解】记()f x x x =
则()()
()f x x f x x x x =---=--=，
所以()f x 为奇函数，它的图象关于原点对称，排除B,C,D. 故选：A
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的判断及奇函数图象的特征，考查分析能力及观察能力，属于较易题。

8.曲线ln y ex x =-在点()1,e 处的切线方程为（ ） A () 110e x y --+=
B. () 110e x y ---=
C. ()11
0e x y --+＝ D.
()110e x y ---=
【答案】C 【解析】 【分析】
求得ln y ex x =-的导数为()1
f x e x
'=-，即可求得切线斜率为()11f e '=-，由直线方程的点斜式列方程整理即可得解.
【详解】记()ln f x ex x =-，则()1f x e x
'=-
所以曲线ln y ex x =-在点()1,e 处的切线斜率为()1
111
f e e '=-
=- 所以曲线ln y ex x =-在点()1,e 处的切线方程为：()()11y e e x -=--， 整理得：()110e x y --+= 故选：C
【点睛】本题主要考查了导数的几何意义及导数计算，考查转化能力，属于较易题.
9.设点F 和直线l 分别是双曲线()22
2210,0x y a b a b
-=>>的一个焦点和一条渐近线，若F
关于直线l 的对称点恰好落在双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A. 2
【答案】C 【解析】 【分析】
取双曲线的左焦点为E ，设右焦点为F ，l 为渐近线，l 与渐近线的交点为,A F 关于直线l 的对称点设为P ，连接PE ，运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，离心率公式，计算可得所求值．
【详解】如图所示，取双曲线的左焦点为E ，设右焦点为F ，l 为渐近线，l 与渐近线的交点为,A F 关于直线l 的对称点设为P ，连接PE ，
直线l 与线段PF 的交点为A ，因为点P 与F 关于直线l 对称，
则l PF ⊥，且A 为PF 的中点，所以,,22AF b OA a PE AO a ====， 根据双曲线的定义，有2PF PE a -=，则222b a a -=，即2b a =，
所以2
2
15c b e a a
==+=， 故选：C ．
【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求法，注意运用三角形的中位线定理和双曲线的定义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
10.已知()3
2
2
3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，且函数()3212
33
g x x x =
+-在区间(),5c c +上存在最大值，则a b c -+的最大值为（ ） A. -6 B. -9 C. -11 D. -4
【答案】C 【解析】 【分析】
利用函数()322
3f x x ax bx a =+++在1x =-处有极值0，即则(1)0,(1)0f f '-=-=，解
得,a b ，再利用函数3212
()33
g x x x =
+-的导数判断单调性，在区间(,5)c c +上存在最大值可得74c -≤≤-，从而可得a b c -+的最大值．
【详解】由函数()3
2
2
3f x x ax bx a =+++，则()2
36f x x ax b '=++，
因为在1x =-，处有极值0，则(1)0,(1)0f f '-=-=，
即2130
360
a b a a b ⎧-+-+=⎨-+=⎩，解得1a =或2a =， 当1a =时，3b =，此时()22
3633(1)0f x x x x '=++=+≥，
所以函数()f x 单调递增无极值，与题意矛盾，舍去；
当2a =时，9b =，此时，()2
3693(1)(3)f x x x x x '=++=++，
则1x =-是函数的极值点，符合题意， 所以7a b -=-； 又因为函数3212
()33
g x x x =
+-在区间(,5)c c +上存在最大值， 因为2
()2(2)g x x x x x =+=+，
易得函数()g x 在(,2)-∞-和(0,)+∞上单调递增，在(2,0)-上单调递减， 则极大值为2(2)3g -=
，极小值为()2
13
g =，所以251c -≤+≤， 解得74c -≤≤-，则a b c -+的最大值为：7411--=-. 故选：C ．
【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
11.设A ，B 是抛物线2
4y x =上两点，抛物线的准线与x 轴交于点N ，已知弦AB 的中点
M 的横坐标为3，记直线AB 和MN 的斜率分别为1k 和2k ，则22
12k k +的最小值为（ ）
A. B. 2
D. 1
【答案】D 【解析】 【分析】
设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，可得121
2
k k =
，再由基本不等式可得所求最小值． 【详解】设1122(,),(,),(3,),(1,0)A x y B x y M t N -，可得2
2
11224,4y x y x ==， 相减可得121212()()4()y y y y x x -+=-， 可得1211212142
2y y k x x y y t t
-=
===-+，
又由24t k =
，所以1212
k k =， 则2
2
211221k k k k ≥=+
，当且仅当12k k ==
时取等号， 即22
12k k +的最小值为1.
