数学初三九年级上册 压轴解答题综合测试(Word版 含答案)

数学初三九年级上册压轴解答题综合测试（Word版含答案）
一、压轴题
1．已知P是⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点
A、B(不与P，Q重合)，连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ.
(1)如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=22时，求⊙O的半径；
(2)如图2，选接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上(不与P、M重合)，连接ON、OP，若∠NOP+2∠OPN=90°，探究直线AB与ON的位置关系，并证明.
2．如图①，A（﹣5，0），OA＝OC，点B、C关于原点对称，点B（a，a+1）（a＞0）．（1）求B、C坐标；
（2）求证：BA⊥AC；
（3）如图②，将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，连接DC，问：∠BDC的角平分线DE，是否过一定点？若是，请求出该点的坐标；若不是，请说明理由．
3．如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝3，BC＝4．
（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边BC相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点，以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相
切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．
4．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ，使32
DF CD =
，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x = （1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长．
（3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
5．如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝﹣13
x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，以AB 为斜边作等腰直角△ABC ，使点C 落在第一象限，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，作CE ⊥x 轴于点E ，连接ED 并延长交y 轴于点F ．
（1）如图（1），点P 为线段EF 上一点，点Q 为x 轴上一点，求AP +PQ 的最小值． （2）将直线l 进行平移，记平移后的直线为l 1，若直线l 1与直线AC 相交于点M ，与y 轴相交于点N ，是否存在这样的点M 、点N ，使得△CMN 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
6．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．
（1）填空：______＝______，______＝______（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，PQ的长度等于5cm？
（3）是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积等于2
26cm？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
7．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，0是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于
点D，与BC边交于点E、F，连接OD，已知BD=3，tan∠BOD=3
4
，CF=8
3
．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）求图中两阴影部分面积的和．
8．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝23．点P，Q分别是BC，AD边上的一个动点，连结BQ，以P为圆心，PB长为半径的⊙P交线段BQ于点E，连结PD．
（1）若DQ＝3且四边形BPDQ是平行四边形时，求出⊙P的弦BE的长；
（2）在点P，Q运动的过程中，当四边形BPDQ是菱形时，求出⊙P的弦BE的长，并计算此时菱形与圆重叠部分的面积．
9．如图，函数y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2-2x-3=0的两个实数根，且m＜n．
（1）求m，n的值以及函数的解析式；
（2）设抛物线y=-x2+bx+c与x轴的另一交点为点C，顶点为点D，连结BD、BC、CD，求△BDC面积；
（3）对于（1）中所求的函数y=-x2+bx+c，
①当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
②设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p-q=3，求t的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线l分别交x轴、y轴于点A，B，∠BAO = 30°．抛物线y = ax2 + bx + 1（a < 0）经过点A，B，过抛物线上一点C（点C在直线l上方）作
CD∥BO交直线l于点D，四边形OBCD是菱形．动点M在x轴上从点E（ -3，0）向终点A匀速运动，同时，动点N在直线l上从某一点G向终点D匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点D的坐标和抛物线的函数表达式．
（2）当点M运动到点O时，点N恰好与点B重合．
①过点E作x轴的垂线交直线l于点F，当点N在线段FD上时，设EM = m，FN = n，求n 关于m的函数表达式．
②求△NEM面积S关于m的函数表达式以及S的最大值．
11．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C，给出如下定义：
如果矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形．例如，下图中的矩形A1B1C1D1，A2B2C2D2，AB3C3D3都是点A，B，C的覆盖矩形，其中矩形AB3C3D3是点A，B，C的最优覆盖矩形．
（1）已知A（﹣2，3），B（5，0），C（t，﹣2）．
①当t＝2时，点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为；
②若点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，求直线AC的表达式；
（2）已知点D（1，1）．E（m，n）是函数y＝4
x
（x＞0）的图象上一点，⊙P是点O，
D ，
E 的一个面积最小的最优覆盖矩形的外接圆，求出⊙P 的半径r 的取值范围．
12．如图，PA 切⊙O 于点A ，射线PC 交⊙O 于C 、B 两点，半径OD ⊥BC 于E ，连接BD 、DC 和OA ，DA 交BP 于点F ；
（1）求证：∠ADC+∠CBD ＝12
∠AOD ； （2）在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中相等的线段．
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一、压轴题
1．(1) ☉O 的半径是
32
；(2)AB ∥ON ，证明见解析. 【解析】
【分析】
(1) 连接AB ，根据题意可AB 为直径，再用勾股定理即可．
(2) 连接OA , OB , OQ ,根据圆周角定理可得Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∠=∠∠=∠，从而证出
OC AB ⊥,
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠，再根据三角形内角和定理求得OQN ∠=90︒得证.
