2020-2021西安高新唐南中学高中三年级数学下期末模拟试题(附答案)

2020-2021西安高新唐南中学高中三年级数学下期末模拟试题(附答案)
一、选择题
1．已知在ABC V 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）
A ．14
-
B ．
14
C ．23
-
D ．
23
2．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.1
6.12 y
1.5
4.04 7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =- B ．1()2
x
y =
C ．2y log x =
D ．()
2
112
y x =
- 3．若43i z =+，则z
z
=（ ） A ．1
B ．1-
C ．
4355
i + D ．
4355
i - 4．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组
B ．9组
C ．8组
D ．7组
5．如图，12,F F 是双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线
C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A ．23y x =±
B ．2y x =±
C ．3y x =
D ．2y x =±
6．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）
A ．34
B ．16
C ．1112
D ．2524
7．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A ．2
B ．3
C ．22
D ．32 8．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=
A ．–4
B ．–2
C ．4
D ．2
9．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220
B ．2755
C ．
2125
D ．
27
220
10．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh 柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）
A ．158
B ．162
C ．182
D ．324
11．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B
B ．B 与C
C ．A 与D
D ．C 与D
12．已知P 为双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>上一点，12F F ，
为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．4
3
y x =±
B ．34
y x =?
C ．35
y x =±
D ．53
y x =±
二、填空题
13．设25a b m ==,且
11
2a b
+=,则m =______. 14．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数
y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则
12
m n
+的最小值为 15．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ
=+-<<的图象关于直线3
x π=对称，则ϕ的值是________．
16．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 17．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r
=______．
18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C C
c B B
+=+，C 是锐角，且27a =1
cos 3
A =
，则ABC △的面积为______． 19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.
20．函数232x x --的定义域是 .
三、解答题
21．已知函数2
()(1)1
x
x f x a a x -=+
>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；
（2）用反证法证明：()0f x =没有负数根．
22．已知()ln x
e f x a x ax x
=+-.
（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；
（2）当1a =-时，若不等式1()()0x
f x bx b e x x
+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．
23．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y α
α=+⎧⎨=-⎩
（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，
x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1
sin 2cos θθρ
-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.
24．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．
25．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

某运营公司为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了40个用户，得到用户的满意度评分如下： 用户编号 评分
用户编号 评分
用户编号 评分
用户编号 评分
1
2
78 73
11 12
88 86
21 22
79 83
31 32
93 78
3 4 5 6
7
8
9
10
81
92
95
85
79
84
63
86
13
14
15
16
17
18
19
20
95
76
97
78
88
82
76
89
23
24
25
26
27
28
29
30
72
74
91
66
80
83
74
82
33
34
35
36
37
38
39
40
75
81
84
77
81
76
85
89
用系统抽样法从40名用户中抽取容量为10的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为92.
（1）请你列出抽到的10个样本的评分数据；
（2）计算所抽到的10个样本的均值x和方差2s；
（3）在（2）条件下，若用户的满意度评分在()
,
x s x s
-+之间，则满意度等级为“A 级”。

试应用样本估计总体的思想，根据所抽到的10个样本，估计该地区满意度等级为“A级”的用户所占的百分比是多少？
（参考数据：30 5.48,33 5.74,35 5.92
≈≈≈）
26．四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD是边长为2的菱形，
3
BAD
π
∠=，PAD
∆是等边三角形，F为AD的中点，PD BF
⊥.
（1）求证：AD PB
⊥；
（2）若E在线段BC上，且
1
4
EC BC
=，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求四面体D CEG
-的体积.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,
则()()()222
3241
cos 2324
k k k C k k
+-=
=-⨯⨯ ，选A.
2．D
解析：D 【解析】 【分析】
根据,x y 的数值变化规律推测二者之间的关系，最贴切的是二次关系. 【详解】
根据实验数据可以得出，x 近似增加一个单位时，y 的增量近似为2.5，3.5，4.5，6，比较
接近()
2
112
y x =
-，故选D. 【点睛】
本题主要考查利用实验数据确定拟合曲线，求解关键是观察变化规律，侧重考查数据分析的核心素养.
3．D
解析：D 【解析】 【详解】
由题意可得 ：5z ==，且：43z i =-，
据此有：
4343555
z i i z -==-. 本题选择D 选项.
4．B
解析：B 【解析】
由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.
5．A
解析：A 【解析】 【分析】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，利用双曲线的定义求出3x =和a 的值，再利用勾股
定理求c ，由b
y x a
=±得到双曲线的渐近线方程. 【详解】
设1123,4,5,AB BF AF AF x ====，
由双曲线的定义得：345x x +-=-，解得：3x =，
所以12||F F =
=c ⇒=
因为2521a x a =-=⇒=，所以b =
所以双曲线的渐近线方程为b
y x a
=±=±. 【点睛】
本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义，考查运算求解能力.