故选：D ．
【点睛】本题主要考查了抛物线的方程和性质，考查直线的斜率公式和点差法的运用，以及中点坐标公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 12.设m R ∈，复数()()1z i m i =+-在复平面内对应
的
点位于实轴上，又函数
()ln f x m x x =+，若曲线()y f x =与直线l ：21y kx =-有且只有一个公共点，则实数k
的取值范围为（ ） A. {}1,12
⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦
U
B. (]{},01-∞U
C. (]{},02-∞U
D. ()(),02,-∞+∞U
【答案】A 【解析】 【分析】
由已知求得m ，得到()f x ，利用导数研究单调性及过(0,1)-的切线的斜率，再画出图形，数形结合，即可求得实数k 的取值范围．
【详解】由题意，复数()()()()111z i m i m m i =+-=++-在复平面内对应的点位于实轴上，
所以10m -=，即1m =，所以()ln ,0f x x x x =+>，则()1
10f x x
'=+>，所以函数()f x 单调递增，且当0x →时，()f x →-∞， 作出函数()ln f x x x =+的图象，如图所示： 又由直线:21l y kx =-过点(0,1)-，
设切点为000(,ln )x x x +，则在切点处的切线方程为0000
1
ln (
1)()y x x x x x --=+-，
把(0,1)-代入，可得0001ln 1x x x ---=--，即0ln 0x =，即01x =， 即切线的坐标为(1,1)，代入:21l y kx =-，可得22k =，即1k =， 又由图象可知，当2(,1]k ∈-∞，即1(,]2
k ∈-∞时， 曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点，
综上所述，当{}1(,]12
k ∈-∞U 时，曲线()y f x =与直线:21l y kx =-有且只有一个公共点， 故选：A ．
【点睛】本题主要考查了复数的基本概念，考查函数零点的判定，以及导数的几何意义和利用导数研究函数的单调性的应用，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题. 二、填空题。

13.已知向量(2,3)a =r ，(,6)b m =-r ，若a b ⊥r r
，则m =_____.
【答案】9 【解析】 【分析】
根据向量垂直可知向量的数量积等于零，利用数量积的坐标运算即可. 【详解】因为a b ⊥r r
所以(2,3)(,6)2180a b m m ⋅=⋅-=-=r r
，
解得m=9, 故填9.
【点睛】本题主要考查了向量垂直，向量的数量积计算，属于中档题. 14.已知sin cos 0αα-=，则cos(2)2
π
α+=__________.
【答案】1- 【解析】 【分析】
首先利用sin cos 0αα-=，将其两边同时平方，利用同角三角函数关系式以及倍角公式得到1sin 20α-=，从而求得sin21α=，利用诱导公式求得cos(2)sin 212
π
αα+=-=-，
得到结果.
【详解】因为sin cos 0αα-=，所以1sin 20α-=，即sin21α=， 所以cos(2)sin 212
π
αα+=-=-，
故答案是1-.
【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，倍角公式，诱导公式，属于简单题目.
15.已知函数2
2,(2)()log (1),(2)
x t t x f x x x ⎧⋅<=⎨-≥⎩，且(3)3f =，则[(2)]f f = ____． 【答案】6 【解析】
分析：由()33f =可求得2t =，先求得()2f 的值，从而可得()2f f ⎡⎤⎣⎦的值.