【详解】
解：(1)连接AB ，
在☉0中，
o APQ BPQ 45∠=∠=，
o APB APQ BPQ 90∴∠=∠+∠=
AB ∴是☉0的直径.
Rt APB ∴∆在中，22AB AP BP =+AB=3∴
∴☉0的半径是
32
(2)AB//ON
证明：连接OA , OB , OQ ,
在☉0中, AQ AQ =, BQ BQ =,
Q 2APQ,B0Q 2BPO AO ∴∠=∠∠=∠.
又APQ BPQ ∠=∠,
AOQ BOQ ∴∠=∠.
在AOB ∆中，OA OB =, AOQ BOQ ∠=∠,
OC AB ∴⊥,即o OCA 90∠=
连接OQ ，交AB 于点C
在☉0中，OP OQ =
OPN OQP.∴∠=∠
延长PO 交☉0于点R ，则有2OPN QOR ∠=∠
o NOP 2OPN 90∴∠+∠=,
又:o NOP NOQ QOR 180∠+∠+∠=，
NOQ 90O ∴∠=
NOQ OCA 180O ∴∠+∠= .
AB//ON ∴
【点睛】
本题考查了圆周角定理，勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理，是一道综合题，灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（1）点B （3，4），点C （﹣3，﹣4）；（2）证明见解析；（3）定点（4，3）；理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）由中心对称的性质可得OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），由两点距离公式可求a 的值，即可求解；
（2）由两点距离公式可求AB ，AC ，BC 的长，利用勾股定理的逆定理可求解；
（3）由旋转的性质可得DO ＝BO ＝CO ，可得△BCD 是直角三角形，以BC 为直径，作⊙O ，连接OH ，DE 与⊙O 交于点H ，由圆周角定理和角平分线的性质可得∠HBC ＝∠CDE ＝45°＝∠BDE ＝∠BCH ，可证CH ＝BH ，∠BHC ＝90°，由两点距离公式可求解．
【详解】
解：（1）∵A （﹣5，0），OA ＝OC ，
∴OA ＝OC ＝5，
∵点B 、C 关于原点对称，点B （a ，a +1）（a ＞0），
∴OB ＝OC ＝5，点C （﹣a ，﹣a ﹣1），
∴5()()220+10a a -+-
∴a ＝3，
∴点B （3，4），
∴点C （﹣3，﹣4）；
（2）∵点B （3，4），点C （﹣3，﹣4），点A （﹣5，0），
∴BC ＝10，AB ＝5，AC ＝5
∵BC 2＝100，AB 2+AC 2＝80+20＝100，
∴BC 2＝AB 2+AC 2，
∴∠BAC＝90°，
∴AB⊥AC；
（3）过定点，
理由如下：
∵将点C绕原点O顺时针旋转α度（0°＜α＜180°），得到点D，
∴CO＝DO，
又∵CO＝BO，
∴DO＝BO＝CO，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠BDC＝90°，
如图②，以BC为直径，作⊙O，连接OH，DE与⊙O交于点H，
∵DE平分∠BDC，
∴∠BDE＝∠CDE＝45°，
∴∠HBC＝∠CDE＝45°＝∠BDE＝∠BCH，
∴CH＝BH，∠BHC＝90°，
∵BC＝10，
∴BH＝CH＝2，OH＝OB＝OC＝5，
设点H（x，y），
∵点H在第四象限，
∴x＜0，y＞0，
∴x2+y2＝25，（x﹣3）2+（y﹣4）2＝50，
∴x＝4，y＝3，
∴点H（4，﹣3），
∴∠BDC的角平分线DE过定点H（4，3）．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了中心对称的性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，圆的有关知识，勾股定理的逆定理，两点距离公式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．(1)作图见解析；（2）4
9 .
