华师大版八年级数学初二下册：第19章 矩形、菱形与正方形单元测试题

A
B
C
D
O
图19-3
第19章 矩形、菱形与正方形单元测试题
一、填空题
1．如图19-1，一个矩形推拉窗，窗高1.5米，则活动窗扇的通风面积A （平方米）与拉开长度b （米）的
关系式是： ．
2．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图19-2所示的规律，拼成若干个图形： （1）第4个图形中有白色地面砖 块； （2）第n 个图形中有白色地面砖 块．
3．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四名同学的答案都正确，则黑板上画的图形是___________________． 4．在正方形ABCD 所在的平面内,到正方形三边所在直线距离相等的点有__个．
5．四边形ABCD 为菱形,∠A =60°, 对角线BD 长度为10c m ， 则此菱形的周长 c m ． 6．已知正方形的一条对角线长为8c m ，则其面积是__________c m 2．
7．平行四边形ABCD 中，AB =6c m ，AC +BD =14c m ，则△AOC 的周长为_______． 8．在平行四边形ABCD 中，∠A =70°，∠D =_________, ∠B =__________．
9．等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =120°，两底分别是15c m 和49c m ，则等腰梯形的腰长为______． 10．用一块面积为450c m 2的等腰梯形彩纸做风筝，为了牢固起见，用竹条做梯形的对角线，对角线恰好
互相垂直，那么至少需要竹条 c m ．
11．已知在平行四边形ABCE 中,AB =14cm ,BC =16cm ,则此平行四边形的周长为 cm .
12．要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说明
（只需填写一种方法）
13．如图19-3,正方形ABCD 的对线AC 、BD 相交于点O .那么图中共有 个等腰
直角三角形.
14．把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入下列相应的空格上.
（1）正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; （2）菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; （3）矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成.
图
19-2
图
19-1
15．矩形的两条对角线的夹角为
60,较短的边长为12cm,则对角线长为cm.
16．若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形，那么这个梯形中除两个直角外，其余两个内角的度数分别为 和 .
17．平行四边形的周长为24cm,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为___________cm.
18．如图19-4，根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为m.
19．已知菱形的两条对角线长为12cm和6cm,那么这个菱形的面积为2
cm.
20．如图19-5,l是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论: （1）AB∥CD;（2）AB=CD;（3）AB BC;
（4）AO=OC.其中正确的结论是 .
（把你认为正确的结论的序号都填上）
二、选择题
21．给出五种图形：①矩形；②菱形；③等腰三角形（腰与底边不相等）；④等边三角形；⑤平行四边形（不含矩形、菱形）．其中，能用完全重合的含有300角的两块三角板拼成的图形是（）
A．②③B．②③④
C．①③④⑤D．①②③④⑤
22．如图19-6,设将一张正方形纸片沿右图中虚线剪开后，能拼成下列四个图形，则其中是中心对称图形的是（）
23．四边形ABCD中，∠A︰∠B︰∠C︰∠D=2︰2︰1︰3，则这个四边形是（）
A．梯形B．等腰梯形
C．直角梯形D．任意四边形
24．要从一张长40c m，宽20c m的矩形纸片中剪出长为18c m，宽为12c m的矩形纸片则最多能剪出（）A．1张B．2张
C．3张D．4张
25．如图19-7，在平行四边形ABCD中，CE是∠DCB的平分线，F是AB的中点，AB＝6，BC＝4，则AE︰EF︰FB为（）
A．1︰2︰3B．2︰1︰3
C．3︰2︰1 D．3︰1︰2
26．下列说法中错误的是（）
A．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；
A B C D
图19-6
A
D C
B
F
E
图19-7
·
图19-4
A
B
C
O
l
图19-5
B ．两条对角线相等的四边形是矩形；
C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形；
D ．两条对角线相等的菱形是正方形． 27．下列说法正确的是（ ）
A ．任何一个具有对称中心的四边形一定是正方形或矩形；
B ．角既是轴对称图形又是中心对称图形；
C ．线段、圆、矩形、菱形、正方形都是中心对称图形；
D ．正三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，且对称轴都有四条．
28．点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB //CD ；②AB ＝CD ；③BC //AD ；④BC ＝AD 四个条件中任意选
两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ） A ．①② B ．②③ C ． ①③ D ． ③④
29．已知ABCD 是平行四边形，下列结论中不一定正确的是（ ）