详解：Q 函数()()
()
2
2,(2)log 1,2x t t x f x x x ⎧⋅<⎪=⎨-≥⎪⎩，且()33f =， ()
2log 311t ∴-=，即log 83,2t t =∴=，
()()
2
2
22,2log 1,2x
x f x x x ⎧⨯<⎪
∴=⎨-≥⎪⎩， ()22log 3f ∴=，()2f f ⎡⎤=⎣⎦2
log 3
22
236⨯=⨯=，故答案为6. 点睛：本题主要考查分段函数的解析式、分段函数解不等式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.
16.在三棱锥V ABC -中，面VAC ⊥面ABC ，2VA AC ==，120VAC ∠=︒，BA BC ⊥
则三棱锥V ABC -的外接球的表面积是____ 【答案】16π 【解析】
【详解】解：如图，设AC 中点为M ，VA 中点为N ， ∵面VAC ⊥面ABC ，BA ⊥BC ，∴过M 作面ABC 的垂线， 球心O 必在该垂线上，连接ON ，则ON ⊥AV ． 在Rt △OMA 中，AM ＝1，∠OAM ＝60°，
∴OA ＝2，即三棱锥V ﹣ABC 的外接球的半径为2， ∴三棱锥V ﹣ABC 的外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π． 故答案为：16π．
三、解答题。

17.在ABC ∆中，角, , A B C 的
对边分别为, , a b c ，且sin 3cos 0a B b A +=.
(1)求A 的大小；
(2)若7a =，3b =，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）23A π=；（2）153
4
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理化简已知等式，整理后根据sin B ≠0求出tan 3A =A 的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，把a ，b ，cos A 的值代入求出c 的值，再由b ，sin A 的值，利用三角形面积公式求出即可．
【详解】（1）由正弦定理得sin sin3sin cos0A B B A+=，∵sin0B≠，∴sin3cos0A A+=，∴tan3A=-，∵0Aπ<<，∴23Aπ=（2）∵22222cos3a c b bcπ=+-，7a=，3b=，∴23400c c+-=，解得5c=或8c=-（舍），∴12sin23ABC S bcπ∆==13153352⨯⨯⨯=. 【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题
的关键．
18.某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在
[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组
区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45)，[40,45]）.
（1）求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；
（2）若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中
作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率.
【答案】（1）20；（2）
7 10
【解析】
【分析】
（1）选取的市民年龄在[]
40,45内的频率，即可求出人数；
（2）利用分层抽样的方法从第3组选3，记为A1，A2，A3从第4组选2人，记为B1，B2；再利用古典概型的概率计算公式即可得出.
【详解】（1）由题意可知，年龄在[]
40,45内的频率为0.0250.1P =⨯=， 故年龄在[]
40,45内的市民人数为2000.120⨯=.
（2）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3:2， 所以用分层抽样的方法在第3、4两组市民抽取5名参加座谈， 所以应从第3,4组中分别抽取3人，2人.
记第3组的3名分别为1A ，2A ，3A ，第4组的2名分别为1B ，2B ，则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为()12,A A ，()13,A A ，()11,A B ，()12,A
B ，()23,A A ，()21,A B ，()22,A B ，()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，共有10种.
其中第4组的2名1B ，2B 至少有一名被选中的有：()11,A B ，()12,A B ，()21,A B ，()22,A B ，
()31,A B ，()32,A B ，()12,B B ，
共有7种，所以至少有一人的年龄在[)35,40内的概率为7
10
.
【点睛】(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知E F ，
分别是11A C BC ，的中点
（1）求证：1C F ∥平面ABE ；
（2）若1AA ⊥平面12ABC AB BC AA AB BC ⊥===，，，求三棱锥1C ABE -的体积. 【答案】（1）见解析（2）23
【解析】
【分析】
（1）取AB 中点G ,连接,GF EG ，证明四边形1GFC E 为平行四边形即可求解；（2）利用
11C AB A E B EC V V --=进行求解
【详解】（1
取AB 中点G ,连接,GF EG ，1
,,2
GF AC GF AC Q P =
11111
,,,,2
EC AC EC AC EC GF EC GF =
\=P P 故四边形1GFC E 平行四边形，故
1C F GE P ，又1C F Ë平面ABE ，GE Ì平面ABE ，所以1C F ∥平面ABE
（2）由题22AC =111111
2
=222=3323
B AE
C AEC C ABE V V S h V --==
创创
【点睛】本题考查线面平行的判定，考查棱锥的体积公式，是基础题
20.某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响，他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数，得到如下资料：
日期 4月1日 4月2日 4月3日 4月4日 4月5日
温差()x C ︒
9 10 11 8 12
发芽数y （颗） 38
30 24 41 17
利用散点图，可知x y ，线性相关。

（1）求出y 关于x 的线性回归方程，若4月6日星夜温差5C ︒，请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数；
（2）若从4月1日: 4月5日的五组实验数据中选取2组数据，求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.
