第三章 线性方程组
第三章线性方程组
第三章 线性方程组本章说明与要求:本章主要介绍线性方程组的基本概念以及求解线性方程组的消元法，并由此引出矩阵及其初等变换的有关概念．讨论一般的n 元线性方程组的求解问题．一般的线性方程组的形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(I)方程的个数m 与未知量的个数n 不一定相等，对于线性方程组(I )，需要研究以下两个问题：(1) 怎样判断线性方程组是否有解？即它有解的充分必要条件是什么？(2) 方程组有解时，它究竟有多少个解及如何去求解？。
本章重点：解线性方程组；线性方程组解的判定.。
本章难点：用矩阵的初等变换解线性方程组；线性方程组解的判定.§1 线性方程组的消元法解二元、三元线性方程组时曾用过加减消元法，实际上是解一般n 元线性方程组的最有效的方法．下面通过例子介绍如何用消元法解一般的线性方程组．例1．求解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x(1)解：交换第一、三两个方程的位置： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=--2531252321321321x x x x x x x x x第一个方程乘以(–1)加于第二个方程，第一个方程乘以(–3)加于第三个方程，得：⎪⎩⎪⎨-=+-=+1385433232321x x x x第二个方程乘以(–5)加于第三个方程，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x(2) 第三个方程乘以(–71)，求得x 3=–1，再代入第二个方程，求出x 2=–1，最后求出x 1=2．这样就得到了方程组(1)的解：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x方程组(2)称为阶梯形方程组．如果在本例中，把原方程组中的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=6，得到一个新的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x(3)用类似的方法，可以把方程组化为 ⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x (4)即 ⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 显然，此方程组有无穷多个解．如果在本例中，把原方程组的第一个方程改为2x 1–3x 2+ x 3=5，作出新的方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212532321321321x x x x x x x x x(5)用类似的方法，可得到⎪⎩⎪⎨-=-=+104332321x x (6)显然方程组无解． 上面的方法具有一般性，即无论方程组只有一个解或有无穷个解还是没有解，都可用消元法将其化为一个阶梯形方程组，从而判断出它是否有解．分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所作的变换，也只是由以下三种基本的变换所构成：1. 交换方程组中某两个方程的位置；2. 用一个非零数乘某一个方程；3. 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程上．这三种变换称为线性方程组的初等变换．用消元法解线性方程组的过程就是对线性方程组反复地实行初等变换的过程．方程组(I)的全部解称为(I)的解集合．如果两个方程组有相同的解集合，就称它们是同解的或等价的方程组．现在证明：初等变换把方程组变成与它同解的方程组．考虑线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111 (I)我们只对第三种变换来证明．为简便起见，不妨设把第二个方程乘以数k 后加到第一个方程上，这样，得到新方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=++++++mn mn m m n n n n n b x a x a x a b x a x a x a kb b x ka a x ka a x ka a 22112222212121212221212111)()()( (I ' ) 设x i =c i (i =1，2，…，n )是(I)的任意一个解．因(I)与(I ' )的后m –1个方程是一样的，所以，x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I ' )的后m –1个方程 ．又x i =c i (i =1，2，…，n )满足(I)的前两个方程，所以有⎩⎨⎧=+++=+++22222211211122121111b x c a x c a x c a b x c a x c a x c a n n n n n n 把第二式的两边乘以k ，再与第一式相加，即为21212221212111)()()(kb b c ka a c ka a c ka a n n n +=++++++这说明x i =c i (i =1，2，…，n )又满足(I')的第一个方程，故x i =c i (i =1，2，…，n )是(I')的解．类似地可以证明(I ')的任意一个解也是(I)的解，这就证明了(I) 与(I ')是同解的．容易证明另外两种初等变换，也把方程组变成与它同解的方程组．下面来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组．对于方程组(I)，首先检查x 1的系数．如果x 1的系数a 11， a 21， … ， a m 1全为零，那么方程组(I)对x 1没有任何限制，x 1就可以任意取值，而方程组(I)可看作x 2， …， x n 的方程组来解．如果x 1的系数不全为零，不妨设a 11≠0不等于零，否则可利用初等变换1，交换第一个方程与另一个方程的位置，使得第一个方程中x 1的系数不为零．然后利用初等变换3，分别把第一个方程的)(111a a i -倍加到第i 个(i =2，3，…， m )方程，于是方程组(I)变成 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=+++m n mn m n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a 222222*********(Ⅱ) 其中 n j m i a a a a a j i ij ij ,,2 ,,,2 ,'1111⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-= 显然方程组(Ⅱ)与(Ⅰ)是同解的．对方程组(Ⅱ)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步一步做下去，必要时改变未知量的次序，最后就得到一个阶梯形方程组．为了讨论方便，不妨设所得到的阶梯形方程组为⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧====++=++++=++++++000001222222111212111r r n rn r rr n n r r n n r r d d x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c (Ⅲ)其中c ii ≠0， i =1，2，…，r ．方程组(Ⅲ)中“0 = 0”是一些恒等式，可以去掉，并不影响方程组的解．我们知道，(I)与(Ⅲ)是同解的，根据上面的分析，方程组(Ⅲ)是否有解就取决于第r +1个方程0 = d r +1是否矛盾，于是方程组(I)有解的充分必要条件为d r+1= 0．在方程组有解时，分两种情形：1) 当r =n 时，阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==++=+++n n nn n n n n d x c d x c x c d x c x c x c 2222211212111 (Ⅳ)其中c ii ≠0， i =1，2，…， n ．由克莱姆法则(Ⅳ)有唯一解，从而(I)有唯一解．例如 前面讨论过的方程组(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212253321321321x x x x x x x x x经过一系列的初等变换后，变为阶梯形方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=+=--774352332321x x x x x x这时方程的个数等于未知量的个数，方程组的唯一解是⎪⎩⎪⎨⎧-=-==112321x x x2) 当 r <n 时，这时阶梯形方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++++=++++++++++++211221122222111111212111d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c x c x c n rn r rr r rr n n r r r r n n r r r r其中 c ii ≠0， i =1，2，…， r ， 写成如下形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=++---=+++++++++n rn r rr r rr n n r r r r n r r n r r x c x c d x c x c x c d x c x c x c x c d x c x c x c 112211222222111111212111(Ⅴ)当x r+1，…，x n 任意取定一组值，就唯一确定出x 1，…，x r 值，也就是定出方程组(Ⅴ)的一个解，一般地，由(Ⅴ)可以把x 1，x 2…，x r 的值由x r+1，…，x n 表示出来．这样表示出来的解称为方程组(I)的一般解，因x r+1，…，x n 可以任意取值，故称它们为自由未知量．显然，(Ⅴ)有无穷多个解，即(I)有无穷多个解．如上面讨论过的方程组(3)⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-=+-5212632321321321x x x x x x x x x经过一系列的变换后，得到阶梯形方程组⎩⎨⎧-=+=+-431232321x x x x x 将x 1，x 2用x 3表示出来即有⎩⎨⎧--=--=32313453x x x x 这就是方程组(3)的一般解，而x 3是自由未知量．用消元法解线性方程组的过程，归纳起来就是，首先用初等变换把方程组化为阶梯形方程组，若最后出现一些等式“0 = 0”，则将其去掉．如果剩下的方程当中最后一个方程是零等于一个非零的数，那么方程组无解，否则有解．方程组有解时，如果阶梯形方程组中方程的个数等于未知量的个数，则方程组有唯一解；如果阶梯形方程组中方程个数小于未知量的个数，则方程组有无穷多个解．当线性方程组(1)中的常数项b 1= b 2=…= b m = 0时，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a(Ⅵ)称为齐次线性方程组．显然，齐次线性方程组是一定有解的．因为x 1= x 2=…= x n =0就是它的一个解．这个解称为齐次方程组的零解．我们所关心的是它除了零解之外，还有没有非零解？把上述对非齐次线性方程组讨论的结果应用到齐次线性方程组，就有如下定理．定理 在齐次线性方程组(Ⅵ)中，如果m<n ，则它必有非零解．证明：因为(Ⅵ)一定有解，又r ≤m<n ，所以它有无穷多个解，因而有非零解．§2 线性方程组有解判别定理从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211表中的第i 行代表方程组(I)的第i 个方程，第j 列表示x j 的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211它称为线性方程组的系数矩阵．已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是1) 交换矩阵的某两行的位置；2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行；3) 用一个数乘某一行后加到另一行上．这三种变换称为矩阵的初等行变换．类似地，有1’) 交换矩阵的某两列的位置；2’) 用一个非零的数去乘矩阵的某一列；3’) 用一个数乘某一列后加到另一列上．1’) ，2’) ，3’)称为矩阵的初等列变换．矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换统称为矩阵的初等变换．利用方程组的初等变换把线性方程组化为阶梯形方程组，相当于用矩阵的初等行变换至多利用第一种列变换，把方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵．这一节我们利用矩阵秩的概念来讨论线性方程组解的情况．