【解析】
试题分析：（1）作出∠B的角平分线BD，再过X作OX⊥AB，交BD于点O，则O点即为⊙O的圆心；
（2）由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定，故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切；⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时；⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论．
试题解析：（1）如图所示：
①以B为圆心，以任意长为半径画圆，分别交BC、AB于点G、H；②分别以G、H为圆
心，以大于2
3
GH为半径画圆，两圆相交于D，连接BD；③过X作OX⊥AB，交直线BD于
点O，则点O即为⊙O的圆心．
（2）①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时，由角平分线的性质可知，动点P是
∠ABC的平分线BM上的点，如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1（不为∠ABC 的顶点）
∵OX=BOsin∠ABM，P1Z=BPsin∠ABM，当BP1＞BO时，P1Z＞OX即P与B的距离越大，⊙P 的面积越大，这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点；如图2，
∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上，
∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与CB相切于C，与边AB相切于E，即这时⊙P是符合题意的圆，
时⊙P的面积就是S的最大值，
∵AC=1，BC=2，∴5
设PC=x，则PA=AC-PC=1-x
在直角△APE中，PA2=PE2+AE2，
∴（1-x）2=x2+5）2，
∴5；
②如图3，
同理可得：当⊙P 与Rt △ABC 的边AB 和AC 相切时，设PC=y ，则（2-y ）2=y 2+（5-1）2，
∴y=512
-； ③如图4，
同理可得，当⊙P 与Rt △ABC 的边BC 和AC 相切时，设PF=z ，
∵△APF ∽△PBE ，
∴PF ：BE=AF ：PE ，
∴
， ∴z=49
． 由①、②、③可知，
49＞512
-＞
∴z ＞y ＞x ， ∴⊙P 的面积S 的最大值为π．
考点:1. 切线的性质；2.角平分线的性质；3.勾股定理；4.作图—复杂作图．
4．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65AP =
或3AP = 【解析】
【分析】
（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12
AH BH AB ==，求得CD 、FD ；
（2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32
QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<
时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当
4273x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．
【详解】
解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =
∴4AB x =
∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =
+= ∵OD m ⊥，m l ⊥
∴//OD l
∵OB OQ =
∴122AH BH AB x ==
= ∴2CD x =
∴332
FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q
∴3AP AQ x ==
∵4PC =
∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：
∵90BAQ ∠=︒
∴//OM AB
∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点 ∴1322
QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-
=+ ∵1522
OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形
∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）
∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9．
（3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF =
①点P 在A 点的右侧时，如图：
∴243x x +=
∴4x =
∴312AP x ==
②点P 在A 点的左侧时
I.当点C 在Q 右侧时
i.当 407
x <<时，如图：
∵47DE x =-，3DF x =
∴473x x -=
∴25
x = ∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =（不合题意，舍去）
II. 当点C 在Q 的左侧时，即23
x ≥，如图：
∵74DE x =-，3DF x =
∴743x x -=
∴1x =
∴33AP x ==
∴综上所述，当12AP =或65
AP =或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65
AP =
或3AP = 【点睛】
本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．
5．（1）AP +PQ 的最小值为4；（2）存在，M 点坐标为(﹣12，﹣4)或(12，8)．
【解析】
【分析】
