汾阳市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学测试

汾阳市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 若命题p ：∃x ∈R ，x ﹣2＞0，命题q ：∀x ∈R ，＜x ，则下列说法正确的是（ ）
A ．命题p ∨q 是假命题
B ．命题p ∧（￢q ）是真命题
C ．命题p ∧q 是真命题
D ．命题p ∨（￢q ）是假命题
2． 在空间中，下列命题正确的是（ ） A ．如果直线m ∥平面α，直线n ⊂α内，那么m ∥n
B ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β
C ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m ⊥α
D ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m ⊥β
3． 若动点),(),(2211y x B y x A 、分别在直线： 011=-+y x 和2l ：01=-+y x 上移动，则AB 中点M 所
在直线方程为（ ）
A ．06=--y x
B ．06=++y x
C ．06=+-y x
D ．06=-+y x
4． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P （单位：毫克/升）与时间t （单位：
小时）间的关系为0
e kt
P P -=（0P ，k 均为正常数）．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 的污染物，则需要（ ）小时. A.8
B.10
C. 15
D. 18
【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.
5． 已知函数f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x ＜0时，函数的部分图象如图所示，则不等式xf （x ）＜0的解集是（ ）
A ．（﹣2，﹣1）∪（1，2）
B ．（﹣2，﹣1）∪（0，1）∪（2，+∞）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（1，2）
D ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
6． 已知函数f （x ）=x 2﹣6x+7，x ∈（2，5]的值域是（ ） A ．（﹣1，2]
B ．（﹣2，2]
C ．[﹣2，2]
D ．[﹣2，﹣1）
7． 集合A={x|﹣1≤x ≤2}，B={x|x ＜1}，则A ∩B=（ ） A ．{x|x ＜1} B ．{x|﹣1≤x ≤2} C ．{x|﹣1≤x ≤1} D ．{x|﹣1≤x ＜1}
8． 二项式（x 2﹣）6的展开式中不含x 3项的系数之和为（ ） A ．20 B ．24 C ．30 D ．36
9． 已知函数f （x ）=lnx+2x ﹣6，则它的零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）
10．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（，
﹣
），∠AOC=α，若|BC|=1，则
cos 2
﹣sin
cos
﹣
的值为（ ）
A ．
B ．
C ．﹣
D ．﹣
11．cos80cos130sin100sin130︒︒-︒︒等于（ ）
A B ．12 C ．1
2
- D ． 12．已知定义域为R 的偶函数)(x f 满足对任意的R x ∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当
]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f .若函数)1(log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则
实数的取值范围是（ ）111]
A ．)2
2,
0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66
,0(
二、填空题
13．刘老师带甲、乙、丙、丁四名学生去西安参加自主招生考试，考试结束后刘老师向四名学生了解考试情况．四名学生回答如下：
甲说：“我们四人都没考好．” 乙说：“我们四人中有人考的好．” 丙说：“乙和丁至少有一人没考好．” 丁说：“我没考好．”
结果，四名学生中有两人说对了，则这四名学生中的 两人说对了．
14．已知命题p ：实数m 满足m 2+12a 2＜7am （a ＞0），命题q ：实数m 满足方程+=1表示的焦点
在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为 ．
15．若函数()f x 的定义域为[]1,2-，则函数(32)f x -的定义域是 ．
16．设α为锐角，若sin （α﹣
）=，则cos2α= ．
17．过抛物线C ：y 2=4x 的焦点F 作直线l 交抛物线C 于A ，B ，若|AF|=3|BF|，则l 的斜率是 ． 18．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3个数为 ．
三、解答题
19X
（I ）求该运动员两次都命中7环的概率； （Ⅱ）求ξ的数学期望E ξ．
20．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、 2PF 构成等差数列． （I ）求椭圆C 的方程；
（II ）设经过2F 的直线m 与曲线C 交于P Q 、两点，若2
2
2
11PQ F P F Q =+，求直线m 的方程．
21．已知f（x）=lg（x+1）
（1）若0＜f（1﹣2x）﹣f（x）＜1，求x的取值范围；
（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x∈[1，2]）的反函数．
22．已知函数f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx+（ω＞0）经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象
ππ
（Ⅰ）请直接写出①处应填的值，并求函数f（x）在区间[﹣，]上的值域；
（Ⅱ）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A+）=1，b+c=4，a=，求△ABC的面
积．
23．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2S n +1，等差数列{b n }满足b 3=3，b 5=9， （1）分别求数列{a n }，{b n }的通项公式；
（2）若对任意的n ∈N *
，
恒成立，求实数k 的取值范围．
24．（本小题满分12分）111]
在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，DB EF //. （1）已知BC AB =，CF AF =，求证：⊥AC 平面BEF ； （2）已知H G 、分别是EC 和FB 的中点，求证： //GH 平面ABC .