设线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(1)的系数矩阵和增广矩阵分别为A 和A ， 即 A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211， A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 21222221111211． 定理1 线性方程组（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等，即r (A )=r (A )证：必要性如果方程组(1)有解，则β可由α1，α2，…，αn 线性表出，从而向量组α1，α2，…，αn ，β 可由α1，α2，…，αn 线性表出．又显然α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是 {α1，α2，…，αn }≅{α1，α2，…，αn ，β}．所以 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，因此 r (A )=r (A )充分性 若 r (A )=r (A )，则有 r {α1，α2，…，αn }=r {α1，α2，…，αn ，β}，又向量组 α1，α2，…，αn 可由α1，α2，…，αn ，β 线性表出，于是由§4的定理4知{}n ααα,,,21 ≅{}βααα,,,,21n ，因此β可由n ααα,,,21 线性表出，这就表明线性方程组(1)有解．此定理与前面§1介绍的消元法所得的结果是一致的．用消元法解线性方程组就是用初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵，这个阶梯形矩阵在适当调动前几列的顺序之后可能有两种情形：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 1222221111211r r rn rr n r n r d d c c d c c c d c c c c 或者⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 222221111211r rn rr n r n r d c c d c c c d c c c c其中c ii ≠0，i =1，2，…， r ，d r+1≠0．在前一种情形，我们说原方程组无解，而后一种情形方程组有解．实际上，把阶梯形矩阵中最后一列去掉，就是系数矩阵经过初等变换所变成的阶梯形矩阵．所以，当d r+1≠0时，r (A )≠r (A )，方程无解；当d r+1=0时，r (A )＝r (A )，方程组有解．例1 判断方程组有解还是无解．⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-++=+--72512420563432143214321x x x x x x x x x x x x解：⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→----→---=5000011216700563172432140112167005631712151241205631A 显然，r (A )=3，而r (A )=2，所以方程组无解．下面讨论线性组在有解的条件下解的情况．设线性方程组(1)有解，则r (A )=r (A )=r ，因而A 必有一个r 阶子式D ≠0(当然它也是A 的不为零的r 阶子式)．为方便叙述起见，不妨设D 位于A 的左上角．显然这时D 所在的行是A 的一个极大无关组，第r +1， r +2， …， m 行都可由它们线性表出．因此方程组(1)与⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++r n rn r r n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222212111212111(2)同解．当r =n 时，由克拉默法则，方程组(2)有唯一解，即线性方程组有唯一解． 当r<n 时，把方程组(2)改写为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=+++---=+++---=+++++++++n rn r r r r r rr r r n n r r r r n n r r r r x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a x a x a b x a x a x a 112211212222222121111111212111 (3)此方程组作为x 1，x 2，…，x r 的方程组时，其系数行列式正是D ，而D ≠0，由克拉默法则，对于x r+1，x r+2，…，x n 的任意一组值，方程组(3)都有唯一解，也就是方程组(1)都有唯一解．x r+1，x r+2，…，x n 就是方程组(1)的一组自由未知量．对于(3)用克拉默法则，可解出x 1，x 2，…，x r ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'++'+'='++'+'='++'+'=++++++n rn r rrr r n n r r n n r r x c x c d x x c x c d x x c x c d x 11211222111111 (4)这就是线性方程组(1)的一般解．从上面的讨论可得：定理2 当线性方程组有解时，(1) 若r (A )=r =n ，则方程组有唯一解．(2) 若r (A )=r<n ，则方程组有无穷多解．例2 求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+-1223223553132432143214321x x x x x x x x x x x x解：对增广矩阵A 作初等行变换化为阶梯形矩阵→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=104101041011321122322355311321A⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000001041011501000001041011321由于r (A )=r (A )=2<4，所以方程组有解无穷多解，而且方程的全部解为⎩⎨⎧+-=++-=424314151x x x x x x 3、x 4为自由未知量．对于齐次线性方程组，由于它的系数矩阵A 与增广矩阵的秩总是相等的，所以齐次方程组总是有解的，至少有零解．那么，何时有非零解呢？将定理2用于齐次线性方程组立即可得到如下推论．推论1 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n mn m m nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数矩阵的秩r (A )=r<n ． 推论2 齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++000221122221211212111n nn n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a 有非零解的充分必要条件是：系数行列式D =0 例3 λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=+-+=+++0)3()1(30)1(02)3(321321321x x x x x x x x x λλλλλλ 有非零解？并求其一般解．解：计算系数行列式λλλλλλλλλλλλλλλλλλ 0 0 1 1 0 21 1 1 0 1 1 02 1 31 1 02 13 )1(31 1 2 1 3-=+--=+-=++-+=D =λ2(λ–1)令D =０，知λ=0或 λ=1时，方程组有非零解．(1) 当λ=０时，易求得一般解为⎩⎨⎧=-=3231x x x x x 3为自由未知量．(2) 当λ=1时，易求得一般解为⎩⎨⎧=-=32312x x x x x 3为自由未知量．思考题：1. 当λ为何值时，下述齐次线性方程组有非零解？并且求出它的一般解．⎪⎩⎪⎨⎧=+++=--+-=---0)3(14202)8(023)2(321321321x x x x x x x x x λλλ 2. 当a 与b 取什么值时，线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=++++bx x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325432154321334536223231 有解？在有解的情况下，求它的一般解．§3 线性方程组的应用线性方程组是线性代数的核心内容之一，它不仅可以广泛地应用于科学、工程计算和统计分析等领域，同时也应用于财经类的后继课程. 很多实际问题的处理最后也往往归结为比较容易处理的线性方程组的问题, 由于数学软件的优化普及, 使线性方程组能够更好地解决我们现实中的问题. 本节将简要介绍线性方程组在几何学、运筹学、经济学等方面的基本应用.一、在解析几何中的应用解析几何是数与形的有机结合, 它将几何体用代数形式巧妙的表示出来, 然后通过研究代数方程的相关性质, 从而揭示几何图形的内在本质. 例1 已知平面上三条不同直线的方程分别为1L ：230ax by c ++=,2L ：230bx cy a ++=, 3L ：230cx ay b ++=,试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为0a b c ++=.证 必要性 设三直线1L , 2L , 3L 交于一点, 则线性方程组232323ax by c bx cy a cx ay b +=-⎧⎪+=-⎨⎪+=-⎩(1) 有唯一解, 故系数矩阵222a b A b c c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与增广矩阵232323a b c A b c a c a b -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的秩均为2, 于是det()0A =, 即22223det()236()()23ab cA bc a a b c a b c ab ac bc cab-=-=++++----=0, 所以0a b c ++=.充分性 由0a b c ++=, 则从必要性的证明可知, det()0A =, 故()3r A <. 而22222132()2[()]2[()]0224a bac b a a b b a b b b c =-=-++=-++≠,因此()()2r A r A ==. 所以线性方程组(1)有唯一解, 即三直线1L ,2L ,3L 交于一点. 例2 要使得平面上三点()111,x y P , ()222,x y P , ()333,x y P 在同一条直线上, 则需满足什么条件？解 三点位于平面同一条直线上, 不妨令直线为0ax by c ++=, ,,a b c 不全为零. 三点坐标满足齐次线性方程组112233000ax by c ax by c ax by c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 从而有以,,Y X Z 为未知量的方程组112233000x Yy x Yy x Yy X ++Z =⎧⎪X ++Z =⎨⎪X ++Z =⎩ 存在非零解 ,,a Y b Z c X ===； 由线性方程组解的判别方法可知：齐次线性方程组有非零解等价于1122331131x y r x y n x y ⎛⎫⎪<= ⎪ ⎪⎝⎭(n 为未知量的个数)； 因此, 平面上三点,()i i i x y P (1,2,3i =)在1122331131x y r x y n x y ⎛⎫⎪<= ⎪ ⎪⎝⎭条件下共线. 二、在运筹学中的应用在运筹学中, 很多问题往往要用到线性方程组中的知识去运算求解．例3 有三个生产同一产品的工厂1A 、2A 和3A , 其年产量分别为40吨、20吨和10吨, 该产品每年有两个用户1B 和2B , 其用量分别为45吨和25吨, 由各产地i A 到各用户j B 的距离ij C (千米), 如下表所示(1,2,3,1,2i j ==). 各厂的产品如何调配才能使运费最少？(按每吨产品每千米的运费为1元计算)解 为了解决这个问题, 我们假设各厂i A 调运到各用户j B 的产品数量为ij x (1,2,3,1,2i j ==).容易看出, 三个厂的总产量与两个用户的总用量刚好相等, 所以对产地来说产品应全部调出, 因此有111240x x +=, (2)212220x x +=, (3) 313210x x +=, (4)同时对用户来说调来的产品刚好是所需要的, 因此又有11213145x x x ++=, (5) 12223225x x x ++=, (6)以上方程(2)-(6)就是ij x 应满足的一些条件． 要使运费最小, 即使得112131122232455892587236s x x x x x x =+++++达到最小.于是, 题目要解决的问题是：如何选择非负数ij x ,1,2,3,1,2i j ==, 使之满足(2)-(6), 而是总运费s 最小.