6．C
解析：C 【解析】
由算法流程图知s ＝0＋
12＋14＋16＝11
12
.选C. 7．C
解析：C 【解析】 【分析】
两圆方程相减，得到公共弦所在的直线方程，然后利用其中一个圆，结合弦长公式求解. 【详解】
因为圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0， 两式相减得20x y --=，即公共弦所在的直线方程. 圆C 1：x 2+y 2＝4，圆心到公共弦的距离为
d =，
所以公共弦长为：l ==. 故选：C 【点睛】
本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．D
解析：D 【解析】
试题分析：()()()2
312322f x x x x ==+'--，令()0f x '=得2x =-或2x =，易得
()f x 在()2,2-上单调递减，在()2,+∞上单调递增，故()f x 的极小值点为2，即
2a =，故选D.
【考点】函数的导数与极值点
【名师点睛】本题考查函数的极值点．在可导函数中，函数的极值点0x 是方程'()0f x =的解，但0x 是极大值点还是极小值点，需要通过这个点两边的导数的正负性来判断，在0x 附近，如果0x x <时，'()0f x <，0x x >时'()0f x >，则0x 是极小值点，如果0x x <时，'()0f x >，0x x >时，'()0f x <，则0x 是极大值点.
9．D
解析：D 【解析】 【分析】
旧球个数x=4即取出一个新球，两个旧球，代入公式即可求解． 【详解】
因为从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数为x=4，即旧球增加一
个，所以取出的三个球中必有一个新球，两个旧球，所以12933
1227
(4)220
C C P X C ===，故选
D ． 【点睛】
本题考查离散型随机变量的分布列，需认真分析P(X=4)的意义，属基础题．
10．B
解析：B 【解析】 【分析】
先由三视图还原出原几何体，再进行计算 【详解】
由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为
26
4633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭
. 故选B. . 【点睛】
本题首先根据三视图，还原得到几何体——棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积，常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心计算
11．C
解析：C 【解析】
分析：利用互斥事件、对立事件的概念直接求解判断即可. 详解：在A 中，A 与B 是对立事件，故不正确；
在B 中，B 与C 能同时发生，不是互斥事件，所以不正确；
在C 中，A 与D 两个事件不能同时发生，但能同时不发生，所以是互斥事件，但不是对立事件，所以是正确的；
在D 中，C 与D 能同时发生，不是互斥事件，所以是错误的. 综上所述，故选C.
点睛：本题主要考查了命题的真假判定，属于基础题，解答时要认真审题，注意互斥事件与对立事件的定义的合理运用，同时牢记互斥事件和对立事件的基本概念是解答的基础.
12．A
解析：A 【解析】 【分析】
依据题意作出图象，由双曲线定义可得1122PF F F c ==，又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切，可得2MF b =，对2OF M ∠在两个三角形中分别用余弦定理及余弦定义列方程，即可求得2b a c =+，联立222c a b =+，即可求得4
3
b a =，问题得解． 【详解】
依据题意作出图象，如下：
则1122PF F F c ==，OM a =， 又直线PF 2与以C 的实轴为直径的圆相切， 所以2OM PF ⊥, 所以222MF c a b =
-=
由双曲线定义可得：212PF PF a -=，所以222PF
c a =+， 所以()()()()
222
22222cos 2222c a c c b OF M c c a c ++-∠==⨯⨯+
整理得：2b a c =+，即：2b a c -= 将2c b a =-代入222c a b =+，整理得：43
b a =， 所以C 的渐近线方程为43
b y x x a =±=± 故选A 【点睛】
本题主要考查了双曲线的定义及圆的曲线性质，还考查了三角函数定义及余弦定理，考查计算能力及方程思想，属于难题．
二、填空题
13．【解析】【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力
【解析】 【分析】
变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到11
log 102m a b
+==，得到答案. 【详解】
25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，
故
11
log 2log 5log 102,m m m m a b
+=+==∴=
【点睛】
本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
14．8【解析】∵函数（且）的图象恒过定点A ∴当时∴又点A 在一次函数的图象上其中∴又∴∴（当且仅当时取）故答案为8点睛：本题主要考查了基本不等式基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值其失误
解析：8 【解析】
∵函数log 1
1a y x =-+（）（0a ＞，且1a ≠）的图象恒过定点A ， ∴当2x =时，1y =，∴()21A ，，又点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中0mn >，
∴21m n +=，又0mn >，
∴0m >，0n >，∴()12124 248n m
m n m n m n m n
+=+⋅+=++≥（），（当且仅当
1
22
n m ==
时取“=”），故答案为8. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
15．【解析】分析：由对称轴得再根据限制范围求结果详解：由题意可得所以因为所以点睛：函数（A>0ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间
解析：6
π-
. 【解析】
分析：由对称轴得π
π()6
k k Z ϕ=-+∈，再根据限制范围求结果. 详解：由题意可得2sin π13ϕ⎛⎫
+=± ⎪⎝⎭
，所以2πππππ()326k k k Z ϕϕ+=+=-+∈，，因
为ππ22ϕ-
<<，所以π
0,.6
k ϕ==- 点睛：函数sin()y A x B ωϕ=++（A >0,ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2π
T ω
=
；(3)由π
π()2
x k k ωϕ+=
+∈Z 求对称轴；(4)由ππ2π2π()22k x k k ωϕ-+≤+≤+∈Z 求增区间; 由π3π2π2π()22k x k k ωϕ+≤+≤+∈Z 求减区间.