A ．A
B =CD B ．A
C =B
D C ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC =90°时，它是矩形 30．平行四边形的两邻边分别为6和8，那么其对角线应（ ）
A ．大于2，
B ．小于14
C ．大于2且小于14
D ．大于2或小于12
31．在线段、角、等边三角形、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、等腰梯形这十种图
形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的共有 （ ） A ．4种 B ．5种 C ．7种 D ．8种
32．下列说法中,错误的是 （ ） A ．平行四边形的对角线互相平分 B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C ．菱形的对角线互相垂直 D ．对角线互相垂直的四边形是菱形
33．给出四个特征（1）两条对角线相等;（2）任一组对角互补;（3）任一组邻角互补;（4）是轴对称图形
但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
34．如果一个四边形的两条对角线互相平分,互相垂直且相等,那么这个四边形是 （ ） A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．菱形、矩形或正方形
35．如图19-8,直线a ∥b ,A 是直线a 上的一个定点,线段BC 在直线b 上移动,那么在移动过程中ABC ∆的面
积 （ ） A ．变大 B ．变小 C ．不变 D ．无法确定
36．如图19-10,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,
则DAE ∠ 等于 （ ）
A ． 15
B ． 30
C ． 45
D ． 60
37．如图19-11,在ABC ∆中,AB=AC =5,D 是BC 上的点,DE ∥AB 交AC 于点E ,DF ∥AC 交AB 于点F ,那么四
边形AFDE 的周长是 （ ） A ．5 B ．10 C ．15 D ．20
38．已知四边形ABCD 中,AC 交BD 于点O ,如果只给条件“AB ∥CD ”,那么还不能判定四边形ABCD 为平行
A B C D E
F a b 图19-9 图19-10 图19-11
四边形,给出以下四种说法:
（1）如果再加上条件“BC=AD ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;
（2）如果再加上条件“BCD BAD ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形; （3）如果再加上条件“AO=OC ”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形;
（4）如果再加上条件“CAB DBA ∠=∠”,那么四边形ABCD 一定是平行四边形
其中正确的说法是 （ ） A ．（1）（2） B ．（1）（3）（4） C ．（2）（3） D ．（2）（3）（4） 三、解答题
39．如图19-12，已知四边形ABCD 是等腰梯形， CD //BA ,四边形AEBC 是平行四边形．请说明：∠ABD ＝∠ABE ．
40．如图19-13，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一动点， 过点O 作直线MN //BC , 设MN 交∠BCA 的平分线
于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ． （1）说明EO ＝FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？说明你的结论．
41．如图19-14，AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于F ． 试确定AD 与
EF 的位置关系，并说明理由．
D A
E
B C
图19-12
A E
B
C F O N M D
图19-13 A E
B
D
C
F 1
图19-14
2
O
42．如图19-15，在正方形ABCD 的边BC 上任取一点M ，过点C 作CN ⊥DM 交AB 于N ，设正方形对角
线交点为O ，试确定OM 与ON 之间的关系，并说明理由．
43．如图19-16，等腰梯形ABCD 中，E 为CD 的中点，EF ⊥AB 于F ，如果AB =6，EF =5，求梯形ABCD
的面积．
44．如图19-17，有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和
椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）．在保证通道最狭窄处的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅内能否摆下三套或四套同样大小的圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方 14×20方格纸内画出设计示意图．（提示：①画出的圆应符合比例要求； ②为了保证示意图的清晰，请你在有把握后才将设计方案正式画在方格纸上．说明：正确地画出了符合要求的三个圆得5分，正确地画出了符合要求的四个圆得8分．）
图19-15 A B
N M C D O 图19-16
A F
B C E
D
45．如图19-18, 在正方形ABCD 中, M 为AB 的中点，MN ⊥MD ，BN 平分∠CBE 并交MN 于N ．
试说明：MD =MN ．
46．如图
中,DB=CD , 70=∠C ,AE ⊥BD 于E .试求DAE ∠的度数.
47．如图 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,
100=∠DGE . （1）试说明DF=BG ; （2）试求AFD ∠的度数.