三、在经济学中的应用例4 假设一个经济系统由三个行业：五金化工、能源（如燃料、电力等）、机械组成, 每个行业的产出在各个行业中的分配见下表, 每一列中的元素表示占该行业总产出的比例. 以第二列为例, 能源行业的总产出的分配如下：80%分配到五金化工行业, 10%分配到机械行业, 余下的供本行业使用. 因为考虑了所有的产出, 所以每一列的小数加起来必须等于 1. 把五金化工、能源、机械行业每年总产出的价格(即货币价值)分别用123,,p p p 表示. 试求出使得每个行业的投入与产出都相等的平衡价格.产出分配购买者五金化工 能源 机械 0.2 0.8 0.4 五金化工 0.3 0.1 0.4 能源 0.50.10.2机械假设一个国家的经济分为很多行业, 例如制造业、通讯业、娱乐业和服务行业等. 我们知道每个部门一年的总产出, 并准确了解其产出如何在经济的其它部门之间分配或“交易”.把一个部门产出的总货币价值称为该产出的价格(price). 我们有如下结论： 存在赋给各部门总产出的平衡价格, 使得每个部门的投入与产出都相等.解 表可以看出, 沿列表示每个行业的产出分配到何处, 沿行表示每个行业所需的投入. 例如, 第1行说明五金化工行业购买了80%的能源产出、40%的机械产出以及20%的本行业产出, 由于三个行业的总产出价格分别是123,,p p p , 因此五金化工行业必须分别向三个行业支付1230.2,0.8,0.4p p p 元. 五金化工行业的总支出为1230.20.80.4p p p ++. 为了使五金化工行业的收入1p 等于它的支出, 因此希望11230.20.80.4p p p p =++.采用类似的方法处理上表中第2、3行, 同上式一起构成齐次线性方程组1123212331230.20.80.40.30.10.40.50.10.2p p p p p p p p p p p p=++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩ 该方程组的通解为1233 1.4170.9171.000p p p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 此即经济系统的平衡价格向量, 每个3p 的非负取值都确定一个平衡价格的取值. 例如, 我们取3p 为 1.000亿元, 则1 1.417p =亿元，20.917p =亿元. 即如果五金化工行业产出价格为1.417亿元， 则能源行业产出价格为0.917亿元, 机械行业的产出价格为1.000亿元, 那么每个行业的收入和支出相等. 在研究一些数量在网络中的流动时自然推导出线性方程组. 例如, 城市规划和交通工程人员监控一个网络状的市区道路的交通流量模式；电气工程师计算流经电路的电流；以及经济学家分析通过分销商和零售商的网络从制造商到顾客的产品销售, 许多网络中的方程组涉及成百甚至上千的变量和方程．例5 下图给出了某城市部分单行道的交通流量（每小时过车数）．假设 (1) 流入网络的流量等于全部流出网络的流量；(2) 全部流入一个节点的流量等于全部流出此节点的流量. 请确定该交通网络未知部分的具体流量.100x x解 首先写出表示流量的线性方程组, 然后求出方程组的通解. 图中各节点的流入量和流出量见下表：网络节点 流入量流出量A 24x x + 1300x +B 100400+ 26x x +C 7200x +3400x +D 300500+ 45x x +E 56x x +200600+F 400600+ 78x x +G 300600+ 9500x +H 9200x + 10xJ 10500x +400700+整个系统20001381000x x x +++根据假设(1)和(2), 经过简单整理, 可得到该网络流系统满足的线性方程组为124263745567891013830050020080080010004006001000x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪+=⎪⎪-+=⎪+=⎪⎪+=⎨⎪+=⎪=⎪⎪=⎪⎪++=⎩ 交通流量模式(即方程组的通解)为124385464789102005008008001000400600x x xx x x x x x x x x x =⎧⎪=-⎪⎪=-⎪=-⎪⎨=⎪⎪=-⎪=⎪⎪=⎩,48,x x 是自由变量.。
线性方程组
第三章 线性方程组§1消元法现在来讨论一般线性方程组，所谓一般线性方程组是指形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,221122222212111212111s n sn s s n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a （1） 的方程组，其中n 21x , ,x ,x ⋯代表n 个中未知量，s 是方程的个数， ij a (i =1,2,…,s,j=1,2,…,n)称为方程组的系数，j b (j=1,2,…,s)称为常数项。
方程组中未知量的个数与方程的个数s 不一定相等。
系数ij a 的第一个指标i 表示它在第i 个方程,第二个指标j 表示它是j x 的系数。
所谓方程（1）的一个解就是指由n 个数n k k k ,,,21 组成的有序数组（n k k k ,,,21 ），当解集合。
如果两个方程组有相同的n 21x , ,x ,x ⋯分别用n k k k ,,,21 代入后，（1）中每个等式都变成恒等式。
方程组（1）的解的全体称为它的解集合。
解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合。
如果两个方程姐有相同的解集合，它们就称为同解的。
显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了，确切的说，线性方程组（1）可以用下面的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s sn s s n n b a a a b a a a b a a a 21222222112211 （2） 来表示。
实际上，有了（2）之后，除去代表未知量的文字外，线性方程组（1）就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的。
在中学所学的代数里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组。
实际上，这个方法比用行列式解方程组更具有普遍性。
下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。
先看一个例子。
例如，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+-.522,4524,132321321321x x x x x x x x x第二个方程减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变为⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=+-.42,241323232321x x x x x x x第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三个方程的次序交换，即得⎪⎩⎪⎨⎧-==-=+-.6,42,132332321x x x x x x这样，我们就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）。
第3章 线性方程组 3
方程组中首项非零元是: 自由变量是:
x1 , x3 , x 4
x 2 , x5
例3 用高斯消元法解线性方程组
x 2 y 2 z 1 3 x y 2 z 7 5 x 3 y 4 z 2
解 首先用高斯消元法将方程组化简，
x 2 y 2 z 1 3 x y 2 z 7 5 x 3 y 4 z 2
说明: (1)梯形线性方程组中方程个数m小于等于变量个数n. (2)当r=m=n 时上式即为三角形线性方程组. (3)梯形线性方程组中不是首项非零元的变量都是自由变量. (4)自由变量仅应用于梯形线性方程组.
12
例 确定线性方程组的自由变量.
2 x1 x2 5 x3 7 x4 x5 1 x3 8 x4 x5 6 x4 3 x5 2
能取得惟一解，这是因为当m＜n时，化简后不可能得 到三角形方程组，只能化成梯形方程组，因此结果或是 无解，或是具有自由变量而有无穷多组解.
15
对线性方程组增广矩阵进行初等变换与对方程组进行 初等变换是相互对应的，因此当用高斯消元法来求解线性 方程组时可以应用矩阵的初等变换进行.
3 x1 4 x 2 6 x 3 4 例3 解 三 元 线 性 方 程 组 x1 2 x 2 4 x 3 1 x 2 x 7 x 0 2 3 1 解
1 1 2 1 3 r 2 r 1 1 2 1 3 2 2 2 3 3 5 r1 1 0 0 3 r [ A | b] 1 1 1 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1
1 1 0 3 1 1 1 2 1 3 3 r 1 2r r2 0 0 1 1 1 r 2 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
第三章 线性方程组
例1 解方程组：
2x1 x2 x3 x4 2, (1)
4xx1 1x62x2
2 x3 2
x3
x4 4, 2x4
4,
( 2) ( 3)
3x1 6x2 9x3 7 x4 9, (4)
解: 将第一个方程与第二个方程交换位置，并 将第 三个方程÷2， 得
x1 x2 2x3 x4 4, (1)
第三章 线性方程组
本章将讨论一般线性方程组解的理论和求解方法。 本章基本要求： 1、理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件 及非齐次线性方程组有解的充分必要条件； 2、理解齐次线性方程组的基础解系、通解的概念； 3、理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念； 4、掌握用行初等变换求解线性方程组的方法。
x4 3,
x2
x3
3,
x1
x3
4
x3 R 这 即 为 原 方 程 组 的 解
上述对方程组的消元变形过程中，实际上是对方 程组反复施行了下列三种运算： (1) 交换两个方程在方程组中的位置； (2) 一个方程的两端同乘以一个不等于零的数； (3) 一个方程的两端乘以同一个数后加到另一个方 程上去。
x1 x2 5 x3 x4 0
例3
解齐次线性方程组：
3
x1 x1
x2 x2
2 x3 8 x3
3x4 x4
0 0
x1 3 x2 9 x3 7 x4 0
解：对系数矩阵A进行初等行变换，把它化为阶梯
形矩阵。
1
A
1 3 1
1 1 1 3
5 2 8 9
1 L2 L1 3
L4 3L2
0 0 0
1 2 5 3
2 2 5 3
1 2 3 4
考研高数总复习第三章线性方程组第一节讲解
再把 x3 = -6， 故方程组的唯
情形二 r < n
这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1 ,
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn d2 ,
crr xr cr,r1xr1 crn xn dr ,
其中 cii 0 , i = 1, 2, … , r .
把它变形，得
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn ,
c22 x2 c2r xr d2 c2,r1xr1 c2n xn ,
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
x1 x2 2x1 2x2
2 3x3
1
(1) (2)
x1 2x2 x3 2 (3)
STEP 2 方程 (1) 乘以 -2 加到方程 (2);
方程 (1) 乘以 1 加到方程 (3), 得
x1 x2
2
(1)
4x2 3x3 3
(4)
x2 x3 0
(5)
STEP 3 交换方程 (4) 与方程 (5), 得
一个方程上去. (3) 交换两个方程在方程组中的位置;
定义 1 变换 (1)，(2)，(3) 称为线性方程组 的初等变换.
2 消元法的证明
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.
下
同解方程组 面证明，初等变换总是把方程组变成
.
证明 只证变换 (2)
对于方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
x1 x2
2 (1)
x2 x3 0
(5)
4x2 3x3 3 (4)
STEP 4 方程 (5) 乘以 -4 加到方程 (4) , 得
《线性代数》 线性方程组
A 2
5
3
③+①(-3) 0
1
1
3 8
0 1 6
③+②(-1)
1
0
3 1
2
1
0 0 5
对于齐次线性方程组，要使其有非零解，
则要求： 秩r(A)n 3
故 5 ＝ ， 0 ， ＝ 5 时 当 即 r A 2 ， 3
此时方程组有非零解。 这时系数矩阵变为：
1 3 2
如果常数项 b1,b2,,bm不全为0，则 称为：非齐次线性方程组。
5、方程组的解：
方程组的解是满足方程组的未知量的
一组取值： x 1 c 1 ,x 2 c 2 , ,x n c n .
