线性变换的幂零性

线性变换的幂零性
张素梅 1 ,张广慧 2
（1. 邯郸学院 数学系，河北 邯郸 056005；2. 廊坊职业技术学院，河北 廊坊 053000）
———————————————————————————————————————————— 摘 要：幂零的线性变换是一类较为特殊的线性变换．本文介绍了幂零的线性变换一些性质、线性变换的幂零性与矩 阵的幂零性关系以及幂零矩阵的一个应用.
关键词：线性变换；幂零性；向量空间；矩阵
中图分类号：O151.2
收稿日期：2006-11-10
文献标识码：A 文章编号：1673-2030(2007)03-0030-04
作者简介：张素梅（1966—），女，河北省肥乡人，邯郸学院数学系副教授，理学硕士. ———————————————————————————————————————————— 1 幂零线性变换
定义 1[1]309 设V 是数域
F 上的向量空间, σ 是V 的线性变换, 如果存在正整数 m , 使σ m = 0 即对任意ξ ∈V , 有σ m (ξ ) = 0 , 则称σ 为幂零线性变换．
设
A 是数域 F 上的 n 阶矩阵，如果存在正整数 m , 使 A m = 0 , 则称 A 为幂零矩阵． 定义 2[2]300 定义 3[2]300 若σ 是幂零线性变换，t 是非空正整数集合{m ∈ Z + σ m = 0} 中的最小正整数，则称 t 幂零线 0 0 性变换σ 幂零指数．
定理 1 设V 是数域 F 上的 n 维向量空间, σ 是V 的线性变换, 若σ 是幂零变换, 则σ 在某一基下的矩阵
证明：由于
σ 是幂零变换, 即存在正整数 m , 使对任意ξ ∈V , 有σ m (ξ ) = 0 ． 设α1 , α 2 , …, α n 是V 的一个基, σ 关于α1 , α 2 , …, α n 的矩阵是
A ． σ (α1 , α2 ,…, αn ) = (α1 , α2 ,…,
αn ) A 即 m m σ (α1 , α2 ,…, αn ) = (α1 , α2 ,…, αn ) A = (0, 0, …, 0)
所以有 m 由于α1 , α 2 , …, α n 是基，所以
A = 0 ．因此, A 是幂零矩阵． 2 幂零线性变换的性质 性质 1 设 σ ∈ L (V ) , ξ ∈V , 并且 ξ , σ (ξ ) , … , σ k −1 (ξ ) 都不等于零 , 但 σ k (ξ ) = 0 . 则 ξ , σ (ξ ) ,…, σ k −1 (ξ ) 线性无关.
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证明：设 a 0 , a 1 ,…, a k −1 ∈ F , 使
a ξ + a σ (ξ ) + a σ 2 (ξ ) + … + a σ k −1 (ξ ) = 0 ① 0 1
2 k −1 将①分别用σ k −1 , σ k −2 ,…, σ 去作用
σ k −1 [ a ξ + a σ (ξ ) + a σ 2 (ξ ) + … + a σ k −1 (ξ ) ]=0，
0 1 2 k −1 a σ k −1 (ξ ) =0. 得
0 因为σ k −1 (ξ ) ≠ 0 , 所以 a = 0 .
0 同理可得： a 1 = a 2 = … = a k −1 = 0 .
故ξ , σ (ξ ) ,…, σ k −1 (ξ ) 线性无关．
设 n 维向量空间V 有线性变换σ 及向量ξ ，满足σ n −1 (ξ ) ≠ 0 ，σ n (ξ ) = 0 ．求证：σ 关于V 的
推论[3]253 某个基的矩阵是 ⎛ 0 0 0 1 ... 0 ... ... ... ... 0
0 … 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 0 ⎟ A = ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ ⎜… ⎟ …⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 ⎠
证明：根据性质 1，ξ , σ (ξ ) ,…, σ n −1 (ξ ) 线性无关，所以它们组成V 的一个基．
σ (ξ ) = 0ξ + σ (ξ ) + 0σ 2 (ξ ) + … + 0σ n −1 (ξ ) ，
σ (σ (ξ )) = 0ξ + 0σ (ξ ) + σ 2 (ξ ) + … + 0σ n −1 (ξ ) ，
………………………………………………
σ (σ n −2 (ξ )) = 0ξ + 0σ (ξ ) + 0σ 2 (ξ ) + … + σ n −1 (ξ ) ，
σ (σ n −1 (ξ )) = 0ξ + 0σ (ξ ) + 0σ 2 (ξ ) + … + 0σ n −1 (ξ ) ．
故σ 关于V 的某个基的矩阵是 A ．
性质 2 σ 是 n 维向量空间V 的幂零线性变换当且仅当它的特征多项式的根都是零．
证明：必要性, 设 λ 是幂零变换σ 的特征值, ξ 是属于特征值 λ 的一个特征向量, 则
σ (ξ ) = λξ
σ 2 (ξ ) = σ (λξ ) = λ σ (ξ ) = λ2ξ
σ 3 (ξ ) = σ (λ2ξ ) = λ2 σ (ξ ) = λ3ξ
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……………………………
σ m (ξ ) = σ (λm −1ξ ) = λm σ (ξ ) = λm ξ =0
由于ξ ≠ 0 , 所以 λm =0, 即 λ =0.