汾阳市第四高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：∃x∈R，x﹣2＞0，即不等式x﹣2＞0有解，∴命题p是真命题；
x＜0时，＜x无解，∴命题q是假命题；
∴p∨q为真命题，p∧q是假命题，￢q是真命题，p∨（￢q）是真命题，p∧（￢q）是真命题；
故选：B．
【点评】考查真命题，假命题的概念，以及p∨q，p∧q，￢q的真假和p，q真假的关系．
2．【答案】C
【解析】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；
对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；
对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；
对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；
故选：C．
【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．
3．【答案】D
【解析】
考点：直线方程
4．【答案】15
【解析】
5．【答案】D
【解析】解：根据奇函数的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图
则不等式xf（x）＜0的解为：或
解得：x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）∪（0，1）∪（2，+∞）
故选：D．
6．【答案】C
【解析】解：由f（x）=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，x∈（2，5]．
∴当x=3时，f（x）min=﹣2．
当x=5时，．
∴函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．
故选：C．
7．【答案】D
【解析】解：A∩B={x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}={x|﹣1≤x≤2，且x＜1}={x|﹣1≤x＜1}．
故选D．
【点评】本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分．
8．【答案】A
【解析】解：二项式的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•x12﹣3r，令12﹣3r=3，求得r=3，
故展开式中含x3项的系数为•（﹣1）3=﹣20，而所有系数和为0，
不含x3项的系数之和为20，
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
9．【答案】C
【解析】解：易知函数f（x）=lnx+2x﹣6，在定义域R+上单调递增．
因为当x→0时，f（x）→﹣∞；f（1）=﹣4＜0；f（2）=ln2﹣2＜0；f（3）=ln3＞0；f（4）=ln4+2＞0．可见f（2）•f（3）＜0，故函数在（2，3）上有且只有一个零点．
故选C．
10．【答案】A
【解析】解：∵|BC|=1，点B的坐标为（，﹣），故|OB|=1，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC=，
又∠AOC=α，∴∠AOB=﹣α，∴cos（﹣α）=，﹣sin（﹣α）=﹣，
∴sin（﹣α）=．
∴cosα=cos[﹣（﹣α）]=cos cos（﹣α）+sin sin（﹣α）
=+=，
∴sinα=sin[﹣（﹣α）]=sin cos（﹣α）﹣cos sin（﹣α）
=﹣=．
∴cos2﹣sin cos﹣=（2cos2﹣1）﹣sinα=cosα﹣sinα
=﹣=，
故选：A．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，三角恒等变换，属于中档题．
11．【答案】D
【解析】
试题分析：原式()()
cos80cos130sin80sin130cos80130cos210cos30180cos30
=︒︒-︒︒=︒+︒=︒=︒+︒=-︒
=．
考点：余弦的两角和公式.
12．【答案】B
【解析】
试题分析：()()1
)2
(f
x
f
x
f-
=
+
，令1-
=x，则()()()1
1
1f
f
f-
-
=，()x f 是定义在R上的偶函数,()0
1=
∴f()()2+
=
∴x
f
x
f．则函数()x f是定义在R上的，周期为的偶函数，又∵当[]3,2∈x时，
()181222-+-=x x x f ，令()()1log +=x x g a ，则()x f 与()x g 在[)+∞,0的部分图象如下图，
()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点可化为()x f 与()x g 的图象在()+∞,0上至少有三个交点，
()x g 在()+∞,0上单调递减，则⎩⎨
⎧-><<2
3log 10a a ，解得：33
0<<a 故选A ．
考点：根的存在性及根的个数判断.
【方法点晴】本题是一道关于函数零点的题目，关键是结合数形结合的思想进行解答.根据已知条件推导可得()x f 是周期函数,其周期为,要使函数()()1log +-=x x f y a 在()+∞,0上至少有三个零点,等价于函数()x f 的
图象与函数()1log +=x y a 的图象在()+∞,0上至少有三个交点,接下来在同一坐标系内作出图象,进而可得的范围.
二、填空题
13．【答案】乙 ，丙
【解析】【解析】
甲与乙的关系是对立事件，二人说话矛盾，必有一对一错，如果选丁正确，则丙也是对的，所以丁错误，可得丙正确，此时乙正确。

故答案为：乙，丙。

14．【答案】
[
，] ．
【解析】解：由m 2﹣7am+12a 2
＜0（a ＞0），则3a ＜m ＜4a
即命题p ：3a ＜m ＜4a ，
实数m
满足方程
+
=1表示的焦点在y 轴上的椭圆，
则，
，解得1＜m ＜2， 若p 是q 的充分不必要条件，
则，
解得
，
故答案为[，]．
【点评】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质和椭圆的性质求出p ，q 的等价条件是解决本题的关键．
15．【答案】1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【解析】
试题分析：依题意得11322,,22x x ⎡⎤-≤-≤∈⎢⎥⎣⎦
.