也可记c1为 ,c2,： ,cn） （
例如：
显然，
5x1 x2 2x3 0 2x1 x2 x3 0 9x1 2x2 5x3 0
经济数学基础
《线性代数》
第三章 线性方程组
本章重点：
•线性方程组的解的判定和求法
本章难点：
•解的判定定理
一、线性方程组的有关概念
1、n元线性方程组为：
a11x1 a12x2 a1nxn b1,
a21x1 a12x2 a1nxn b2,
am1x1 am2x2 amnxn bm.
ai： j 第 i个方,第 程 j个未知 xj的量 系数；
1 1 0 x1 1
1
0
2x2
2
0 3 4 x3 3
由线性方程组可惟一确定增广矩阵；反之 由增广矩阵，也可以惟一确定线性方程组。
【例2】已知方程组的增广矩阵如下，试写出
它的线性方程组
1 1 0 1
A 1 0 2 2
【解】：x1x2 1
高数 第三章 第三节 线性方程组的解
第三节 线性方程组的解 一、线性方程组的形式（一）基本形式（1）（1）称为齐次线性方程组。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++0,0,0221122222211212111n mn m m n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a（2）（2）称为非齐线性方程组。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112222222111212111,,（二）线性方程组的矩阵形式，设则方程组（1）、（2）表达成⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x X a a a a a a a a a A 2121212222111211,,（1）（2）O AX =bAX =二、方程组解的理论定理1 设 为 矩阵，则（I）方程组（1）只有零解的充分必要条件是 。
（II）方程组（1）有无数个解（非零解）的充分必要条件是 。
n A r <)(A n m ⨯n A r =)(定理2 设 为 矩阵，则（I）方程组（2）无解的充分必要条件是 。
（II）方程组（2）有解的充分必要条件是 ，其中当 时，方程组（2）有唯一解；当 时，方程组（2）有无数个解。
nA r A r <=)()(A nm ⨯)()(A r A r <)()(A r A r =n A r A r ==)()(三、齐次线性方程组的基础解系及通解【例1】求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=--+=+++034,0222,022432143214321x x x x x x x x x x x x【例2】求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+++=+-++=-+-+04253,024,032543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x四、非齐次线性方程组的通解【例3】求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-+-=-+-3222,2353,132432143214321x x x x x x x x x x x x【例4】求解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895,4433,13432143214321x x x x x x x x x x x x【例5】设方程组 当 取何值时，方程组有唯一解、无解、有无数个解，当存在无数个解时，求出其通解。
高等代数选讲-第3章-线性方程组
证明 因为 u1 , u2 ,, ut 是 AX B 的解，所以
A(c1u1
Au1 c2u2
B
,Au2ct uBt ),c,1
Aut Au1
B, 于是 c2 Au2
ct
Aut
c1B c2B ct B
(c1 c2 ct )B B
即 c1u1 c2u2 ct ut 也是 AX B 的解.
且含有 4 3 1 个解，而
1 1 0
1
3
(1
2
)
( 2
3
)
1
0
0
1
1
1
即为 AX 0 的基础解系.
2
3
1
1
2
1 2
2
1 2
即为 AX
B 的特解. 1
0 1
于是该 方程组 的通解 为
2
1 2
c
0 1
（ c 为 任意常
1数）
明：1 ,2 ,,m 线性无关.
证明：设存在一组数 k1 , k2 ,, km , 使得
k11 k22 kmm
若
km
0,
则 m
k1 km
1
k2 km
2
km1 km
m
1
,
与已知矛盾，于是 km 0, 依次类推可得：
km 0, km1 0,, k2 0, k1 0
所以 1,2 ,,m 线性无关.
a3
a4
0 0 0 a1 a2 a3 a4 a5
1 0 0 0 1
0
1
0
0
1
a1 a2 a3 a4 a2 a3 a4
0 0 1 0 1
0
第3章 线性方程组解法 第1节 向量与矩阵基础
A = (α1 ,α2 ,L,αm )
m 个n维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,L β m ,
T T T
构成一个 m × n矩阵
β1T T β2 B= M T β m
线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + L + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + L + a 2 n x n = b2 , LLLLLLLLLLLLLL a m 1 x1 + a m 2 x 2 + L + a mn x n = bm .
3 5 3 例3 : 设向量组 α 1 = 2 ,α 2 = 4 ,α 3 = 1 , 0 − 1 t 问t取何值时 ,向量组线性无关 ; t取何值时 , 向量组线性相关 .
3
解：因为
5 4
3
α1 α 2 α 3 = 2
Ch4 向量空间
第一节 向量组的线性相关 与线性无关
一、向量、向量组与矩 阵 向量、 二、线性相关性的概念 三、线性相关性的判定
四、向量组的线性相关 性质
五、线性表示、线性相 关以及 线性表示、 线性无关三者的关系
六、小节、思考题 小节、
一、向量、向量组与矩阵 向量、
n 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 维向量写成一行，称为行向量 行向量， 矩阵， 等表示， 矩阵，通常用 aT , bT ,αT , β T 等表示，如：
b11 b12 L b1n b21 b22 L b2 n （ c1 , c2 , L , cn ) = α 1 ,α 2 ,L ,α s ) （ M M M b bs 2 L bsn s1
第三章-线性方程组的解
线性代数——第 3章
所以方程组的通解为
x1 1 0 1 2 x2 = c 1 + c 0 + 0 . x3 2 0 4 2 1 2 其中c2 ,c4 任意. 0 1 0 x4
可写成矩阵方程:
Ax b
B ( A, b)
线性代数——第 3章
例
1 2 2 1 1 0 2 4 8 2 设A , b 3 2 4 2 3 3 6 0 6 4
求矩阵A及矩阵B ( A b)的秩.
线性代数——第 3章
定理1 (1) (2) (3)
n元线性方程组Ax=b
无解的充分必要条件是R(A)<R(A,b)； 有唯一解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)=n； 有无穷多个解的充分必要条件是R(A)=R(A,b)<n；
线性代数——第 3章
1 0 0 ~ B0 0 0 x1
5 x1 2c2 3 c2 , x 2c 4 c , 2 2 3 2 x c , 3 1 x4 c 2 ,
线性代数——第 3章
2、非齐次线性方程组 增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有 解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解. 例２ 求解非齐次线性方程组
线性代数——第 3章
解
对系数矩阵 A 施行初等行变换：
1 2 2 1 1 2 2 1 r2 2r1 A 2 1 2 2 0 3 6 4 1 1 4 3 r3 r1 0 3 6 4
d d
第三章 线性方程组
x1 11 4c1 10c2 x2
即为该线性方程组参数形式的通解，这里c1, c2 为参数.
如何求解
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
1 2
3
4
2
(1)
解
1 2 3 2
(1)
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x 2 x 2 x 0, 2 3 4 5 x2 5 x3 3 x4 6, 3 x2 3 x3 4 x4 3,
的解取决于 系数
aij i , j 1,2,, n,
常数项 bi i 1,2 , , n
线性方程组的一般形式
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
c11 x1 c12 x2 c1r xr c1n xn d1 c22 x2 c2 r xr c2 n xn d 2 crr xr crn xn d r 0 d r 1 00 00
将其转化为阶梯形方程组。
二、高斯-若尔当消元法
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9,
第三章 线性方程组解的理论
例2：判断下列方程组解的情况，若有解，求出其解.
x1 2 x2 3x3 1 ① 3x1 x2 5 x3 6 2 x x 2 x 3 3 1 2 x1 x2 x3 x4 0 ③ x1 x2 x3 x4 2 2 x 2 x 2 x x 1 2 3 4 1
x1 2 x2 3 x 3x 2 2 3 ② 2 x3 3x4 1 x1 x4 0
二、 B，方程组的任一个解 X 2 称为它的一个解向量. xn 1、齐次线性方程组解的结构
且满足：
⑴ 1 ,2 ,s 线性无关；
⑵方程组的任一解向量都可以由1 ,2 ,s 线性表示
则称1 ,2 ,s 为齐次线性方程组的一个基础解系.
注：齐次线性方程组的基础解系即为齐次线性方程 组的解向量的一个极大无关组.
齐次线性方程组的通解（或一般解）
若 1 ,2 ,s是齐次线性方程组的基础解系，则：
c11 c22 css
（ c1 , c2 ,, cs 为任意常数），为齐次线性方程组 的通解（或一般解）.
注：齐次线性方程组的基础解系所含向量的个数 等于该齐次线性方程组自由未知量的个数.
例3：求下列齐次线性方程组的基础解系与通解
①
x1 x2 x3 x4 x5 0 3x 2 x x x 3x 0 1 2 3 4 5 x2 2 x3 2 x4 6 x5 0 5 x1 4 x2 3 x3 3 x4 x5 0
非齐次线性方程组解的结构 设非齐次线性方程组 AX B 的一个解为 0 （特解），其导出组 AX O 的全部解（通解）
第三章线性方程组
行初等变换及列初等变换（但最后常数列不能交换）可化
方 为矩阵：
程
组
高 等
1 0
0
1
代 数
C
0 0
0 0
0 0
0 0
0 c1r 1 0 c2r1
1 crr1 00 00
00
c1n d1
c2n
d2
ctn d r
0
d
r
1
0 0
0 0
几何上的向量是n维向量的特殊情况，虽然n维向量当n>4
线 时没有直观的几何意义，但仍然把它称为向量。一方面它包含
性 通常的向量作为其特例，另一方面它与通常的向量有许多共同
方 程
的性质。本课程常常用小写希腊字母α,β,γ,…表示向量。有了 向量，一个方程 a i1 x 1 a i2 x 2 a in x n b i就可以用一个n+1
2 x1 x2 4 x1 2 x2
3 x3 5 x3
1 4
等 2 x1 x2 4 x3 1
代 2
数 解：
A
4 2
1 2 1
3 5 4
1 41
2 0
0
1 0 0
3 1 1
1
2
2
0
2
0
1 0 0
0 1 0
7
2
0
原方程组与方程组
3
2
x1 x2 x3 2
7
组
高 元向量来表示：ai1,ai2, ,ain,bi
等 向量的相等：如果两个n维向量 a 1 ,a 2 , ,a n , b 1 ,b 2 , ,b n
工程数学第三章 线性方程组
观察这个式子我们发现，系数列向量组和常数列向量之间存在一种线性关系.如果方程
组有解，则 可以写成 1 , 2 , , n 的线性组合.于是，求解方程组的问题就转化为求 一组数 x1, x2 ,L , xn ，使得 x11 x22 L xnn 成立，即方程组有解 可 表示为向量组 1 , 2 , , n 的线性组合；方程组有唯一解 能由1 , 2 , , n 线 性表示，且表示形式唯一；方程组有多组解 由1 , 2 , , n 表示的形式不唯一； 方程组无解 不能由1 , 2 , , n 线性表示.
