2019届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课堂达标9二次函数与幂函数文新人教版20180723
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
课堂达标(九) 二次函数与幂函数
[A 基础巩固练]
1.(2018·吉林东北二模)已知幂函数f (x )=x n
,n ∈{-2,-1,1,3}的图象关于y 轴对称,则下列选项正确的是( )
A .f (-2)>f (1)
B .f (-2)<f (1)
C .f (2)=f (1)
D .f (-2)>f (-1)
[解析] 由于幂函数f (x )=x n
的图象关于y 轴对称,可知f (x )=x n
为偶函数,所以n =-2,即f (x )=x -2
,则有f (-2)=f (2)=14
,f (-1)=f (1)=1,所以f (-2)<f (1).
[答案] B
2.幂函数y =xm 2
-4m (m ∈Z )的图象如图所示,则m 的值为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
[解析] ∵y =xm 2
-4m (m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点,∴m 2
-4m <0,即0<m <4, 又∵函数的图象关于y 轴对称,且m ∈Z , ∴m 2
-4m 为偶数,因此m =2. [答案] C
3.设函数f (x )=x 2
-23x +60,g (x )=f (x )+|f (x )|,则g (1)+g (2)+…+g (20)=( )
A .56
B .112
C .0
D .38
[解析] 由二次函数图象的性质得,当3≤x ≤20时,f (x )+|f (x )|=0,∴g (1)+g (2)+…+g (20)=g (1)+g (2)=112.
[答案] B
4.已知函数f (x )=x 1
2
,若0<a <b <1,则下列各式中正确的是( )
A .f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1b
B .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b
<f (b )<f (a )
C .f (a )<f (b )<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a
D .f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a <f (a )<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b
<f (b )
[解析] 因为函数f (x )=x 12在(0,+∞)上是增函数,又0<a <b <1b <1
a
,故f (a )<f (b )
<f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1b <f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a . [答案] C
5.(2018·吉林松原调研)设函数f (x )=x 2
+x +a (a >0),已知f (m )<0,则( ) A .f (m +1)≥0 B .f (m +1)≤0 C .f (m +1)>0
D .f (m +1)<0
[解析] ∵f (x )的对称轴为x =-1
2,f (0)=a >0,
∴f (x )的大致图象如图所示. 由f (m )<0,得-1<m <0, ∴m +1>0, ∴f (m +1)>f (0)>0. [答案] C
6.(2018·安徽皖北片高三第一次联考)已知函数f (x )=-x 2
+2ax +1-a 在区间[0,1]上的最大值为2,则a 的值为( )
A .2
B .-1或-3
C .2或-3
D .-1或2
[解析] 函数f (x )=-x 2
+2ax +1-a 的对称轴为x =a ,图象开口向下, ①当a ≤0时,函数f (x )=-x 2
+2ax +1-a 在区间[0,1]是减函数, ∴f max (x )=f (0)=1-a , 由1-a =2,得a =-1,
②当0<a ≤1时,函数f (x )=-x 2
+2ax +1-a 在区间[0,a ]是增函数,在[a,1]上是减函数,
∴f max (x )=f (a )=-a 2
+2a 2
+1-a =a 2-a +1, 由a 2
-a +1=2,解得a =1+52或a =1-52,
∵0<a ≤1,∴两个值都不满足;
③当a >1时,函数f (x )=-x 2
+2ax +1-a 在区间[0,1]是增函数, ∴f max (x )=f (1)=-1+2a +1-a =a ,∴a =2.
综上可知,a =-1或a =2.故选:D. [答案] D
7.当0<x <1时,函数f (x )=x 1.1
,g (x )=x 0.9
,h (x )=x -2
的大小关系是 ________ . [解析] 如图所示为函数f (x ),g (x ),
h (x )在(0,1)上的图象,由此可知,h (x )>g (x )>f (x ).
[答案] h (x )>g (x )>f (x )
8.对于任意实数x ,函数f (x )=(5-a )x 2
-6x +a +5恒为正值,则a 的取值范围是 ________ .
[解析] 由题意可得⎩⎪⎨
⎪⎧
5-a >0,
36-45-a
a +5<0,
解得-4<a <4. [答案] (-4,4)
9.(2018·长沙模拟)若函数f (x )=x 2
-3x -4的定义域为[0,m ],值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤-254,-4,
则m 的取值范围是______.
[解析] 函数f (x )图象的对称轴为x =32,且f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫32=-254,f (3)=f (0)=-4,由二次
函数的图象知m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32,3.
[答案] ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤32,3 10.已知函数f (x )=ax 2
-2ax +2+b (a ≠0),若f (x )在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.
(1)求a ,b 的值;
(2)若b <1,g (x )=f (x )-mx 在[2,4]上单调,求m 的取值范围. [解] (1)f (x )=a (x -1)2+2+b -a . 当a >0时,f (x )在[2,3]上为增函数,
故⎩
⎪⎨⎪⎧
f 3=5,f 2=2
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
9a -6a +2+b =5,
4a -4a +2+b =2⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a =1
b =0.