48．.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图19-21①）,使AB=CD,EF=GH ;
D A B C M
E N
图19-18 A
B C
D E
图19-19
A B C D F
E G
图19-20
（2）摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是: ;
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③）,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④）,说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是: .
（图①）
（图②）
（图③） （图④）
49．如图19-22，已知平行四边形ABCD ，AE 平分∠DAB 交DC 于E ，BF 平分∠ABC 交DC 于F ，DC =6c m ，
AD =2c m ，求DE 、EF 、FC 的长．
50．如图19-23，已知矩形ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，DE 平分∠ADC 交BC 于E ，∠BDE ＝15°，试
求∠COE 的度数。

51．如图19-24，在正方形ABCD 中，Q 是CD 的中点，P 在BC 上，且AP =PC +CD ，
图19-21
图19-22 图19-23
求证：AQ 平分∠DAP 。

52．已知四边形ABCD 中,AB=CD,AC=BD,试添加适当的条件使四边形ABCD 成为特殊的平行四边形,并说
明理由.
53．如图19-24,直线MN 经过线段AC 的端点A ,点B 、Ｄ分别在NAC ∠和MAC ∠的角平分线AE 、AF 上,BD
交AC 于点O ,如果O 是BD 的中点,试找出当点O 在AC 的什么位置时,四边形ABCD 是矩形,并说明理由.
54．如图19-25，李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池
塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.
图19-23
A
B
C D
图19-25
55．如图19-26，在△ABC 中，借助作图工具可以作出中位线EF ，沿着中位线EF
一刀剪切后，用得到的△AEF 和四边形EBCF 可以拼成平行四边形EBCP ，剪
切线与拼图如图示1，仿上述的方法，按要求完成下列操作设计，并在规定位
置画出图示， ⑴在△ABC 中，增加条件＿＿＿ ＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成矩形，剪切线与拼图画在图示2的位置；
⑵在△ABC 中，增加条件 ，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成菱形，剪切线与拼图画在图示3的位置；
⑶在△ABC 中，增加条件＿＿＿＿＿＿＿，沿着＿＿＿＿＿一刀剪切后可以拼成正方形，剪切线与拼图画在图示4的位置
⑷在△ABC （AB ≠AC ）中，一刀剪切后也可以拼成等腰梯形，首先要确定剪切线，其操作过程（剪切线的作法）是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
然后，沿着剪切线一刀剪切后可以拼成等腰梯形，剪切线与拼图画在图示5的位置.
图示1
A
B
C P F
E
（E ）
（A ）
图示2
图示3
图示4
图示5
A
B C P F E （E ） （A ）
图19-26
参考解析
一、填空题 1．A =
2
3
b （点拨：利用矩形的面积等于长与宽的积．） 2．（1）18；（2）4n +2（点拨：每相邻两个大正六边形有两块白色地砖是公共的，因此第n 个图形中有白色地面砖4n +2块．）
3．正方形（点拨：既是矩形又是菱形的四边形是正方形．）
4．5个点（点拨：正方形的中心O ；正方形四个外角角平分线的交点．） 5．40（点拨：当∠A =60°时，菱形的边长等于它较短的对角线长．）
6．32（点拨：正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形．） 7．13㎝（点拨：平行四边形的对角线互相平分，则OA +OB =7㎝．） 8．110°,110°（点拨：平行四边形的对角相等，邻角互补．）
9．34㎝（点拨：过点A 作腰的平行线得到等边三角形，则腰长等于两底的差．）