（1）由直线解析式易求AB 两点坐标，利用等腰直角△ABC 构造K 字形全等易得OE ＝CE ＝4，C 点坐标为（4，4）DB ＝∠CEB ＝90︒，可知B 、C 、D 、E 四点共圆，由等腰直角△ABC 可知∠CBD ＝45︒，同弧所对圆周角相等可知∠CED ＝45︒，所以∠OEF ＝45︒，CE 、OE 是关于EF 对称，作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于Q ，AK ⊥EC 于K ．把AP +PQ 的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．
（2）由直线l 与直线AC 成45︒可知∠AMN ＝45︒，由直线AC 解析式可设M 点坐标为
（x ，122
x +），N 在y 轴上，可设N （0，y ）构造K 字形全等即可求出M 点坐标． 【详解】
解：（1）过A 点作AK ⊥CE ，
在等腰直角△ABC 中，∠ACB ＝90︒，AC ＝BC ，
∵CE ⊥x 轴，
∴∠ACK +∠ECB ＝90︒，∠ECB +∠CBE ＝90︒，
∴∠ACK ＝∠CBE
在△AKC 和△CEB 中，
AKC CEB ACK CBE AC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
△AKC ≌△CEB （AAS ）
∴AK ＝CE ，CK ＝BE ，
∵四边形AOEK 是矩形，
∴AO ＝EK ＝BE ，
由直线l ：y ＝﹣
13
x +2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，可知A 点坐标为（0，2），B （6，0）
∴E 点坐标为（4，0），C 点坐标为（4，4），
∵∠CDB ＝∠CEB ＝90︒，
∴B 、C 、D 、E 四点共圆，
∵CD CD =，∠CBA ＝45︒，
∴∠CED ＝45︒，
∴FE 平分∠CEO ，
过P 点作PH ⊥CE 于H ，作PG ⊥OE 于G ，过A 点作AK ⊥EC 于K ．
∴PH ＝PQ ，
∵PA +PQ ＝PA +PH ≥AK ＝OE ，
∴OE＝4
，
∴AP+PQ≥4，
∴AP+PQ的最小值为4．
（2）∵A点坐标为（0，2），C点坐标为（4，4），设直线AC解析式为：y＝kx+b
把（0，2），（4，4）代入得
2
44
b
k b
=
⎧
⎨
=+⎩
解得
1
2
2 k
b
⎧
=⎪
⎨
⎪=⎩
∴直线AC解析式为：y＝1
2
2
x+，
设M点坐标为（x，1
2
2
x+），N坐标为（0，y）．
∵MN∥AB，∠CAB＝45︒，
∴∠CMN＝45︒，
△CMN为等腰直角三角形有两种情况：
Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90︒，MN＝CN．
同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS ＝NR．
∴
4
1
24
2
x y
x y
-=-
⎧
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，解得：
12
8
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴M点坐标为（﹣12，﹣4）
Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90︒，MN＝CN．
过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．
∴
44
1
244
2
x y
x
-=-
⎧
⎪
⎨
+-=
⎪⎩
，解得：
12
12
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
∴M点坐标为（12，8）
综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形得M点坐标为（﹣12，﹣4）或（12，8）．
【点睛】
本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用等腰直角三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理，垂线段最短等知识，解题的关键是中用转化的思想思考问题，学会添加常用辅助线，在平面直角坐标系中构造K 字形全等三角形求点坐标解决问题，属于中考压轴题．
6．（1）BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -；（2）当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，可以求得BQ ,PB .
（2）用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值，运用勾股定理求得PQ 为22(5)(2)t t -+＝
25据此求出t 值.
（3）根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在，利用长方形ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可，有PBQ △的面积为4，由此求得t 值.
【详解】
解：（1）点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动，故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，AB ＝5cm ，故PB 为()5t cm -.
（2）由题意得：22(5)(2)t t -+＝25，
解得：1t ＝0，2t ＝2；
当t ＝0秒或2秒时，PQ 的长度等于5cm ；
（3）存在t ＝1秒，能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．理由如下：
长方形ABCD 的面积是：56⨯＝()230cm ，
使得五边形APQCD 的面积等于226cm ，则PBQ △的面积为3026-＝()24cm ，
()15242
t t -⨯⨯=， 解得：1t ＝4（不合题意舍去），2t ＝1．
即当t ＝1秒时，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ．
【点睛】
本题结合长方形考查动点问题，其本质运用代数式求值，利用含t 的代数式表示各自线段的直接，根据题干数量关系即可确立等量关系式，从而求出t 值.