（公式：$1
2
21
n
i i
i n
i i x y nx y
b
a
y bx x nx
==-==--∑∑$，） 【答案】（1）6425y x =-+$
；36y =；（2）3
5
【解析】 【分析】
（1）先求出温差x 和发芽数y 的平均值，即得到样本中心点，利用最小二乘法得到线性回
归方程的系数，根据样本中心点在线性回归直线上，得到ˆa
的值，得到线性回归方程；再令x ＝5时，得y 值；（2）利用列举法求出基本事件的个数，即可求出事件“这两组恰好是不
相邻两天数据”的概率． 【详解】（1） ()191011812105x =
++++=，()1
3830244117305
y =++++=，51500xy =．
5
1
9381030112484112171438i i
i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，
5
2
222221
91011812510i i x ==++++=∑，25500x =．
由公式，求得1221 1438150065005ˆ150
n
i i i n i i x y n x y b x nx ==-⋅⋅-===---∑∑，630ˆ10425a y bx =-=+⨯=． 所以y 关于x 的线性回归方程为6
425
y x =-
+$
,当5x =，36y = （2）设五组数据为1,2,3,4,5则所有取值情况有：（12），（13），（14），（15），（23），（24），（25），（34），（35），（45），即基本事件总数为10．
设“这两组恰好是不相邻两天数据”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为（13），（14），（15），
（24），（25），（35）所以P （A ）63105=
=，故事件A 的概率为3
5
． 【点睛】本题考查求线性回归方程，考查古典概型概率的计算，准确计算是关键，属于中档题．
21.已知函数()ln ()a
f x x a R x
=+
∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）当0a >时，若函数()f x 在[1,]e 上的最小值是2，求a 的值. 【答案】（1）见解析；（2），a e =. 【解析】 【分析】 （1）求得()2
x a
f x x =
'-，分类讨论，即可求解函数的单调性； （2）当1a ≤时，由（1）知()f x 在[]
1,e 上单调递增，分1a e <<和a e ≥两种情况讨论，求得函数的最小值，即可求解.
【详解】（1）定义域为()0,+∞,求得()221a x a
f x x x x
='-=
-, 当0a ≤时，()0f x '>，故()f x 在()0,+∞单调递增 ,
当0a >时，令()0f x '=，得 x a =，所以当()0,x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减 当(),x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增.
（2）当1a ≤时，由（1）知()f x 在[]
1,e 上单调递增，所以 ()()min 12f x f a ===（舍去）,
当1a e <<时，由（1）知()f x 在[]1,a 单调递减，在[]
,a e 单调递增 所以()()min ln 12f x f a a ==+=，解得a e = （舍去）, 当a e ≥时，由（1）知()f x 在[]
1,e 单调递减， 所以()()min ln 12a a
f x f e e e e
==+=+=，解得a e = , 综上所述，a e =.