10．60（点拨：设对角线长为a ，过上底的一个端点作对角线的平行线，与下底及梯形的另一条腰构成等腰直角三角形，则它的面积=
2
1a 2
=450，a =30．） 11．60．
12．平行四边形;有一组邻边相等．
13．8． 提示:它们是.,,,,,,,ACD BCD ABC ABD AOD COD BOC AOB ∆∆∆∆∆∆∆∆
14．（1）等腰直角三角形; （2）等腰三角形; （3）直角三角形． 15．24．
16．135; 45． 17．3．
18．4．（点拨：如图19-1所示,将“十”字标志的某些边进行平
移后可得到一个边长为1m 的正方形,所以它的周长为4m ． 19．36． 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半． 20．（1）（2）（4）．提示:四边形ABCD 是菱形．
21．C （点拨：当两块三角板的最小边重合时，可得到平行四边形或腰和底边不相等的等腰三角形；当它们的斜边重合在一起时，可得到矩形．）
22．C （点拨：图（B ）绕小正方形的中心旋转180°，能与原来的图形重合．） 23．C （点拨：四边形的四个内角分别为90°、90°、45°、135°．） 24．C （点拨：在矩形的长上依次剪三个12㎝，再在宽上剪18㎝．） 25．B （点拨：BE =BC =4，AE =2，BF =3，则EF =BE －BF =1．） 26．B （点拨：对角线相等的平行四边形是矩形．）
27．C （点拨：菱形也是中心对称图形，A 错；角不是中心对称图形，B 错．） 28．B （点拨：由①②，①③，③④，②④的组合都能得到平行四边形．）
29．B （点拨：平行四边形ABCD 不一定是矩形，因而它的对角线不一定相等．） 30．C （点拨：利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．） 31．B ． 32．D ． 33．C ．
答图19-1
34．C ． 35．C ．（点拨：因为ABC ∆的底边BC 的长不变,BC 边上的高等于直线b a ,之间的距离也不变,所以ABC ∆的
面积不变．）
36．A （点拨：由于()
BAF DAE FAE DAE FAE ∠-=
∠=∠∠∠ 902
1
,所以通过折叠后得到的是由 ） 37．B （点拨：先说明DF =BF ,DE =CE ,
所以四边形AFDE 的周长=AF +DF +DE +AE =AF +BF +CE +AE =AB +AC ．） 38．C ． 三、解答题
39．AD =BC =AE ，BD =AC =BE ，AB =AB ，则△AEB ≌△ADB ，故∠ABD =∠ABE ． 40．（1） CE 平分∠ACB ，则∠ACE =∠BCE ，而MN //BC ，得到∠OEC =∠BCE ，所以∠ACE =∠OEC ，从而EO =OC ，同理OC =OF ，故EO =FO ；（2）当点O 运动到AC 的中点处时，四边形AECF 是矩形．先得到∠ECF =90°，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行识别．
41．AD ⊥EF ．根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，确定四边形
AEDF 是菱形，所以AD ⊥EF ． 42．OM ⊥ON ，OM =ON ．先说明△DCM ≌△CBN 得CM =BN ，再推出
△OCM ≌△OBN 得OM =ON ．
43．如图19-2，连结AE 交BC 的延长线于G 点，连结BE ．先说明△ADE ≌△GCE ，得到AE =GE ， S △ABG =S 梯形ABCD =2S △ABE =2×15=30． 44．摆放三套或四套的设计方案如图19-3所示．关键是确定这些
圆的圆心位置（圆心分别在等腰三角形和平行四边形的顶点处），另外，设计的示意图要符合比例要求：（1）每个圆的半径为1.5㎝；（2）每个圆的圆心到方格纸外边框的距离不小于
2㎝；（3）设计两圆的圆心的距离不小于3.5㎝．
45．如图19-4，将△BMN 以∠DMN 的角平分线为轴翻折至△PDM
的位置，即取AD 的中点P ，连结PM ．从而△MPD ≌△NBM ，故DM =MN ． 46．因为BD=CD ,所以,C DBC ∠=∠又因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AD ∥BC ,所以,D B C
D ∠=∠因为 20709090,,=-=∠-=∠∆⊥D DA
E AED BD AE 中所以在直角.