若σ 关于V 的某个基的矩阵是 A ,那么 A 的特征值全部为 0, 所以, F 上存在可逆矩阵T , 充分性, 使得
⎛ 0 * 0 … 0 … … … … * ⎞ ⎜ ⎟ T −1 AT = ⎜ 0 * ⎟ …⎟ （上三角矩阵） ⎜… ⎜ 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
n
⎛ 0 * 0 … 0 … … … … * ⎞ ⎜ ⎟ T −1 A n T = ⎜ 0 * ⎟ …⎟ 故 =0 ⎜… ⎜ 0
0 ⎟ ⎝ ⎠ n ⎛ 0 * 0 … 0 … … … … * ⎞ ⎜ ⎟ A n = T ⎜ 0 * ⎟ …⎟ T −1 =0 所以
⎜… ⎜ 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ 因此σ n = 0 ，即σ 是幂零变换．
性质 3 如果一个幂零变换σ 可以对角化, 那么σ 一定是零变换．
证明：设σ 在向量空间V 的某个基下的矩阵是 A , λ由题设 A 可以对角化, 0 ⎞ ⎟ 即存在 F 上的可逆矩阵T , 使得
⎜ λ2 T −1 AT = ⎜ ⎟ = B ⎜ ⎟ fi ⎜ ⎟ λn ⎠
⎝ 0 矩阵 B 是σ 在一组新基下对应的矩阵, 并由性质 2 知, λ1 = λ2 =…= λn =0. 即矩阵 B 是零矩阵, 故σ 是零变换．
若σ 是 n 维向量空间V 的幂零线性变换, 则σ 的特征多项式为
x m 性质 4[2]301 证明：因为σ 是幂零线性变换，故存在正整数 m , 使
σ m = 0 于是 x m 为σ 的一个化零多项式，从而σ 的特征值全为零，又 x m 是首一多项式，故 x m 为σ 的特征多项
性质 5[2]301 若
σ 是 n 维向量空间V 的幂零线性变换, 且σ 的幂零指数为 t , 则 t ≤ n , 且σ 的最小多项0 0 为 x t
0 ． 证明：设 m ( x ) 是
σ 的最小多项式，则 m ( x ) x n ，所以 m ( x ) = x t 0 由定义 3 可知， x t 0 为σ 的最小多项式． (t ≤ n ) ． 0
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3 幂零矩阵的性质及应用
性质 6 设 A 是一个 n 阶矩阵 , 并且存在一个 正整数 m , (I − A ) −1 = I + A + … + A m −1 ．
使得 A m = 0 , 则 I − A 可逆 , 并且 证明： ∵ (I − A ) (I + A + … + A m −1 ) = I − A m = I ,
∴ (I − A ) −1 = I + A + … + A m −1 ．从而 I − A 可逆．
⎛ 1 − 1 1 0 0 0
2 − 1 1 0 0 −
3 2 − 1 1 0
故 4 ⎞ ⎜ ⎜ 0 ⎟ − 3⎟ ⎜ ⎟ 例 求矩阵 ⎜ 0 ⎜ 0 2 ⎟ 的逆矩阵． − 1⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ 0 1 解：设所给矩阵为 I − A , ⎛ 0 1 0 0 0 0 −2 1 0 0 0 3 −2 1 0 0 4 ⎞ ⎜ 0 3 ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 −2 ⎟ ⎜ 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎝ ⎠
而 A 5 = 0 , 所以由性质 6, 知
⎛ 1 1 1 0 0 0 − 1 1 1 0 0 0 −
1 1 1 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ (I − A ) −1 = I + A + A
2 + A
3 + A
4 = ⎜ 0 − 1⎟ . ⎜ ⎜ 0 ⎟ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝
0 1 ⎠ 参考文献：
[1]张禾瑞，郝鈵新. 高等代数：第 4 版[M]. 北京：高等教育出版社，1999.
[2]陆少华，沈灏. 大学代数[M]. 上海：上海交通大学出版社，2001.
[3]刘云英，高等代数习作课讲义[M]. 北京：北京师范大学出版社，1987.
The Nilpotent Properties of Linear Transformation
ZHANG Su-mei 1, ZHANG Guang-hui 2
(1. Department of Mathematics, Handan College, Handan 056005, Hebei, China; 2. Langfang Polytechnic, Langfang 053000, Hebei, China) Abstract: Comparatively speaking, among the linear transformations the nilpotent one is special. This paper introduces some of the qualities of the nilpotent linear transformation, it ’s relationship with matrix nilpotenty and an applied sample of matrix nilpotenty.
Key Words: Linear Transformation ；Nilpotency ；V ector Space ；Matrix
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