注：维数不同的零向量是不相同的．
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定义 2 向量 ＝ a1，a2， ，an 的各分量取相反数所得到的向量称为向量 的负 向量，记作 ，即 a1， a2，L ， an ．
定义 3 如果 a1，a2，L ，an ， b1，b2，L ，bn ，当 ai bi (i 1, 2,L , n)
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例 2 设 1 (1, 0, 0), 2 (0,1, 0) ,3 (0, 0,1) ，试证这三个向量中的任一向量均
不能由其余两个向量线性表出.
证 假设存在 k1, k2 ，使得 k1 2 k23 1 ，即 k1(0,1, 0) k2 (0, 0,1) (1, 0, 0) ，化
+
a 22 am2
x2
+
a2n amn
xn
=
b2
bm
，
即 x1 1 + x2 2 + xn n = ，这就是线性方程组的向量形式.
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第二节 向量组的线性相关性
高教线性代数第三章 线性方程组课后习题答案
第三章 线性方程组1． 用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-+=-⎪⎪-+--=⎨⎪-++-=⎪⎪++-+=-⎩124512345123451234523213322)23452799616225x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--+-=⎪⎨-+-+=⎪⎪-+-+=⎩ 1234234124234234433)31733x x x x x x x x x x x x x -+-=⎧⎪-+=-⎪⎨+++=⎪⎪-++=-⎩123412341234123434570233204)411131607230x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=⎪⎪-++=-⎩123412341234123421322325)521234x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-+-=⎪⎨+-+=-⎪⎪-+-=⎩12341234123412341232313216)23122215522x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-=⎧⎪++-=⎪⎪+++=⎨⎪++-=⎪⎪++=⎩ 解 1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→------⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦102101100101003212000212002000002000000000000000011100010100--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦因为()()45rank A rank B ==<，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1445324122200x x x x x x x -=⎧⎪+=-⎪⎨-=⎪⎪-+=⎩，解得123451022x k x k x x k x k=+⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪=--⎩ 其中k 为任意常数。
第三章线性方程组
第三章线性方程组主要内容、结构、体系线性方程组理论是线性代数最基本的内容之一.它不仅是中学里一次方程组讨论的最一般的推广，而且称得上是整个线性代数的一个缩影.学好本章对于学好以后各章起着关键性的作用.对于一般线性方程组，其主要理论问题有：1．有没有解？有解的条件是什么？2．有解时，解的个数是多少？如何求出解？3．解不止一个时，解之间有没有联系？围绕这些问题，本章主要有四部分内容.第一部分内容是§1介绍的消元法，它是中学里“加减消元法”的一般化，是解具体线性方程组的一个最基本和最有效的方法.第二部分内容是介绍讨论一般线性方程组所用的主要工具：n 维向量与矩阵的秩（§2－§4）.首先，§2把向量概念推广到n 维向量，并介绍了它的简单性质.§3详细而深入地讨论了n维向量的线性相关性.这些内容，在本章虽然只是以讨论线性方程组的工具的面目出现的，但其本身极端重要，在线性代数中将随时用到它们.它是本章的重点之一，也是一个难点.在§2，§3讨论的基础上，§4给出矩阵的概念及计算秩的方法.第三部分内容全面回答了线性方程组的理论问题（§5－§6）. §5利用矩阵的秩给出了有解的充要条件及解的个数的结论，同时介绍了基于克兰姆法则的又一个求解方法.§6则研究了线性方程组解的性质与结构.这部分内容是本章的中心内容.第四部分内容（§7）是介绍线性方程组理论的一个应用——给出二元高次方程组的一个一般解法，这对于指导中学数学教学有一定的作用.知识点分类（必会、掌握、了解）理解n维向量组的线性相关性、向量组和矩阵的秩、基础解系等概念及性质，掌握线性方程组有解判别定理，会求齐次线性方程组的基础解系及一般线性方程组的所有解.难点疑点重点是向量组的线性相关性、线性方程组有解判别定理和解的结构，难点是向量组的极大线性无关组和方程组解的结构.主要方法利用定义讨论向量组的线性相关性，两个向量组的等价和向量组极大线性无关组与秩. 利用初等行变换求矩阵的秩.运用线性方程组有解判别定理判别方程组是否有解.求齐次线性方程组的基础解系，齐次线性方程组解的结构和一般线性方程组解的结构.例1．求矩阵24131A=121023636a -⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的秩.解：用初等行变换将A 化为阶梯阵12102A 003350000a 4-⎛⎫ ⎪→→- ⎪ ⎪+⎝⎭所以当4a =-时，()2R A =， 当4a ≠-时，()3R A =.例2． 判断向量α能否由向量组123,,ααα线性表出，若能，写出它的一个线性组合．其中(2,1,3,4)α=-，123(1,2,3,1),(5,5,12,11),(1,3,6,3)ααα=-=-=-. 解：设112233k k k αααα=++，即有方程组123123123123522531312631134k k k k k k k k k k k k ++=⎧⎪--=-⎪⎨-+-=⎪⎪++=⎩ （1） 对方程组（1）的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵2133113315121512102531031101312630000000011134000000A -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪=−−→−−→⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以方程组（1）有解．（1）的一般解为21133312331k k k k =+⎧⎨=-+⎩ 令31k =，得（1）的一个解（1,0，1），从而有13ααα=+．例3．已知向量组1(1,4,1,2)α=，2(2,1,3,1)α=--，3(1,5,4,1)α=---，4(3,6,7,0)α=--，（1）试求这个向量组的秩和一个极大线性无关组；（2）写出每个向量用（1）中求出的极大线性无关组线性表出的表达式.解：以1234,,,αααα为列向量作矩阵，并对矩阵进行初等行变换.1213415613472110A ⎛⎫⎪---⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭121309918055100336⎛⎫ ⎪---⎪→ ⎪--- ⎪---⎝⎭1213011200000000⎛⎫⎪⎪→ ⎪⎪⎝⎭1011011200000000B --⎛⎫ ⎪ ⎪→= ⎪ ⎪⎝⎭由于初等行变换不改变列向量组的线性关系，也不改变矩阵的秩，由B 看出，秩（B ）＝秩（A ）＝2.B 的前两列是B 的列向量组的一个极大线性无关组.（1）向量组1234,,,αααα的秩为2，且12,αα为这个向量组的一个极大线性无关组（极大线性无关组也可取13,αα或14,αα或23,αα或24,αα或34,αα）.（2）由矩阵B 易得线性表达式111αα=⋅，221αα=⋅，312ααα=-+，4122ααα=-+.例4．求齐次线性方程组1234123412340253207730x x x x x x x x x x x x +--=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩ 的一个基础解系． 解：对齐次线性方程组的系数矩阵A 进行初等行变换：2310771111540754017700000000A ⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪⎪→→-→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭……则原方程组的解为： 13423423775477x x x x x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（其中43,x x 为自由未知量）令341,x x ==0，得1(27,37,1,0)η=；令340,x x ==1，得2(57,47,0,1)η=．从而原方程的基础解系为：12,ηη，原方程组的一般解为：112212,k k k k R ηη+∈,．例5．求解方程组1224122412240312312x x x x x x x x x x x x --+=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=-⎩. 解：1222132310.51111011110110112111310024100121211231200121200000r r r r r r r r r A -⋅-+-+------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--→-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭可见()()R A R A -=，所以原方程组有解，并有1243412212x x x x x =++⎧⎨=+⎩，（其中42,x x 为自由未知量） 取240x x ==，则 1312x x ==，即得原方程组的一个特解0(12,0,12,0)γ=．下面求导出组的基础解系：导出组与 124342x x x x x =+⎧⎨=⎩ 同解．取241,x x ==0，得1(1,1,0,0)η=； 取240,x x ==1，得2(1,0,2,1)η=．于是原方程组的通解为： 0112212,()k k k k R γγηη=++∈、．例6．问λ取何值时，齐次线性方程组1231213(5)2202(6)02(4)0x x x x x x x λλλ-++=⎧⎪+-=⎨⎪+-=⎩有非零解?解: 522260(5)(2)(8)24D λλλλλλ-=-=----当2,5,8λ=时，0D =，所以由Cramer 法则得方程组有非零解．例7．设线性方程组1234124124232314262x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-=⎨⎪--+=-⎩()*，(1)试求()*的两个特解；(2)用()*的导出组的基础解系与()*的特解表出()*的全部解. 解 (1)对()*的增广矩阵A 进行初等行变换，111232103142062A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪---⎝⎭111230127500000-⎛⎫⎪→--- ⎪ ⎪⎝⎭ 101520127500000--⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭由此，得()*的一般解13423452275x x x x x x =-+-⎧⎨=-+⎩（其中34,x x 为自由未知量）.令340,0x x ==，得一个解为0(2,5,0,0)γ=-， 令341,0x x ==，得一个解为1(3,7,1,0)γ=-.(2) 为求()*的导出组的基础解系，只要把上面得到的A 的最简阶梯阵的最后一列划去，得矩阵101501270000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭这就是()*的导出组的系数矩阵经初等行变换而得的最简阶梯阵，从而可得导出组的一般解：134234527x x x x x x =-+⎧⎨=-⎩（其中34,x x 为自由未知量）.令341,0x x ==，得一个解为1(1,2,1,0)η=-， 令340,1x x ==，得一个解为2(5,7,0,1)η=-，12,ηη即为导出组的基础解系.故()*的全部解为 01122k k γηη++（其中12,k k 为任意常数）.例8．如果向量β可由向量组12,,,r ααα线性表出，证明：表示法唯一的充要条件是12,,,r ααα线性无关.