吉林省东北师范大学附属中学高考数学一轮复习阶段测试

高三文科数学阶段质量检查试题
(第9周) （考试时间：120分钟 满分136分） 选题范围：【全国各地高三模拟优秀试题选练】（6） 一、选择题 （5*10=50）
1．已知集合052|{},,0{2
<-==x x x Q m P ，}Z x ∈，若φ≠⋂Q P ，则m 等于
A ．1
B ．1或2
C ．1或25
D ．2
2．复数(1)i z i +=( i
为虚数单位
)
，则z =
A ．1122i +
B ．1122i -+
C ．1122i -
D ．1122i --
3．已知向量),1(n a =ϖ，)2,1(--=n b ϖ，若a ϖ与b ϖ共线.则n 等于
A ．1
B ．2
C ．2
D ．4
4．已知1sin()43πα-=，则cos()
4π
α+的值等于
A ．223
B 223
C ．13
D ．—1
3
5．已知
1,,,a a a a 234都是非零实数，则“1a a a a 423=”是“1,,,a a a a 234”成等比数列的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．已知三个平面,,αβγ，若βγ⊥，且αγ与相交但不垂直，,a b 分别为,αβ内的直线，则 A ．,//a a αγ∃⊂ B ．,a a αγ∃⊂⊥ C. ,//b b βγ∀⊂ D ．,b b βγ∀⊂⊥ 7．已知a 是实数，则函数()cos f x a ax =的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
8．若0,0,x y >>且2x y +=2，则
11x y +
的最小值是
A ．2
B ．322 D ．3
2
2+
9．已知M 是ABC ∆内的一点，且32=•AC AB ，0
30=∠BAC ，
，若MBC ∆MAB MCA ∆∆，的面积分别为y x y x 41,,,2
1+
则的最小值为（ A ） A ．20 B ．18 C ．16 D ．9
10．定义函数D x x f y ∈=),(，若存在常数C ，对任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，使得
12()()f x f x C
=，则称函数)(x f 在D 上的几何平均数为C.已知(),[2,4]f x x x =∈，则函
数()f x x =在[2,4]上的几何平均数为
A 2
B ．2
C ．22
D ．4 二、填空题（5*10=50）
11．抛物线2
x y =在点 处的切线平行于直线
54-=x y 。

12．若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<=-.
0,2,0,1
)(x x x x f x 则方程
21
)(=x f 的解为_ ____。

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 。

14．已知t 为常数，函数22y x x t
=--在区间[0，3]上的最大值为2，
则t=___ ____。

15．在三角形ABC 中，ο
120=A ，5=AB ，7=BC ，则sin sin B
C 的
值为 。

16．如图矩形ORTM 内放置5个大小相同的正方形，其中A ，B ，C ，D
都在矩形的边上，若向量,BD xAE y AF =+u u u r u u u r u u u r 则22
x y += 。

17．设实数,x y 满足不等式
1
≤+y x ，若y ax +的最大值为1，则
常数a 的取值范围是 。

18．已知βα,是三次函数
bx ax x x f 22131)(2
3++=
的两个极值点，)2,1(),1,0(∈∈βα,
俯视图正视图
侧视图
2
2
2
则12
--a b 的取值范围是
19．已知数列
{}n a 中121,2a a ==，当整数1n >时，1112()n n n S S S S +-+=+都成立，则15
S ＝
20．给出下列四个命题：
① 若直线l 过抛物线22x y =的焦点，且与这条抛物线交于A 、B 两点，则AB 的最小值为2；
② 双曲线1916:22-=-y x C 的离心率为35
；
③ 若⊙,02:2
2
1=++x y x C ⊙012:2
2
2=-++y y x C ，则这两圆恰有2条公切线；
④ 若直线
06:21=+-y x a l 与直线()0934:2=+--y a x l 互相垂直，则.1-=a 其中正确命题的序号是 ．（把你认为正确命题的序号都填上）
三、解答题（12*3=36） 21．已知数列
{}n a 和{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+，1n n b a =-。

(1)求证:数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,并求数列{}n a 通项公式；
(2) 数列{}n b 的前n 项和为n S ，令2n n n T S S =-,求n T 的最小值。

22．已知函数
()ln()x
f x e a =+(a 为常数)是实数集R 上的奇函数,函数()()sin
g x f x x
λ=+是区间[1,1]-上的减函数。

（1）求()g x 在[1,1]x ∈-上的最大值；
（2）若
2
()1g x t t λ≤++对[1,1]x ∀∈-及(],1λ∈-∞-恒成立,求t 的取值范围；
（3）讨论关于x 的方程2ln ()2x
f x x ex m
=-+的根的个数。

23．已知椭圆22
1x y m n +=（常数,m n R ∈，且m n >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，且N
M ,为短轴的两个端点，且四边形12F MF N 是面积为4的正方形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点且斜率分别为k 和(2)k k -≥的两条直线与椭圆22
1
x y m n +=的交点为A 、B 、
C 、
D （按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内），求四边形ABCD 的面积S 的最大值．
参考答案 一、选择题
1．B ；2．C ；3．A ；4．D ；5．B ；6．A ；7．C ； 8．D ；9．A ；10．C ． 二、填空题
11．（2，4）；12．1；13．322π+
；14．1；15．53
；16．13；17．11a -≤≤；18．)
1,21(；
19．211；20．②③。

三、解答题
21．解：(1)121,n n n a a a +=+1n n b a =- 11n n n n b b b b ++∴-=即111
1
n n
b b +∴
-=
∴数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为1,首项为1等差数列 1
n n b ∴=即1n b n = 11n a n ∴=+即
1n
b n = (2) 2n n n T S S =-=111...122n n n +++++ 因为1111
021221n n T T n n n +-=+->+++
所以
{}n T 单调递增
112n T T ∴≥=
n T ∴的最小值为1
2
22．解：（1）)ln()(a e x f x +=是奇函数， 则
)ln()ln(a e a e x
x +-=+-恒成立.
.1))((=++∴-a e a e x x .0,0)(,112=∴=++∴=+++--a a e e a a ae ae x x x x
又)(x g Θ在[－1，1]上单调递减，
,1sin )1()(max --=-=∴λg x g
（2）
2
sin11t t λλ--≤++只需在(],1λ∈-∞-上恒成立,
(]2(1)sin1101.
t t λλ∴++++≥∈∞在－，－恒成立
令),1(11sin )1()(2
-≤++++=λλλt t h 则⎩⎨⎧≥+++--≤+,011sin 10
12t t t
221
sin10,sin10t t t t t ≤-⎧∴-+≥⎨-+≥⎩而恒成立1-≤∴t .
（3）由（1）知
,2ln ,)(2m ex x x x
x x f +-=∴=方程为
令
m ex x x f x x x f +-==
2)(,ln )(221，
21ln 1)(x x
x f -='Θ，
当],0()(,0)(,),0(11e x f x f e x 在时∴≥'∈上为增函数；
),0[)(,0)(,),[11e x f x f e x 在时∴≤'+∞∈上为减函数，
当e x =时，.1)()(1max 1e e f x f == 而2
22)()(e m e x x f -+-=，
)(1x f 函数∴、)(2x f 在同一坐标系的大致图象如图所示，
∴①当e e m e e m 1,122+>>-即时，方程无解. ②当
e e m e e m 1
,122+
==-即时，方程有一个根. ③当
e e m e e m 1
,122+
<<-即时，方程有两个根.。