7．（1）OD=4,
（2）证明过程见详解
（3）
5043
π- 【解析】
【分析】 （1）根据AB 与圆O 相切,在Rt △OBD 中运用tan ∠BOD=34
,即可求出OD 的长, （2）作辅助线证明四边形ADOG 是矩形,得DO ∥AC,sin ∠OCG=
35,在Rt△OCG 中,求出OG 的长等于半径即可解题,
（3）利用S 阴影=S Rt △BAC -S 正方形ADOG -
14S 圆O ,求出AC 长度即可解题. 【详解】
解：（1）∵AB 与圆O 相切,
∴OD ⊥AB,
在R t △OBD 中,BD=3,tan ∠BOD=
BD OD =34
, ∴OD=4,
（2）过点O 作OG 垂直AC 于点G ,
∵∠A=90°，AB 与圆O 相切,
∴四边形ADOG 是矩形,
∴DO ∥AC,
∴∠BOD=∠OCG , ∵tan ∠BOD=
BD OD =34
, ∴sin ∠OCG=35,
∵CF=8
3
,OF=4,
∴OG=OGsin∠OCG=4=r,
∴AC是⊙O的切线
（3）由前两问可知,四边形ADOG是边长为4的正方形,扇形DOE和扇形GOF的面积之和是四分之一圆的面积,
在R t△ABC中,tan∠C=3
4
,AB=4+3=7,
∴AC=
AB
tan C
∠
=
7
3
4
=
28
3
,
∴S
阴影=S Rt△BAC-S正方形ADOG-1
4
S圆O=2
1281
7444
234
π
⨯⨯-⨯-=
50
4
3
π
-
【点睛】
本题考查了三角函数的应用和直线与圆的位置关系,中等难度,熟悉三角函数并熟练应用是解题关键.
8．（1）6
3
7
；（2）BE＝
4
3
3
；菱形与圆重叠部分的面积为
8
3
3
．
【解析】
【分析】
（1）作PT⊥BE于点T，根据垂径定理和勾股定理求BQ的值，再根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（2）根据菱形性质和勾股定理求出菱形边长，此时点E和点Q重合，再根据扇形面积公式即可求解．
【详解】
解：（1）如图：
过点P作PT⊥BQ于点T，
∵AB＝2，AD＝BC＝3，DQ3
∴AQ＝3，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理可得：BQ＝7．又∵四边形BPDQ是平行四边形，
∴BP＝DQ＝3，
∵∠AQB＝∠TBP，∠A＝∠BTP，
∴△AQB∽△TBP，
∴
3
,
37 BT BD
AQ BQ
==
即，
∴BT=3
3 7
，
∴BE＝2BT＝6
3
7
．
（2）设菱形BPDQ的边长为x，则AQ＝23﹣x，
在Rt△ABQ中，根据勾股定理，得AB2+AQ2＝BQ2，
即4+（23﹣x）2＝x2，
解得x＝4
3 3
.
∵四边形BPDQ为菱形，∴BP=DP=4
3 3
,
又CP=BC-BP=2
3
3
,即DP=2CP,
∴∠DPC=60°，∴∠BPD=120°，
∴连接PQ,易得△BPQ为等边三角形，
∴PQ=BP,
∴点Q也在圆P上，圆P经过点B,D,Q,如图.
∴点E、Q重合，
∴BE 4
3 3
∴菱形与圆重叠部分面积即为菱形的面积，
∴S 菱形． 【点睛】 本题考查了平行四边形、矩形、菱形的性质、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、扇形面积公式，解决本题的关键是综合运用以上知识．
9．（1）m ＝﹣1，n ＝3，y ＝﹣x 2+2x +3；（2）S=3；（3）①y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；②t ＝﹣1或t ＝2
【解析】
【分析】
（1）首先解方程求得A 、B 两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据解方程直接写出点C 的坐标，然后确定顶点D 的坐标，根据两点的距离公式可得BDC ∆三边的长，根据勾股定理的逆定理可得90DBC ∠=︒，据此求出 △BDC 面积； （3）①确定抛物线的对称轴是1x =，根据增减性可知：1x =时，y 有最大值，当3x =时， y 有最小值；
②分5种情况：1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧；2、当11t +=时；3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧；4、当1t =时，5、函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答．
【详解】
解：（1）m ，n 分别是方程2230x x --=的两个实数根，且 m n <，
用因式分解法解方程：(1)(3)0x x +-=，
11x ∴=-，23x =，
1m ∴=-，3n =，
(1,0)A ∴-，(0,3)B ，
把(1,0)-，(0,3)代入得， 103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩
， ∴函数解析式为2y x 2x 3=-++．
（2）令2230y x x =-++=，即2230x x --=，
解得11x =-，23x =，
∴抛物线2y x 2x 3=-++与x 轴的交点为 (1,0)A -，(3,0)C ，
1OA ∴=，3OC =，
∴对称轴为1312
x -+==，顶点(1,123)D -++，即 (1,4)D ，
∴
BC = BD ==DC ==
222CD DB CB =+，