47．（1）因为四边形ABCD 是平行四边形,所以AB=DC ,又AF=CG ,所以AB －AF=DC －CG,即GD=BF ,又 DG ∥BF ,所以四边形DFBG 是平行四边形,所以DF=BG ;
（2）因为四边形DFBG 是平行四边形,所以DF ∥GB,所以AFD GBF ∠=∠,同理可得DGE GBF ∠=∠,所以 100=∠=∠DGE AFD . 48．（1）平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
（2）矩,有一个是直角的平行四边形是矩形. 49．因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AB //CD ，
AD =BC （平行四边形的对边平行且相等），所以∠1=∠2（两直线平行，内错角相等），又因为AE 平分∠DAB ，所以∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以DA =DE =2c m （等角对等边）．同理BC =CF =2c m ．所以EF =DC —DE —CF =6 c m —2 c m —2 c m =2 c m ．
50．由“四边形ABCD 是矩形，DE 平分∠ADC ”知∠CDE ＝∠CED ＝45°，又∠BDE ＝15°，所以∠CDO ＝
60°，由矩形的特征“对角线互相平分”可知，OD ＝OC ，故△OCD 是等边三角形，从而有OC ＝OD ＝CE ，∠DCO ＝60°，∠OCB ＝30°，进而求得∠COE ＝75°． 51．如图应9-5，延长AQ 交BC 的延长线于E ．因为四边
形ABCD 是正方形，所以AD =CD ，AD ∥BE ．又Q 是CD 的中点．因此，△ADQ
答图19-2 A F
B
C
G E
D 答图19-3
D
A
B C
P M
E
答图19-4
答图19-5
与△ECQ 关于点Q 成中心对称．则有AD ＝CE ，∠1＝∠E ．又因为AP ＝PC ＋CD ，所以AP ＝PC ＋CE ，于是∠2＝∠E ． 故∠1＝∠2，即有AQ 平分∠DAP ． 52．下面给出两种参考答案:
（1）添加条件AB ∥DC ,可得出该四边形是矩形;
理由:因为AB ∥DC ,AB =DC ,所以四边形ABCD 是平行四边形.又因为AC =BD ,所以四边形ABCD 是矩形. （2）添加条件AC 垂直平分BD ,那么该四边形是正方形.
理由:因为AC 垂直平分BD ,所以AB =AD ,BC =CD ,又因为AB =DC ,所以AB =AD =BC =DC ,所以四边形ABCD 是菱形,又因为AC 垂直BD ,所以四边形ABCD 是正方形.
说明:解答此类题的关键是要突破思维定势的障碍,运用发散思维,多方思考,探究问题在不同条件下的不同结论,挖掘它的内在联系,向“纵、横、深、广”拓展,从而寻找出添加的条件和所得的结论. 53．解析：O 在AC 的中点时,四边形ABCD 是矩形.
因为AO=CO,BO=DO,所以四边形ABCD 是平行四边形,
又()CAN MAC CAE FAC FAE CAN CAE MAC FAC ∠+∠=∠+∠=∠∠=∠∠=
∠2
1
,21,21所以 = 1802
1⨯= 90,所以四边形ABCD 是矩形.
54．如图19-6所示,连结对角线AC 、BD,过A 、B 、C 、D 分别作BD 、AC 、BD 、AC 的平行线,且这些平行
线两两相交于E 、F 、G 、H ,四边形EFGH 即为符合条件的平行四边形. 55．⑴ 如图19-7 方法一：∠B ＝90°，中位线EF ，如图示2－1.
方法二：AB ＝AC ，中线（或高）AD ，如图示2－2. ⑵ AB ＝2BC （或者∠C ＝90°，∠A ＝30°），中位线EF ，如图示3.
⑶ 方法一：∠B ＝90°且AB ＝2BC ，中位线EF ，如图示4－1. 方法二：AB ＝AC 且∠BAC ＝90°，中线（或高）AD ，如图示4－2.
⑷ 方法一：不妨设∠B ＞∠C ，在BC 边上取一点D ，作∠GDB ＝∠B 交AB 于G ，过AC 的中点E 作EF ∥GD 交BC 于F ，则EF 为剪切线.如图示5－1.
方法二：不妨设∠B ＞∠C ，分别取AB 、AC 的中点D 、E ，过D 、E 作BC 的垂线，G 、H 为垂足，在HC 上截取HF ＝GB ，连结EF ，则EF 为剪切线.如图示5－2.
方法三：不妨设∠B ＞∠C ，作高AD ，在DC 上截取DG ＝DB ，连结AG ，过AC 的中点E 作EF ∥AG 交BC 于F ，则EF 为剪切线.如图示5－2.
图示2－1
（C ） 图示2－2 图示4－1
图示4－2
图示5－1
图示3 图示5－2
图示5－3 A A B
E F
C （A ）
P （E ）
H B
D C （A ） P
（D ） A B
C
（A ） P
（E ） F E
A B
C
（A ） P （E ） F
E
C
（A ） ） A
B
D
G
E
F C
P （F ） （C ） A B
D G E
F P （F ） （C ） A
B
D G E
P （F ） A B C D
E F
G H 答图19-6
答图19-7。