当a <0时,f (x )在[2,3]上为减函数,
故⎩
⎪⎨⎪⎧
f 3=2,f 2=5
⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
9a -6a +2+b =2,
4a -4a +2+b =5⇒⎩
⎪⎨
⎪⎧
a =-1,
b =3.
(2)∵b <1,∴a =1,b =0,即f (x )=x 2
-2x +2.
g (x )=x 2-2x +2-mx =x 2-(2+m )x +2,
∵g (x )在[2,4]上单调,∴2+m 2≤2或m +2
2≥4.
∴m ≤2或m ≥6.
故m 的取值范围为(-∞,2]∪[6,+∞).
[B 能力提升练]
1.已知f (x )=3-2|x |,g (x )=x 2
-2x ,F (x )=⎩⎪⎨
⎪⎧
g
x ,f x ≥g x ,f
x ,f x <g x ,
则F (x )
的最值情况为( )
A .最大值为3,最小值为-1
B .最大值为7-27,无最小值
C .最大值为3,无最小值
D .既无最大值,又无最小值
[解析] 作出F (x )的图象,如图实线部分.由图象知F (x )有最大值无最小值,且最大值不是3.
[答案] B
2.关于x 的二次方程(m +3)x 2
-4mx +2m -1=0的两根异号,且负根的绝对值比正根大,那么实数m 的取值范围是( )
A .-3<m <0
B .0<m <3
C .m <-3或m >0
D .m <0或m >3
[解析] 由题意知⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ=16m 2-4m +32m -1>0, ①
x 1
+x 2
=4m m +3<0, ②
x 1
·x 2
=2m -1
m +3
<0,③
由①②③得-3<m <0,故选A.
[答案] A
3.若函数f (x )=x 2
-a |x -1|在[0,+∞)上单调递增,则实数a 的取值范围是 ________ .
[解析] f (x )=⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
-ax +a ,x ∈[1,+∞,
x 2
+ax -a ,x ∈-∞,1,
x ∈[1,+∞)时,f (x )=x 2
-ax +a =⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 22+a -a 2
4,x ∈(-∞,1)时,
f (x )=x 2
+ax -a =⎝ ⎛⎭
⎪⎫x +a 22-a -a 2
4.
①当a
2>1,即a >2时,f (x )在⎣⎢⎡
⎭
⎪⎫
1,a 2上单调递减,
在⎝ ⎛⎭
⎪⎫a
2,+∞上单调递增,不合题意; ②当0≤a
2≤1,即0≤a ≤2时,符合题意;
③当a
2<0,即a <0时,不符合题意,
综上,a 的取值范围是[0,2]. [答案] [0,2]
4.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ,b ]上的两个函数,若函数y =f (x )-g (x )在x ∈[a ,b ]上有两个不同的零点,则称f (x )和g (x )在[a ,b ]上是“关联函数”,区间[a ,b ]称为“关联区间”.若f (x )=x 2
-3x +4与g (x )=2x +m 在[0,3]上是“关联函数”,则m 的取值范围是 ________ .
[解析] 由题意知,y =f (x )-g (x )=x 2
-5x +4-m 在[0,3]上有两个不同
的零点.在同一直角坐标系下作出函数y =m 与y =x 2
-5x +4(x ∈[0,3])的图象如图所
示,结合图象可知,当x ∈[2,3]时,y =x 2
-5x +4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-94,-2,故当m ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤-94,-2时,
函数y =m 与y =x 2
-5x +4(x ∈[0,3])的图象有两个交点.
[答案] ⎝ ⎛⎦
⎥⎤-94,-2
5.已知函数f (x )=ax 2
-2x +1.
(1)试讨论函数f (x )的单调性.
(2)若1
3
≤a ≤1,且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a ),最小值为N (a ),令g (a )=M (a )-
N (a ),求g (a )的表达式.
(3)在(2)的条件下,求证:g (a )≥1
2.
[解] (1)当a =0时,
函数f (x )=-2x +1在(-∞,+∞)上为减函数; 当a >0时,抛物线f (x )=ax 2
-2x +1开口向上,
对称轴为x =1a
,所以函数f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,1a 上为减函数,在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1a ,+∞上为增函数;
当a <0时,抛物线f (x )=ax 2
-2x +1开口向下,对称轴为x =1a
,所以函数f (x )在
⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,1a 上为增函数,在⎣⎢⎡⎭
⎪⎫1a ,+∞上为减函数. (2)因为f (x )=a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x -1a 2
+1-1a
,
由13≤a ≤1得1≤1
a ≤3, 所以N (a )=f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1a =1-1a
.