BCD ∴∆是直角三角形，且90DBC ∠=︒，
∴112322
S BCD BD BC ==⨯⨯=； （3）∵抛物线y ＝﹣x 2+2x +3的对称轴为x ＝1，顶点为D （1，4），
①在0≤x ≤3范围内，
当x ＝1时，y 最大值＝4；当x ＝3时，y 最小值＝0；
②1、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的左侧，当x t =时取得最小值 223q t t =-++，最大值2(1)2(1)3p t t =-++++，
令22(1)2(1)3(23)3p q t t t t -=-++++--++=，即 213t -+=，解得1t =-．
2、当11t +=时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
3、当函数y 在1t x t +内的抛物线分别在对称轴的两侧，
此时4p =，令24(23)3p q t t -=--++=，即 2220t t --=解得：11t =)，
21t = )；
或者24[(1)2(1)3]3p q t t -=--++++=，即 t =
4、当1t =时，此时4p =，3q =，不合题意，舍去；
5、当函数y 在1t x t +内的抛物线完全在对称轴的右侧，当x t =时取得最大值 223p t t =-++，最小值2(1)2(1)3q t t =-++++，
令2223[(1)2(1)3]3p q t t t t -=-++--++++=，解得 2t =．
综上，1t =-或2t =．
【点睛】 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，直角三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，注意运用分类讨论的思想解决问题．
10．（1）点D 的坐标为12)，抛物线的解析式为24 ?1?3y x =-+；（2）
①1n =+；②234
S m =+，S 【解析】
【分析】
（1）由抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，得到OB=1，根据菱形的性质结合含30度的直角三角形的性质点A 、D 、C 的坐标，再利用待定系数法即可求解；
（2）①在Rt △FEA 中，FB=12
FA=2，FD=FB+BD=3，根据题意设此一次函数解析式为：
n km b =+，求得m =2n FB ==，m =3n FD ==，代入
n km b =+，即可求解；
②求得NA 3m =，过N 作NQ ⊥EA ，得到NQ=12NA=32，利用面积公式得到
S 关于
m 的函数表达式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】
（1）∵抛物线的解析式为y = ax 2 + bx + 1，
∴OB=1，
∵∠BAO=30︒，∠BOA=90︒，
∴AB=2OB=2，OA=2222AB OB 213-=-=，∠ABO=60︒，
∴点A 的坐标为(3，0)， 又∵四边形OBCD 是菱形，且∠ABO=60︒，
∴OD=CD=OB=1，
∴△DOB 为等边三角形，
∴∠BOD=60︒，∠DOA=30︒，BD=BO=OD=DA=1，
延长CD 交OA 于H ，则CH ⊥OA ，
∴DH=12OD=12，3CH=CD+DH=32， ∴点D 的坐标为312)，点C 的坐标为332)， 将A 30) ， C 的坐标为(
32，32)代入抛物线的解析式y = ax 2 + bx + 1， 得：331033314
2a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩， 解得：433a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
， ∴抛物线的解析式为24 3?1?3
y x x =-+； （2）①在Rt △FEA 中，∠FAE=30︒，3FA=2AB=4，
∴FB=12
FA=2，FD=FB+BD=3， ∵动点M 、N 同时作匀速直线运动，
∴n 关于m 成一次函数，故设此一次函数解析式为：n km b =+，
当点M 运动到点O 时，点N 恰好与点B 重合，
∴m =2n FB ==，
当点M 运动到点A 时，点N 恰好与点D 重合，
∴m =3n FD ==，
代入n km b =+
，得：23b b
⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，
解得：1k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩
∴此一次函数解析式为：13n m =
+； ②NA=FA
-FN=4- 3n =， 过N 作NQ ⊥EA ，
则NQ=12
NA=326
m -，
∴2133224S m m ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭
，
∵0<，
当3m ==⎝⎭
0m ≤≤范围内，
∴1322S ⎛=-= ⎝⎭
最大 【点睛】
本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、等边三角形的判定和性质、二次函数的性质、函数图象的交点等．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大．
11．（1）35，5784y x =+ ；（2
r ≤.