证明：必要性由题设知1122r r k k k βααα=+++ ①用反证法. 设12,,,r ααα线性相关，那么存在一组不全为零的数12,,,r l l l ，使 11220r r l l l ααα+++= ②将①与②相加，得111222()()()r r r k l k l k l βααα=++++++由于12,,,r l l l 不全为零，这样就得到了β的两种不同的表示法，这与题设矛盾，所以12,,,r ααα线性无关.充分性设β有两种表示方法：1122r r k k k βααα=+++ 1122r r l l l βααα=+++ 将两式相减，得111222()()()0r r r k l k l k l ααα-+-++-=由于12,,,r ααα线性无关， 所以11220r r k l k l k l -=-==-=此即1122,,,r r k l k l k l ===，唯一性得证.例9．设向量β可由向量组12,,,s ααα线性表出，但不能由121,,,s ααα-线性表出，证明：（1）s α不能由121,,,s ααα-线性表出；（2）s α能由121,,,,s αααβ-线性表出.证明：（1）反设s α能由121,,,s ααα-线性表出：112211s s s k k k αααα--=+++ ①由题设向量β可由向量组12,,,s ααα线性表出，设为112211s s s s l l l l βαααα--=++++ ②将①代入②，得111222111()()()s s s s s s l l k l l k l l k βααα---=++++++这与β不能由121,,,s ααα-线性表出的题设矛盾， 故得s α不能由121,,,s ααα-线性表出.（2）由于题设β不能由121,,,s ααα-线性表出，故上面的②式中0s l ≠，从而1121211s s s s s ssl l l l l l l αβααα--=----这就是说，s α能由121,,,,s αααβ-线性表出.经典例题分析例10．解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：方程组的系数行列式111112141420231531211D -==-≠---，15111221414223151211D --==-----2284D =-，3426D =-，4142D =所以由Cramer 法则得方程组有唯一解（1，2，3，－1）.例11． ,a b 取什么值时，线性方程组1234512345234512345132322635433x x x x x x x x x x ax x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩有解？当有解时，求一般解.解 对方程组的增广矩阵A 进行初等行变换，化为最简阶梯阵1111113211301226354331a A b ⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭111111012263012263012265a b ⎛⎫ ⎪----- ⎪→⎪ ⎪-----⎝⎭11111100000012263000002a b ⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭1011520122630000002a b ----⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪⎪-⎝⎭由此可见，当且仅当0a =且2b =时，原方程组有解.这时原方程组与方程组13452345522263x x x x x x x x ---=-⎧⎨+++=⎩同解.其一般解为13452345522263x x x x x x x x =++-⎧⎨=---+⎩（其中345,,x x x 为自由未知量）.例12． 对λ的不同取值，讨论线性方程组21233212343123(1)2(1)2(1)2x x x x x x x x x λλλλλλλλλ⎧+++=+⎪+++=+⎨⎪+++=+⎩的解的情况. 解法一23111(2)111(2)111(2)A λλλλλλλλλ⎛++⎫⎪=++ ⎪⎪++⎝⎭223333(1)(2)111(2)111(2)λλλλλλλλλλλλλ⎛⎫++++++ ⎪→++ ⎪ ⎪++⎝⎭(1)当30λ+=即3λ=-时，00021121911227A ⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭则 ()()R A R A >，从而原方程组无解.(2) 当30λ+≠时，223(1)(2)1113111(2)111(2)A λλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪⎪→++ ⎪++ ⎪ ⎪⎝⎭22(1)(2)3111(21)(2)00300(21)(2)3λλλλλλλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪⎪-+→ ⎪+ ⎪⎪--+ ⎪+⎝⎭(i)当0λ=时，原方程组与1230x x x ++=同解.此时，一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(ii) 当0λ≠时，22(1)(2)3111(21)(2)0103001(21)(2)3A λλλλλλλλλλλλ⎛⎫+++ ⎪+ ⎪ ⎪-+→ ⎪+ ⎪ ⎪--+ ⎪+⎝⎭22(2)(2)3100(21)(2)0103001(21)(2)3λλλλλλλλλλ⎛⎫-+ ⎪+ ⎪⎪-+→ ⎪+ ⎪⎪--+ ⎪+⎝⎭结论：(1) 当3λ=-时，原方程组无解.(2) 当0λ=时，原方程组有无穷多解，其一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(3) 当30λ+≠且0λ≠时，原方程组有唯一解，21(2)(2)3x λλλ-+=+，2(21)(2)3x λλλ-+=+，23(21)(2)3x λλλλ--+=+.解法二原方程组的系数矩阵行列式为2111111(3)111A λλλλλ+=+=++(1) 当3λ=-时，原方程组为12312312323(1)29(2)227(3)x x x x x x x x x -++=⎧⎪-+=-⎨⎪+-=⎩，由(1)(2)(3)++得：021=，所以原方程组无解.(2) 当0λ=时，原方程组为123123123000x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，所以原方程组为齐次线性方程组，其一般解为123x x x =--（23,x x 为自由未知量），一个基础解系为1(1,1,0)η=-，2(1,0,1)η=-.(3) 当30λ+≠且0λ≠时，0A ≠，所以原方程组有唯一解，21(2)(2)3x λλλ-+=+，2(21)(2)3x λλλ-+=+，23(21)(2)3x λλλλ--+=+.例13． 证明线性方程组121232111n n n n nx x a x xa x x a x x a ---=⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-=⎪⎩()*有解10ni i a =⇔=∑.证法一 对线性方程组的系数矩阵A 和增广矩阵A 进行初等行变换，得110000011000000110000011100001A -⎛⎫⎪- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭1100000110000001100000110000-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪→⎪- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭所以 ()1R A n =-122111000001100000011000001110001n n n a a A a a a --⎛⎫-⎪- ⎪ ⎪=⎪- ⎪ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭1221111000001100000011000001100n n ni i a a a a a --=⎛⎫- ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪- ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭∑ 所以线性方程组()*有解()()R A R A ⇔=()1R A n ⇔=-10n i i a =⇔=∑. 证法二：必要性设线性方程组()*有解为012(,,,)n X c c c =，则121232111n n n n nc c a c ca c c a c c a ---=⎧⎪-=⎪⎪⎨⎪-=⎪-=⎪⎩有1223111()()()()0nin n n i ac c c c c c c c -==-+-++-+-=∑.充分性如果10ni i a ==∑，则可取11c =，则1n n c a =+，111n n n c a a --=++，，221n c a a =+++，1111ni i c a ==+=∑，即线性方程组()*有解为12(,,,)n c c c .例14． 设A 为(1)n n ⨯+矩阵，()R A n =，i M 是在A 中划去第i 列所得的子式.证明：齐次线性方程组0AX =的解为{}1231(,,,,(1))n n c M MM M c P +--∈.证明：因为()R A n =，所以0AX =的每一个基础解系仅有(1)1n n +-=个非零解，从而0AX =的任一个非零解都构成0AX =的一个基础解系.下面我们证明1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个非零解.令 (1)(1)0n n A B +⨯+⎛⎫= ⎪⎝⎭，则11121121222(1)1(1)21(1)(1)(1)n n n n n n n B B M B B M B B B M +*++++⎛⎫- ⎪-⎪= ⎪ ⎪⎪-⎝⎭， 所以 1121(1)(1)0(1)n n n n n M M A M +++⎛⎫- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以 121(1)0(1)n n M M A M +⎛⎫⎪- ⎪= ⎪⎪-⎝⎭， 故1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个解. 因为()R A n =，故至少有一个0i M ≠，故1231(,,,,(1))n n M M M M +--是0AX =的一个非零解.例15．证明线性方程组,(0)m n n m A X B B ⨯=≠有解当且仅当齐次方程组'0m A X =的每一个解1(,,)m c c 有110m m b c b c ++=，其中1m m b B b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.证明： 必要性 设AX B =有解1(,,)n a a ，则1n a A B a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，设1(,,)m c c 是'0A X =的任一解，则1111(,,)(,,)mi i m m i n a c b c c B c c A a =⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑111'00m n n c a a A c a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪==⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.充分性考察齐次方程组'0m A X B ⎛⎫= ⎪⎝⎭()**因为'0m A X =的每一个解1(,,)m c c 满足110m m b c b c ++=， 所以()**式与'0m A X =同解，从而 ''()()(|)A R R A R A R AB B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故线性方程组m n n m A X B ⨯=有解.例16． 设向量组12,,,m ααα ①线性无关，向量1β可由向量组①线性表出，向量2β不能由向量组①线性表出.证明：1212,,,,m l αααββ+线性无关，其中l 是任意数.证明：设有数12,,,,m k k k k 使112212()0m m k k k k l αααββ+++++= ②则必0k =.事实上，若0k ≠，则由上式，2β可由121,,,,m αααβ线性表出，而1β又可由向量组12,,,m ααα线性表出，由此，2β可由向量组12,,,m ααα线性表出，与题设矛盾，故0k =成立.由0k =，②式即为11220m m k k k ααα+++=由于向量组12,,,m ααα 线性无关，所以120m k k k ====，这样得到②式只有12,,,,m k k k k 全为零才成立，这就证明了1212,,,,m l αααββ+线性无关.