16．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
解析：1：8 【解析】
考查类比的方法，11111222221111
31428
3
S h
V S h V S h S h ⋅⨯＝
＝＝＝，所以体积比为1∶8. 17．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答
解析：2 【解析】 【分析】
过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1
AD AB 12
=
=，Rt△ACD 中利用三角函数的定义算出1cos A AC
=
，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅u u u v u u u v
的值． 【详解】
过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．
Rt △ACD 中，1
AD AB 12
==， 可得cosA=
1
1,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC
=∴⋅=⋅=⋅⋅=u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v =2． 故答案为2 【点睛】
本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．
18．【解析】【分析】由及三角变换可得故于是得到或再根据可得从而然后根据余弦定理可求出于是可得所求三角形的面积【详解】由得∵∴∴又为三角形的内角∴或又∴于是由余弦定理得即解得故∴故答案为【点睛】正余弦定理 解析：2【解析】 【分析】 由
cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+及三角变换可得sin cos sin cos B C C B
=，故sin2sin2B C =，于是得到
B C =或2
B C π
+=
，再根据1
cos 3
A =
可得B C =，从而b c =，然后根据余弦定理可求出21b c ==
【详解】
由cos 1cos2cos 1cos2b C C c B B +=+，得22
sin cos 2cos sin cos 2cos B C C
C B B =， ∵cos 0,cos 0C B ≠≠，
∴
sin cos sin cos B C
C B
=， ∴sin2sin2B C =， 又,B C 为三角形的内角，
∴B C =或2
B C π
+=，
又1cos 3
A =
， ∴B C =，于是b c =．
由余弦定理得2
2
2
2cos ,a b c b A =+- 即()
2
2222
273
b b b =+-，
解得21b =，故21c =．
∴1122sin 212172223
ABC S bc A ∆=
=⨯⨯⨯=. 故答案为72． 【点睛】
正余弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题．
19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图 解析：
1015
π 【解析】 【分析】
先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】
由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，
因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，
令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23
SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=
，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得222
1R r OF =+，
计算得，2
81101
12020R =
+= ， 所以2
101
45
S R ππ==. 故答案为
101
.5
π 【点睛】
本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.
20．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域
解析：[]3,1-
【解析】
试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]
3,1- 考点：函数定义域
三、解答题
21．见解析． 【解析】
试题分析：（1）借助题设条件运用函数的单调性进行推证；（2）借助题设条件运用反证法推证. 试题解析：
（1）任取1x ，2(1,)x ∈-+∞，不妨设12x x <，
则210x x ->，210x +>，110x +>，又1a >，所以21x x a a >，
所以2
121212122()()11x x x x f x f x a
a x x ++-=-+
-++2121213()
0(1)(1)
x x x x a a x x -=-+>++， 故函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数．
（2）设存在00x <（01x ≠-）满足0()0f x =， 则0
0021x x a
x -=
+，且001x a <<，所以002
011x x -<
<+，即0122
x <<， 与假设00x <矛盾，故方程()0f x =没有负根．
考点：函数单调性的定义及反证法等有关知识的综合运用． 22．（1）见解析；（2）1
[,)e
+∞. 【解析】 【分析】
（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()()()2
1x x e ax f x x --'=，据此确定函数的单调性即
可；
（2）由题意可知()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立，分类讨论0b ≤和0b >两种情
况确定实数b 的取值范围即可. 【详解】
（1）()f x 的定义域为()0,+∞ ∵()()()2
1x x e ax f x x --'=
，0a <，
∴当()0,1x ∈时，()0f x '<；()1,x ∈+∞时，()0f x '> ∴函数()f x 在()0,1上单调递减；在()1,+∞上单调递增.
（2）当1a =-时，()1x f x bx b e x x ⎛⎫+--- ⎪⎝
⎭ ()1x
b x e lnx =-- 由题意，()10x
b x e lnx --≥在[
)1,+∞上恒成立
①若0b ≤，当1x ≥时，显然有()10x
b x e lnx --≤恒成立；不符题意.
