高二数学 算术平均数与几何平均数

(A)5公里
(B)4公里
(C)3公里
(D)2公里
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能力·思维·方法
1.设a，b，c都是正数，求证：
111 1 1 1 2a 2b 2c b c c a a b
【解题回顾】三项重新组合成三组后利用基本不等式，是
利用基本不等式证明不等式的一种常用技巧.若另加条件a， b，c不全相等，则等号不成立.
2.(1)若正数x、y满足x+2y＝1.求 1 1 的最小值； xy
(2)若x、y∈R+，且2x+8y-xy＝0.求x+y的最小值.
【解题回顾】第(1)题常有以下错误解法：1 x 2 y 2 2xy， 1 2 2， 1 1 2 1 4 2错误的原因在两次运用
平均xy不等式的时x候取y等号的x条y 件矛盾.(第一次须x＝2y，第二
次须x＝y). 求条件极值的问题，基本思想是借助条件化二元函数为一
元函数，代入法是最基本的方法，代换过程中应密切关注字 母隐含的取值范围，也可用三角代换的方法.
3.已知正数a、b满足a+b＝1.
(1)求ab的取值范围；(2)求 ab 1 的最小值. ab
【解题回顾】函数f(x)＝x+a/x(a＞0)是一个重要的函数，应 了解它的变化.f(x)＝x+a/x(a＞0)在(0，√a]上是减函数，在[a，
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误解分析
(1)不能灵活使用充要条件的概念进行转化，造成证题混乱、 易错. (2)不能把恒成立问题转化成最值问题，变形无方向、易错.
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【解题回顾】用不等式解决有关实际
应用问题，一般先要将实际问题数学
化，建立所求问题的代数式，然后再
据此确定是解不等式，还是用不等式知识求目标函数式的最
值.
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延伸·拓展
5.设a、b为正数，求证：不等式√a+1＞b ①成立的充要条
件是：对于任意实数x＞1，有ax+x/(x-1)＞b.②
【解题回顾】本题应用了命题的等价转化思想，即“如果A 是B成立的充要条件，那么B也是A成立的充要条件”.
第3课时 算术平均数与几何平均数
要点·疑点·考点 课 前 热 身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误 解 分 析
要点·疑点·考点
1.复习并掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何 平均数”的定理.了解它的变式：
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)； (2) a b ab(a，b∈R+)； 2
4.已知两个正数x，y，求x+y与积xy的最值.
(1)xy为定值p，那么当x＝y时，x+y有最小值2 p； (2)x+y为定值s，那么当x＝y时，积xy有最大值 1 s.2
4
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课前热身
1.“a＞0且b＞0”是“a b ab ”成立的( A )
2
(A)充分而非必要条件
(B)必要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ非充分条件
(C)充要条件
(3) b a 2(ab＞0)； ab
a2
(4)
b2
a
b
2
(a，b∈R).
2 2
以上各式当且仅当a＝b时取等号，并注意各式中字母的取
值要求.
2.理解四个“平均数”的大小关系；a，b∈R+，则2ab ab ab
a b a2 b2．其中当且仅当a＝b时取等号.
2
2
3.在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有 最小值”这两个结论时，应把握三点：“一正、二定、三 相等、四最值”.当条件不完全具备时，应创造条件.
(A) y x 4
x (B)y sinx
4
0 x
sinx
(C)y 4e x e-x
(D)y log3 x log x 30 x 1
4.已知lgx+lgy＝1， 5 2的最小值是____2__. xy
5.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的 距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成 正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y1和 y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小， 仓库应建在离车站( C )
(D)既非充分又非必要条件
2.甲、乙两车从A地沿同一路线到达B地，甲车一半时间的速 度为a，另一半时间的速度为b；乙车用速度a行走了一半路 程，用速度b行走了另一半路程，若a≠b，则两车到达B地的 情况是( A)
(A)甲车先到达B地
(B)乙车先到达B地
(C)同时到达
(D)不能判定
3．下列函数中，最小值为4的是( C )
+∞)上是增函数.在研究此函数的过程中，应先确定它的定义
域，若x＝a/x成立，则可由极值定理求极值；若x＝a/x不成
立，则应在定义域内研究f(x)的单调性.
4.如图，为处理含有某种杂质的矿水，要制造一底宽为2米 的无盖长方形沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流 出，设箱体的长度为a米，高度为b米，已知流出的水中该 杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平 方米，问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂 质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计).