练习题（基本题，提高题，考研题） 基本题1．使向量组(,0,1)a α=，(0,,2)a β=，(10,3,)a γ=线性无关的a 的值是 .2．设()m n A M P ⨯∈，AX B =，()()R A R A r ==，则当 时AX B =有唯一解，当 时AX B =有无穷多解.3．1,,r αα是某齐次线性方程组的基础解系，1,,r ββ是一组向量，当且仅当 与 等价时，1,,r ββ也是该齐次线性方程组的基础解系.4．n 维向量组1,,s αα线性无关的充要条件是（ ）使10si i i k α==∑.A ．存在不全为零的数1,,s k k ；B ．存在全不为零的数1,,s k k ；C ．不存在全不为零的数1,,s k k ；D ．当且仅当120s k k k ====.5．当（ ）时n 维向量组1,,r αα线性相关. A ．r n <； B ．r n >； C ．r n =； D ．r n ≥. 6．若()R A r =，则（ ）. A ．A 的r 阶子式不全为零；B ．A 的1r +阶子式（如有的话）全为零；C ．A 只有一个不为零的r 阶子式；D ．A 的列向量组的秩为r .7．已知向量(0,1,0,1,0)β=，1(1,1,1,1,1)α=，2(1,2,1,3,1)α=，3(1,1,0,1,0)α=，4(2,2,0,0,0)α=.（1）试求β用1234,,,αααα线性表出的表达式；（2）判断β能否有两种方法用1234,,,αααα线性表出，并叙述理由.8．已知1(1,0,2,0)α=，2(0,1,1,2)α=-，3(1,2,4,4)α=-，4(2,1,4,2)α=-，5(2,1,6,2)α=-.（1）试求这个向量组的一个极大线性无关组与秩； （2）写出每个向量用极大线性无关组线性表出的表达式.9．计算下列矩阵的秩.（1）12001062410111341611971434⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭ （2）14025130324129541713-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭（3）141268261042191776341353015205⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（4）1010110001100101⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭10．证明：若123,,ααα线性相关，而234,,ααα线性无关，则 （1）1α可由23,αα线性表出； （2）4α不能由123,,ααα线性表出.11．设向量组12,,,n ααα线性无关，证明：当且仅当n 是奇数时，向量组：122311,,,,n n n αααααααα-++++也线性无关.12．设有1s +个向量：1,,,s ααβ，且12(1)s s βααα=+++>，证明：（1）若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s βαβαβα---也线性无关； （2）若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s βαβαβα---也线性相关.13．设向量组12,,,m ααα线性相关，且它们都不是零向量，证明：其中至少有两个向量，这两个向量的每一个都可由其余向量线性表出.14．证明：向量组12,,,r ααα线性无关的充要条件是存在向量β可由12,,,r ααα线性表出，但β不能由其中的()s s r <个向量线性表出.15．设向量组12,,,s ααα线性无关，而12,,,,,s αααβγ线性相关.证明：若12,,,,s αααβ与向量组12,,,,s αααγ不等价，则β与γ中有且仅有一个向量可由12,,,s ααα线性表出.提高题1． 设k 1111k 11A 11k 1111k ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，且()3R A =，则k=2．设()n A M P ∈，()R A n =，令r n r B A B -⎛⎫=⎪⎝⎭，求0r B X =的一个基础解系.3．设矩阵m n A P ⨯∈，m p B P ⨯∈，证明矩阵方程AX B =有解当且仅当()(|)R A R A B =.4．设齐次线性方程组0m n n A X ⨯=有非零解，证明存在1(,,)n B b b =使得AX B =无解.5．设有向量组12,,,s ααα，其中10α≠，且每个(2)i i s α≤≤都 不能被121,,,i ααα-线性表出，证明：12,,,s ααα线性无关.6．设有两个向量组：12,,,(2)m m ααα≥；①111222111,,,m m m m m m k k k βααβααβαα---=+=+=+. ② 证明：（1）若向量组①线性无关，则②也线性无关；（2）若0m α≠，且对任意的121,,,m k k k -，向量组②都线性无关，则12,,,m ααα也线性无关.7．设12,,,n ααα是一组n 维向量，证明：12,,,n ααα线性无关的充要条件是任一n 维向量都可被它们线性表出.8．设12,,,r ααα是r 个互不相同的数，r n <，证明：向量组21111121222221(1,,,,),(1,,,,),(1,,,,)n n n r r r r a a a a a a a a a ααα---=== 线性无关.9．设12,,,n ααα是n 个互不相同的数，令21111121222221(1,,,,),(1,,,,),(1,,,,).n n n n n n n a a a a a a a a a ααα---===证明: 任一n 维向量β都可由12,,,n ααα线性表出，且表法唯一.10．已知向量组12,,,s ααα线性无关，11111221221122221122s s s s s s s ss s a a a a a a a a a βαααβαααβααα=+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩ ①证明：12,,,s βββ线性无关的充要条件是1112121222120s s s s ss a a a a a a A a a a =≠.11．设0γ是线性方程组1(1,2,,)nij j i j a x b i s ===∑①的一个解，12,,,t ηηη是①的导出方程组的一个基础解系.令1102200,,,t t γηγγηγγηγ=+=+=+.证明：①的任一解γ，都可表成0011t t u u u γγγγ=+++，其中011t u u u +++=.考研题1．设方程组Ⅰ)0(≠=b b AX 的导出组为Ⅱ，(1)下列命题正确的一个是 ．)(a Ⅰ有惟一解⇒Ⅱ仅有零解．)(b Ⅰ有解⇔Ⅱ有解．)(c Ⅰ有非零解⇒Ⅱ有无穷多解．)(d Ⅱ有非零解⇔Ⅰ有无穷多解．(2) 设0γ是Ⅰ的一个解，t ηηη,,,21 是Ⅱ的一个基础解系，则下列命题错误的一个是 ．)(a t ηγηγηγγ---020100,,,, 是Ⅰ的一组线性无关的解． )(b Ⅰ的每个解都可以表成t t ηηηγ,,2,,210 的线性组合．)(c t ηηηγ++++ 2102是Ⅰ的一个解．)(d Ⅰ的所有解都可以表成t ηγηγηγγ+++020100,,,, 的线性组合．2．当n b b b b a ,,,,,21 取何值(或满足何种关系式)时，n 元线性方程组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b X a a b a a bb a a 21 有解？有多少解？3．设12,,,s ααα是s 个线性无关的n 维向量，证明：存在含n个未知量的齐次线性方程组，使12,,,s ααα是它的一个基础解系.4．设1(1,2,,)nij j i j a x b i s ===∑ ①是非齐次的线性方程组（即至少有一个0i b ≠），且系数阵A 的秩为r.证明：若①有解，则它有1n r -+个线性无关的解向量，使①的每个解向量都可由这1n r -+个解向量线性表出.5．证明：若齐次线性方程组1111221112200n n n n nn n a x a x a x a x a x a x +++=⎧⎪⎨⎪+++=⎩ （*）的系数矩阵A 的秩为n-1，且系数行列式|A|的某个元素kl a 的代数余子式0kl A ≠，则12(,,,,,)k k kl kn A A A A 是这个齐次线性方程组的一个基础解系.6．设有线性方程组（Ⅰ）11112211211222221122,,;n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ （Ⅱ）11112211211222221122,,;n n n n n n nn n n A x A x A x c A x A x A x c A x A x A x c +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 其中ij A 为系数行列式||ij D a =中元素ij a 的代数余子式.证明：方程组（Ⅰ）有唯一解的充要条件是（Ⅱ）有唯一解.7．证明：含有n 个未知量n+1个方程的线性方程组1122,1,2,,1i i in n i a x a x a x b i n +++==+.如果有解，那么行列式111211121112110n n n nn n n n n n n a a a b D a a a b a a a b ++++==.8．证明：如果方程组1(1,2,,)nij j i j a x b i n ===∑的系数矩阵A 与矩阵1112111212n n n nn n n a a a b C a a a b b b b k ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（k 为任意数）的秩相等，则这个方程组有解.。
第三章 线性方程组与线性子空间
3、齐次线性方程组解的结构与基础解系的求解 4、非齐次线性方程解的结构 三、重要方法 1、求解线性方程组的Gauss消元法 2、判断向量组线性相关与无关的定义方法 3、求线性子空间基与维数的方法 4、求齐次线性方程组基础
线性代数课件PPT 第3章.线性方程组
2) (α β) γ α ( β γ（) 加法结合律）
3) 存在任意一个向量α，有α 0n α 4）存在任意一个向量α，存在负向量-α，使α (α) 0n
5) 1α α
6) k(lα) (kl)α（数乘结合律）
7) k(α β) kα kβ（数乘分配律）
m
kiai k1α1 k2α2 L kmαm
i 1
称为向量组α1, α2,L , αm在数域F上的一个线性组合。如果记
m
β kiαi，就说β可由α1, α2,L , αm线性表示。 i 1
10
3.1 n维向量及其线性相关性
线性相关性 定义：如果对m个向量α1, α2, α3, ... , αm∈Fn，有m个不全 为0的数k1,k2,...,km∈F，使
α=(a1 a2 an) 其中ai 称为α的第i个分量。
向量写成行的形式称为行向量，向量写作列的形式称为 列向量（也可记作行向量的转置）。
a1
αT
a2
M
an
3
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的定义 数域F上全体n元向量组成的集合，记作Fn。
4
3.1 n维向量及其线性相关性
向量的运算
定义：设α=(a1, a2, ... , an)，β=(b1, b2, ... , bn)∈Fn，k∈F，
定义：
1）α=β,当且仅当ai=bi (i=1,...,n)； 2）向量加法（或α与β之和）为
α β (a1 b1, a2 b2 , ... , an bn )
k1α1 k2α2 L kmαm 0n
成立，则称α1, α2, α3, ... ,αm线性相关；否则，称α1, α2, α3, ... ,αm线性无关。
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第三章 线性方程组§3.1 线性方程组的矩阵消元解法例3.1 求解线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-=-+45342622321321321x x x x x x x x x解方程组通常采用消元法，比如将第2个方程乘2-加到第1个方程，可消去1x 得到09632=-x x ，将此方程两边除以3，约简可得03232=-x x 。
除了消元和约简，有时还要交换两个方程的位置。
这些变形运算实际上仅在变量的系数之间进行，所以只需将所有的系数和常数项列成一个矩阵，做初等行变换即可。
显然消元、约简和交换方程位置分别相当于矩阵的消去变换、倍缩变换和换行变换。
比如上面对本例的两个具体变形相当于以下矩阵初等行变换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534216122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210960→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---411534210320 其中第一个变换是第2行乘2-加到第1行，第二个变换是以31乘第1行。