②若0b >，记()()1x
h x b x e lnx =--，则()1x
h x bxe x
'=-
, 显然()h x '在[
)1,+∞单调递增， （i ）当1
b e
≥
时，当1x ≥时，()()110h x h be ≥=-'≥' ∴[
)1,x ∈+∞时，()()10h x h ≥=
（ii ）当10b e <<，()110h be -'=<，1
110b h e b e b ⎛⎫
=-> ⎝'->⎪⎭
∴存在01x >，使()0h x '=.
当()01,x x ∈时，()0h x '<，()0,x x ∈+∞时，()0h x '> ∴()h x 在()01,x 上单调递减；在()0,x +∞上单调递增 ∴当()01,x x ∈时，()()10h x h <=，不符合题意
综上所述，所求b 的取值范围是1,e ⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
【点睛】
本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究恒成立问题，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
23．（1）2
6cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22 【解析】 【分析】
（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθ
ρθ
=⎧⎨
=⎩，整理
即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】 （1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨
=-⎩，得3212x cos y sin α
α
-=⎧⎨-=-⎩，
两式两边平方并相加，得()()2
2
314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆. 将y sin x cos ρθρθ
=⎧⎨
=⎩代入得()()22
cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得
26cos 2sin 60ρρθρθ--+=
所以曲线C 的极坐标方程为2
6cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1
sin 2cos θθρ
-=
，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=
所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+=
因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离d ==
，
所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为25
d r +=
+.
【点睛】
本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题.
24．120o C =,c = 【解析】
试题分析：解：（1）()()1
cos cos cos 2
C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C =o
（2）由题意得{
2
a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-o
=()(2
2
22210a b ab a b ab ++=+-=-=
∴AB =考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用
点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题 25．（1）见解析；（2）均值83x =，方差233s =（3）50% 【解析】 【分析】
（1）根据题意，由表格分析可得通过系统抽样分别抽取编号，据此可得样本的评分数据； （2）根据题意，由平均数和方差公式计算可得答案；
（3）根据题意，分析评分在(83，即（77.26，88.74）之间的人数，进而计算进而可得答案． 【详解】
（1）通过系统抽样抽取的样本编号为：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40 则样本的评分数据为：92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. （2）由（1）中的样本评分数据可得
()1
928486788974837877898310
x =
+++++++++=， 则有
()()()()()()()()()()2222222222
21928384838683788389837483838378837783898310S ⎡⎤=
-+-+-+-+-+-+-+-+-+-⎣
⎦
33=
所以均值83x =，方差233s =.
（3）由题意知评分在(83即()77.26,88.74之间满意度等级为“A 级”， 由（1）中容量为10的样本评分在()77.26,88.74之间有5人，
则该地区满意度等级为“A 级”的用户所占的百分比约为5
0.550%10
== 【点睛】
本题考查系统抽样方法以及数据方差的计算，关键是分析取出的数据，属于基础题． 26．（1）证明见解析；（2）112
. 【解析】 【分析】
（1）连接PF ，BD 由三线合一可得AD ⊥BF ，AD ⊥PF ，故而AD ⊥平面PBF ，于是AD ⊥PB ； （2）先证明PF ⊥平面ABCD ，再作PF 的平行线，根据相似找到G ，再利用等积转化求体积． 【详解】 连接PF ，BD,
∵PAD ∆是等边三角形，F 为AD 的中点， ∴PF ⊥AD ，
∵底面ABCD 是菱形，3
BAD π
∠=
，
∴△ABD 是等边三角形，∵F 为AD 的中点， ∴BF ⊥AD ，
又PF ，BF ⊂平面PBF ，PF ∩BF ＝F ， ∴AD ⊥平面PBF ，∵PB ⊂平面PBF ， ∴AD ⊥PB ．
（2）由（1）得BF ⊥AD ，又∵PD ⊥BF ，AD ，PD ⊂平面PAD ， ∴BF ⊥平面PAD ，又BF ⊂平面ABCD ， ∴平面PAD ⊥平面ABCD ，
由（1）得PF ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ， ∴PF ⊥平面ABCD ，
连接FC 交DE 于H,则△HEC 与△HDF 相似，又1142EC BC FD ==，∴CH=1
3
CF ， ∴在△PFC 中,过H 作GH //PF 交PC 于G ，则GH⊥平面ABCD ，又GH ⊂面GED ，则面GED⊥
平面ABCD ， 此时CG=
1
3
CP, ∴四面体D CEG -的体积
11111
223382312
D CEG G CED CED V V S GH PF V --==⋅=⨯⨯⨯⨯⨯=．
所以存在G 满足CG=13CP, 使平面DEG ⊥平面ABCD ，且112
D CEG V -=. 【点睛】
本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题．。