【解析】【分析】
（
1）①由矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，得出最优覆盖矩形的长为：2+5=7，宽为3+2=5，即可得出结果；
②由定义可知，t=-3或6，即点C坐标为（-3，-2）或（6，-2），设AC表达式为y=kx+b，代入即可求出结果；
（2）OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，OD所在的直线表达式为y=x，得出点E的坐标为（2，2），⊙P的半径最小
r=2，当点E的纵坐标为1时，⊙P的半径最大r=17
2
，即可得出结果．
【详解】
（1）①∵A（﹣2，3），B（5，0），C（2，﹣2），矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A，B，C三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A，B，C的覆盖矩形．点A，B，C的所有覆盖矩形中，面积最小的矩形称为点A，B，C的最优覆盖矩形，
∴最优覆盖矩形的长为：2+5＝7，宽为3+2＝5，
∴最优覆盖矩形的面积为：7×5＝35；
②∵点A，B，C的最优覆盖矩形的面积为40，
∴由定义可知，t＝﹣3或6，即点C坐标为（﹣3，﹣2）或（6，﹣2），
设AC表达式为y＝kx+b，
∴
32
23
k b
k b
=-+
⎧
⎨
-=-+
⎩
或
32
26
k b
k b
=-+
⎧
⎨
-=+
⎩
∴
5
13
k
b
=
⎧
⎨
=
⎩
或
5
8
7
4
k
b
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴y＝5x+13或
57
84
y x
=-+；
（2）①OD所在的直线交双曲线于点E，矩形OFEG是点O，D，E的一个面积最小的最优覆盖矩形，如图1所示：
∵点D（1，1），
∴OD 所在的直线表达式为y ＝x ，
∴点E 的坐标为（2，2），
∴OE ＝222+2=22，
∴⊙P 的半径最小r ＝2，
②当DE ∥x 轴时，即：点E 的纵坐标为1，如图2所示：
∵点D （1，1）．E （m ，n ）是函数y ＝
4x （x ＞0）的图象上一点 ∴1＝4
x ，解得x ＝4， ∴OE ═
224+117， ∴⊙P 的半径最大r ＝172
， 172r ≤
． 【点睛】 本题是圆的综合题目，考查了矩形的性质、勾股定理、待定系数法求直线的解析式、坐标与图形性质、反比例函数等知识；本题综合性强，有一定难度．
12．（1）详见解析；（2）详见解析；
【解析】
【分析】
()1根据垂径定理得到BD CD =，根据等腰三角形的性质得到
()
111809022ODA AOD AOD ∠=-∠=-∠，即可得到结论； ()2根据垂径定理得到BE CE =，BD CD =，根据等腰三角形的性质得到
ADO OAD ∠=∠，根据切线的性质得到90PAO ∠=，求得90OAD DAP ∠+∠=，推出PAF PFA ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．
【详解】
()1证明：OD BC ⊥，
BD CD ∴=，
CBD DCB ∴∠=∠，
90DFE EDF ∠+∠=，
90EDF DFE ∴∠=-∠，
OD OA =，
()111809022
ODA AOD AOD ∴∠=-∠=-∠， 190902
DFE AOD ∴-∠=-∠， 12
DEF AOD ∴∠=∠， DFE ADC DCB ADC CBD ∠=∠+∠=∠+∠，
12
ADC CBD AOD ∴∠+∠=∠； ()2解：OD BC ⊥，
BE CE ∴=，BD CD =，
BD CD ∴=，
OA OD =，
ADO OAD ∴∠=∠，
PA 切O 于点A ，
90PAO ∴∠=， 90OAD DAP ∴∠+∠=， PFA DFE ∠=∠，
90PFA ADO ∴∠+∠=，
PAF PFA ∴∠=∠，
PA PF ∴=．
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．。