矩阵的初等变换可以使解方程组的过程显得紧凑、快捷、简洁。
下面我们运用初等变换的标准程序（参看§2.4）来解例3.1的线性方程组：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4115342]1[6122→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----111990342109]6[0 −→−*⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11]5.5[0005.1103101→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛210030101001 其中，主元都用“[ ]”号作了标记。
消元与换行可同步进行（如带“*”号的第二步），换行的目的是为了使主元呈左上到右下排列。
最后一个矩阵对应方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++200300100321x x x 实际上已得到方程组的解是11=x ，32=x ，23=x 。
写成列向量()Tx 2,3,1=，叫做解向量。
显然解向量可以从最后一个矩阵右侧的常数列直接读出，无需写出对应的方程组。
第二章曾经把一般的线性方程组（2.2）写成矩阵形式b Ax =，比如例 3.1的线性方程组，写成矩阵形式是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---436115421122x 。
我们把系数矩阵和常数列拼成的)1(+⨯n m 矩阵()b A称为线性方程组b Ax =的增广矩阵，满足方程的列向量x 称为方程b Ax =的解向量，线性方程组的矩阵消元解法，就是通过对增广矩阵施行一系列的初等行变换来求得方程组的解向量。
矩阵消元解法中不允许作初等列变换。
矩阵消元解法通常执行初等变换的标准程序，主元在系数矩阵范围内选取。
初等变换的标准程序可以保证消元的有序性和完全性。
例3.2 求解以下两个线性方程组（1）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--361212513321x ；（2）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-731251130011x 。
解（1）对增广矩阵作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--32126513132]1[→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---145034]5[01321→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200034501321 其中第二步仅仅将第2行乘1-加到第3行，即发现第3行对应的方程为2000-=++，这是一个矛盾方程，无论x 取何值，都不能使这个方程成立，所以原方程组无解。
解（2） 按标准程序作初等行变换⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-72513130101]1[→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-62603]1[301011→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000031301011 最后矩阵的第3行对应方程0000=++，这是一个恒等式，说明原方程组有多余的方程。
比如在原方程组中，将第1个方程与第2个方程的2倍相加，恰好得到第3个方程，即第3个方程是多余的。
多余方程在对增广矩阵的初等行变换中会自动地显现出来。
本例最后矩阵的前两行对应方程⎩⎨⎧=++=+-330103221x x x x这两个方程不能完全约束3个变量，其中必有一个变量可以取任意值，称之为自由变量，这里把2x 看作自由变量比较方便，任意指定2x 的一个值，就能够立即得到方程组的一个解向量。
比如令02=x ，得解()Tx 3,0,1=；令12=x ，得解()T x 0,1,2=；令22=x ，得解()Tx 3,2,3-=等等。
从例3.1和例3.2可以看出，实施线性方程组的矩阵消元解法，可能出现下列情况： （1）若某一行的元素全为零，则该行对应多余方程。
（2）若某一行除最右侧一个元素非零外，其余元素都为零，则原方程组无解。
（3）如果标准程序执行完毕未出现矛盾方程，那么当所选主元个数等于变量个数时，方程组有唯一解；当所选主元个数少于变量个数时，方程组含有自由变量，从而有无穷多解。
§3.2 矩阵的秩一．秩的概念一个线性方程组虽含有多个方程，但其中可能有多余方程，因此线性方程组解的情况取决于去除多余方程后留下的独立方程。
这说明方程组存在某种秩序，决定了方程组的解。
这种秩序可以反映在系数矩阵和增广矩阵之中，它是矩阵的固有特性。
尽管多余方程会在初等变换中显现出来，但我们有必要对这种秩序作出明确的定义。
在矩阵A 中，任选k 行、k 列，这些行、列交叉处的元素可构成一个k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式。
A 的子式有许多，包括1阶子式、2阶子式、……，子式的最高阶数不超过A 的行数和列数。
如果矩阵A 的所有子式中，不等于零的子式的最高阶数为r ，则r 称为矩阵A 的秩，记为 秩)(A =r 或r r =)(A 。
换一种说法即矩阵A 有一个r 阶子式非零，而所有)1(+r 阶子式皆为零。
对于零矩阵O 规定 秩0)(=O 。
由于行列式转置后，其值不变，所以 秩)(A = 秩)(TA 。
设A 是n m ⨯矩阵，显然≤0秩)(A ),min(n m ≤。
如果 秩0)(=A ，则A 是零矩阵。
如果 秩)(A =),,min(n m 则称A 为满秩矩阵。
当n m =时，因A 的n 阶子式只有一个即A ，故对于方阵来说，满秩矩阵与非奇异矩阵、可逆矩阵是同一个概念，相互等价。
二．秩的求法计算矩阵所有的子式后再确定矩阵的秩，显然太麻烦了。
一般是通过矩阵的初等变换来求秩，由于初等变换不改变行列式的非零性，所以有以下定理：定理3.1 矩阵经初等变换后，其秩不变。
例3.3 求矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=43333320126624220121A 的秩。
解：按标准程序对A 施行初等行变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=4333332012662422012]1[A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----2369012230]2[600020121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0369001]2[301300006121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---000001300005.015.1005.505.01 其中第三步消元和换行同时进行。
在最后的矩阵中，显然所有4阶子式均为零（有一行元素全为零），有一个3阶子式非零（选前三行及第1、3、5列）：01010001≠=所以 秩3)(=A 。
实际上矩阵的秩可以直接从最后的矩阵中读出：秩=所选主元个数=非零行数=基本单位列数 （3.1）应该注意的是：在施行初等变换时，主元应在整个矩阵范围内选取。
读取秩数必须在标准程序执行完毕后进行，这时最后的矩阵称为最简矩阵。
如果仅仅是求矩阵的秩，那么初等变换的程序可以简化：主元不必变为1；已选过主元的行可不再参加变换。
我们称之为初等行变换的简化程序。
比如对本例运用简化程序的过程为：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=4333332012662422012]1[A →⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----23690122]3[02600020121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----130002]6[0001223020121→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----00000260001223020121 简化程序中，选取主元通常是从左至右按第1列，第2列，第3列……的顺序进行，最后的矩阵是一个阶梯形矩阵。
秩数也可直接读出：秩=所选主元个数=非零行数 （3.2）注意秩数的读取必须在简化程序执行完毕后进行，即只有当矩阵中选不出新的主元时，读出的秩数才是正确的。
简化程序还允许对矩阵作初等列变换。
三、矩阵的秩与线性方程组的解例3.2（1）的线性方程组无解，其增广矩阵经初等行变换化为矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---200034501321可以读出增广矩阵的秩等于3。
这个矩阵的前3列从系数矩阵变化而来，故由此可读出系数矩阵的秩等于2，这两个秩数不相等。
反之从例3.1和例3.2（2）可读出两个秩数相等，这时方程组有解（唯一解或无穷多解）。
对于齐次线性方程组0=Ax 常数列为零向量0（常数项全为0）。
其增广矩阵()0A中右侧的列全为零元素，因此，秩()=0A 秩)(A 。
显然齐次线性方程组至少有一个零解0=x 。
如果 秩)(A 小于变量的个数，那么象例3.2（2）那样会含有自由变量，从而方程组有无穷多解，即除了零解外，还有非零解（至少有一个变量取非零值）。
我们把以上分析归纳为定理3.2 设A 是n m ⨯矩阵，b 是1⨯m 矩阵，秩r =)(A ，则方程组的解与矩阵的秩有如下关系：（1）非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件是 秩()r =b A ，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。
时，方程组b Ax =有无穷多解。
（3）齐次线性方程组0=Ax 有非零解的充分必要条件是n r <。
当n m =，即A 是n 阶方阵时，条件 秩n <)(A 等价于0=A 。
定理 3.2的结论（3）在这个特殊情况下正是第一章的定理1.4。
当时我们并末证明充分性，现在得到了证明。
在对线性方程组实施矩阵消元解法时，秩)(A 和 秩()b A可从最后的矩阵中直接读出。
秩()b A反映了线性方程组独立方程的个数，因此线性方程组解的状况与方程的个数m 无关，而取决于增广矩阵的秩。
§3.3 线性方程组解的结构在§3.1节中提出要用解向量来表示线性方程组的解。
现在考虑当线性方程组有无穷多解时，如何用解向量表示全部解。
一．齐次线性方程组解的结构例3.4 求解齐次线性方程组 0=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x 7831161332111411 解：运用矩阵消元解法。
由于齐次线性方程组的增广矩阵中，最右侧的零元素在初等行变换中不起作用，因此可以仅对系数矩阵按标准程序作初等行变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----783116133211141]1[→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----81240462046]2[01411→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0000000023101101 最后的矩阵显示只有2个独立方程，现有4个变量（和矩阵的第1～4列相对应），所以应含有2个自由变量。
取非主元列对应的43,x x 为自由变量，它们可以是任意常数，即令13c x =，24c x =，则2个独立方程变为⎩⎨⎧=+-+=+++023000212211c c x c c x移项后得到方程组的解及其向量形式（含任意常数21,c c ）为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=--=241321221123c x c x c c x c c x 和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10210131214321c c x x x x 向量形式可简写为：2211ααc c +=x ，其中向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01311α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=10212α显然都是解向量（取11=c 、02=c 和01=c 、12=c 得到）。