考点：抽象函数定义域．
16．【答案】 ﹣ ．
【解析】解：∵α为锐角，若sin （α﹣）=，
∴cos （α﹣）=，
∴sin
=
[sin （α﹣
）+cos （α﹣
）]=
，
∴cos2α=1﹣2sin 2
α=﹣
．
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查了同角三角函数关系式，二倍角的余弦函数公式的应用，属于基础题．
17．【答案】 ．
【解析】解：∵抛物线C 方程为y 2
=4x ，可得它的焦点为F （1，0）， ∴设直线l 方程为y=k （x ﹣1），
由
，消去x 得
．
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y1+3y2=0，可得y1=﹣3y2，代入①得﹣2y2=，且﹣3y22=﹣4，
消去y
得k2=3，解之得k=±．
2
故答案为：．
【点评】本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．
18．【答案】3+．
【解析】解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．
前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，
即个，
因此第n行第3个数是全体正整数中第3+个，
即为3+．
故答案为：3+．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）设A=“该运动员两次都命中7环”，
则P（A）=0.2×0.2=0.04．
（2）依题意ξ在可能取值为：7、8、9、10
且P（ξ=7）=0.04，
P（ξ=8）=2×0.2×0.3+0.32=0.21，
P（ξ=9）=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3×0.32=0.39，
P（ξ=10）=2×0.2×0.2+2×0.3×0.2+2×0.3×0.2+0.22=0.36，
∴ξ的分布列为：
ξ7 8 9 10
P 0.04 0.21 0.39 0.36
ξ的期望为Eξ=7×0.04+8×0.21+9×0.39+10×0.36=9.07．
【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．
20．【答案】
【解析】【命题意图】本题考查椭圆标准方程和定义、等差数列、直线和椭圆的位置关系等基础知识，意在考查转化与化归的数学思想的运用和综合分析问题、解决问题的能力．
（II ）①若m 为直线1=x ，代入
13
42
2=+y x 得23±=y ，即)23 , 1(P ，)23 , 1(-Q
直接计算知29PQ =，2
25||||2121=+Q F P F ，222
11PQ F P
F Q ?，1=x 不符合题意 ； ②若直线m 的斜率为k ，直线m 的方程为(1)y k x =-
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==+
)1(1342
2x k y y x 得0)124(8)43(2222=-+-+k x k x k 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2221438k k x x +=+，2
2214312
4k
k x x +-=⋅ 由222
11PQ F P F Q =+得，11
0F P FQ ? 即0)1)(1(2121=+++y y x x ，0)1()1()1)(1(2121=-⋅-+++x k x k x x
0)1())(1()1(2212212=+++-++k x x k x x k
代入得0438)1()143124)(1(2
22222=+⋅-+++-+k k k k k k ，即0972
=-k 解得773±=k ，直线m 的方程为)1(7
7
3-±=x y
21．【答案】
【解析】解：（1）f（1﹣2x）﹣f（x）=lg（1﹣2x+1）﹣lg（x+1）=lg（2﹣2x）﹣lg（x+1），要使函数有意义，则
由解得：﹣1＜x＜1．
由0＜lg（2﹣2x）﹣lg（x+1）=lg＜1得：1＜＜10，
∵x+1＞0，
∴x+1＜2﹣2x＜10x+10，
∴．
由，得：．
（2）当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，
∴y=g（x）=g（x﹣2）=g（2﹣x）=f（2﹣x）=lg（3﹣x），
由单调性可知y∈[0，lg2]，
又∵x=3﹣10y，
∴所求反函数是y=3﹣10x，x∈[0，lg2]．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）①处应填入．
=．
∵T=，
∴，，
即．
∵，∴，∴，
从而得到f（x）的值域为．
（Ⅱ）∵，
又0＜A＜π，∴，
得，．
由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA==（b+c）2﹣3bc，
即，∴bc=3．
∴△ABC的面积．
【点评】本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题．
23．【答案】
【解析】解：（1）由a n+1=2S n+1①
得a n=2S n﹣1+1②，
①﹣②得a n+1﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），
∴a n+1=3a n（n≥2）
又a2=3，a1=1也满足上式，
∴a n=3n﹣1；
b5﹣b3=2d=6∴d=3
∴b n=3+（n﹣3）×3=3n﹣6；
（2），
∴对n∈N*恒成立，
∴对n∈N*恒成立，
令，，
当n≤3时，c n＞c n﹣1，当n≥4时，c n＜c n﹣1，
，
所以实数k的取值范围是
【点评】已知数列的项与前n项和间的递推关系求数列的通项，一般通过仿写作差的方法得到数列的递推关系，再据递推关系选择合适的求通项方法．
24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】
试题分析：（1）根据DB EF //,所以平面BEF 就是平面BDEF ,连接DF,AC 是等腰三角形ABC 和ACF 的公共底边，点D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥,DF AC ⊥,即证得⊥AC 平面BEF 的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC 的中点为，连接GI ，HI ，根据中位线证明平面//HGI 平面ABC ,即可证明结论.
试题解析：证明：（1）∵DB EF //，∴EF 与DB 确定平面BDEF .
如图①，连结DF . ∵CF AF =，D 是AC 的中点，∴AC DF ⊥.同理可得AC BD ⊥. 又D DF BD = ，⊂DF BD 、平面BDEF ，∴⊥AC 平面BDEF ，即⊥AC 平面BEF .
考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.
【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行.。