当1≤1a <2,即1
2
<a ≤1时,
M (a )=f (3)=9a -5,
故g (a )=9a +1
a
-6;
当2≤1a ≤3,即13≤a ≤1
2时,M (a )=f (1)=a -1,
故g (a )=a +1
a
-2.
所以g (a )=⎩⎪⎨⎪
⎧
a +1
a -2,a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
13,12,9a +1a -6,a ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤12,1.
(3)证明:当a ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13,12时g ′(a )=1-1a 2<0,
所以函数g (x )在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤13,12上为减函数;
当a ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤12,1时,g ′(a )=9-1a 2>0, 所以函数g (a )在⎝ ⎛⎦
⎥⎤12,1上为增函数,
所以当a =1
2
时,g (a )取最小值,
g (a )min =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12
=12
.故g (a )≥12
.
[C 尖子生专练]
(2018·浙江瑞安四校联考)已知函数f (x )=x 2
-1,g (x )=a |x -1|. (1)若当x ∈R 时,不等式f (x )≥g (x )恒成立,求实数a 的取值范围; (2)求函数h (x )=|f (x )|+g (x )在区间[0,2]上的最大值. [解] (1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立, 即x 2
-1≥a |x -1|(*)对x ∈R 恒成立. ①当x =1时,(*)显然成立,此时a ∈R ;
②当x ≠1时,(*)可变形为a ≤x 2-1
|x -1|
,
令φ(x )=x 2-1|x -1|=⎩⎪⎨
⎪⎧
x +1,x >1,-x +1,x <1.
因为当x >1时,φ(x )>2,当x <1时,φ(x )>-2, 所以φ(x )>-2,故此时a ≤-2.
综合①②,得所求实数a 的取值范围是(-∞,-2]. (2)h (x )=⎩⎪⎨⎪
⎧
-x 2
-ax +a +1,0≤x <1,0,x =1,
x 2+ax -a -1,1<x ≤2.
①当-a
2
≤0时,即a ≥0, (-x 2
-ax +a +1)max =h (0)=a +1, (x 2
+ax -a -1)max =h (2)=a +3. 此时,h (x )max =a +3. ②当0<-a
2
≤1时,
即-2≤a <0,(-x 2
-ax +a +1)max
=h ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2=a
2
4
+a +1, (x 2
+ax -a -1)max =h (2)=a +3.
此时h (x )max =a +3.
③当1<-a
2≤2时,即-4≤a <-2,
(-x 2
-ax +a +1)max =h (1)=0, (x 2
+ax -a -1)max =max{h (1),
h (2)}=max{0,3+a }=⎩⎪⎨
⎪⎧
0,-4≤a <-3,
3+a ,-3≤a <-2.
此时h (x )max =⎩
⎪⎨
⎪⎧
0,-4≤a <-3,
3+a ,-3≤a <-2.
④当-a
2>2时,即a <-4,
(-x 2
-ax +a +1)max =h (1)=0, (x 2
+ax -a -1)max =h (1)=0. 此时h (x )max =0.
综上:h (x )max =⎩
⎪⎨⎪⎧
3+a ,a ≥-3,
0,a <-3.
附:什么样的考试心态最好
大部分学生都不敢掉以轻心,因此会出现很多过度焦虑。
想要不出现太强的考试焦虑,那么最好的办法是,形成自己的掌控感。
1、首先,认真研究考试办法。
这一点对知识水平比较高的考生非常重要。
随着重复学习的次数增加,我们对知识的兴奋度会逐渐下降。
最后时刻,再去重复学习,对于很多学生已经意义不大,远不如多花些力气,来思考考试。
很多老师也会讲解考试的办法。
但是,老师给你的办法,不能很好地提高你对考试的掌控感,你要找到自己的一套明确的考试办法,才能最有效地提高你的掌控感。
有了这种掌控感,你不会再觉得,在如此关键性的考试面前,你是一只被检验、被考察甚至被宰割的绵羊。
2、其次,试着从考官的角度思考问题。
考官,是掌控考试的;考生,是被考试考验的。
如果你只把自己当成一个考生,你难免会惶惶不安,因为你觉得自己完全是个被摆布者。
如果从考官的角度去看考试,你就成了一名主动的参与者。
具体的做法就是,面对那些知识点,你想像你是一名考官,并考虑,你该用什么形式来考这个知识点。
高考前两个半月,我用这个办法梳理了一下所有课程,最后起到了匪夷所思的效果,令我在短短两个半月,从全班第19名升到了全班第一名。
当然,这有一个前提——考试范围内的知识点,我基本已完全掌握。
3、再次,适当思考一下考试后的事。
如觉得未来不可预测,我们必会焦虑。
那么,对未来做好预测,这种焦虑就会锐减。
这时要明白一点:考试是很重要,但只是人生的一个重要瞬间,所谓胜败也只是这一瞬间的胜败,它的确会带给我们很多,但它远不能决定我们一生的成败。