【点睛】本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中熟记函数的导数与函数的关系，准确判定函数的单调性，求得函数的最值是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推
理与运算能力，属于中档试题. 22.已知函数()()1ln 1
a x f x x x -=-
+，a R ∈．
()1若3x =是函数()f x 的极值点，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
()2若函数()f x 在区间1
,32
⎛⎫ ⎪⎝
⎭上为单调递减函数，求实数a 的取值范围； ()3设m ，n 为正实数，且m n >，求证：
ln ln 2m n m n
m n -+<-．
【答案】（1）310x y +-=；（2）8,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
；（3）见解析 【解析】 【分析】
()1求出导函数，得到函数()f x 的极值点，解得8a 3
=，求出切线的斜率为()1k f'13
==-，
切点为()1,0，然后利用点斜式求解切线方程；()2由()1知()()22
x 22a x 1
f'x x(x 1)+-+=
+，利
用函数()f x 在区间1,32⎛⎫
⎪⎝⎭上为单调递减函数，得到()2
x 22a x 10+-+≤在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立，推出12a 2x x -≥+
，设()1g x x x =+，1x ,32⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()1g x x x =+，利用基本不等式min g(x)2=，再求出函数的最大值，可得实数a 的取值范围；()3利用分析法证明，
要证m n m n lnm lnn 2-+<-，只需证 m 21m n ln 0m n 1
n
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭->+，设()()2x 1h x lnx x 1-=-+，()x 0,∞∈+，利用导数研究函数的单调性，可得()()10h x h >=,从而可得结论．
【详解】()()()11ln 1
a x f x x x -=-
+Q ，a R ∈．
()()()()2
2222
11221
1(1)2'(1)(1)(1)a x a x x a x x ax f x x x x x x x +--+-++-∴=-==
+++
3x =Q 是函数()f x 的极值点，
，解得83
a =
， 经检验，当8
3
a =
时，3x =是函数()f x 的极小值点，符合题意. 此时切线的斜率为()1
'13
k f ==-，切点为()1,0，
则所求切线的方程为310x y +-=
()2由()1知()()22
221
'(1)x a x f x x x +-+=
+
因为函数()f x 在区间1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
上为单调递减函数， 所以不等式()0f x ≤在区间1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
上恒成立.
即()2
2210x a x +-+≤在区间1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立， 当1,32x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，由()22210x a x +-+≤可得122a x x -≥+，
设()1g x x x =+，1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()11
22g x x x x x
=+≥⋅=， 当且仅当1
x x
=
时，即1x =时，()2min g x =， 又因为函数()1g x x x =+
在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
上为单调递减，在区间()1,3上为单调递增， 且15
22g ⎛⎫=
⎪⎝⎭
，()1033g =， 所以当1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()()1033g x g <=恒成立，
即()102233a g -≥=
，也即8
3
a ≥ 则所求实数a 的取值范围是8
,3
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
()3m Q ，n 为正实数，且m n >，∴要证
ln ln 2m n m n m n -+<-，只需证11
2ln m m n n m n
-+< 即证21ln 1m m n m n n ⎛⎫- ⎪⎝
⎭>+只需证 21ln 01m m n m n n
⎛⎫- ⎪⎝⎭->+ 设()()21ln 1
x h x x x -=-
+，()0,x ∈+∞，
则()2
22
14(1)'0(1)(1)x h x x x x x -=-
=≥++在()0,+∞上恒成立， 即函数()()21ln 1
x h x x x -=-
+在()0,+∞上是单调递增，
又1m n >Q ，()10m h h n ⎛⎫∴>= ⎪⎝⎭，即21ln 01
m m n m n n
⎛⎫- ⎪
⎛⎫⎝⎭-> ⎪⎝⎭+成立， 也即
ln ln 2
m n m n
m n -+<-成立.
【点睛】导数及其应用通常围绕四个点进行命题．第一个点是围绕导数的几何意义展开，设计求曲线的切线方程，根据切线方程求参数值等问题，这类试题在考查导数的几何意义的同时也考查导数的运算、函数等知识，试题的难度不大；第二个点是围绕利用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开，设计求函数的单调区间、极值、最值，已知单调区间求参数或者参数范围等问题，在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法；第三个点是围绕导数研究不等式、方程展开，涉及不等式的证明、不等式的恒成立、讨论方程根等问题，主要考查通过转化使用导数研究函数性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；第四个点是围绕性质并把函数性质用来分析不等式和方程等问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数性质的应用；本题涉及第一个点和第二个点，主要注意问题的转化，转化为不等式恒成立，转化为二次函数的性质．。