高二数学空间向量的应用苏教版(理)知识精讲

高二数学空间向量的应用苏教版（理）
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
空间向量的应用
二. 本周教学目标：
1、理解直线的方向向量与平面的法向量
2、会用代定系数法求平面的法向量．
3、能用向量语言表述线线、线面、面面平行和垂直的关系
4、能用向量的方法证明空间线面位置关系的一些定理
5、能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．
［知识要点］
一、直线的方向向量与平面的法向量 1、直线的方向向量
我们把直线l 上的向量e 以及与e 共线的向量叫做直线l 的方向向量． 2、法向量
如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称n 向量垂直于平面α，记作n α⊥，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量．
二、空间线面关系的判定
证明两平面平行或垂直：||||,n n n n αβαβαβαβ⇔
⊥⇔⊥
证明直线与平面垂直，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线；证明平面与平面垂直，可转化为证明这两个平面的法向量互相垂直．
三、空间角的计算
1、要求斜线与平面所成的角，可先求斜线与该平面的法向量所成的角，再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角（锐角）互余或和斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余”求出斜线与平面所成的角；求平面与平面所成的二面角，即求两平面的法向量所夹的角（它与面面夹角相等或互补）．
2、求二面角的大小：二面角βα-- ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，
θ>=<n n 21,，则二面角βα-- 的大小为θ或θπ
-．
【典型例题】
例1. 在正方体1111ABCD A B C D -中，求证：1DB 是平面1ACD 的法向量，并求面1ACD
的一个法向量．
证：不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示，则各点坐标为： A （1，0，0），C （0，1，0）1D （0，0，1）1B （1，1，1） 1DB ＝（1，1，1） ，AC ＝（－1，1，0）
，1(1,0,1)AD =- ∴1DB ⨯AC ＝0，1DB AC ∴⊥，同理11DB AD ⊥
1DB ∴⊥平面1ACD
（2）设求面1ACD 的一个法向量a ＝（x ，y ，z ），则a ·AC ＝0，a ·1AD ＝0
AC
＝（－1，1，0），
1(1,0,1)AD =-∴⎩
⎨
⎧=⋅+⋅+⋅-=⋅+⋅+⋅-01010011z y x z y x ∴00x y x y
x z x z -==⎧⎧∴⎨⎨-==⎩⎩ 不妨取x ＝1，a ＝（1，1，1）
例2. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，F 是CD 的中点． 求证：（1）D 1F ⊥平面ADE ；（2）平面ADE F D A 平面⊥11
证明：（1）如图，所示建立空间直角坐标系D －xyz ，令AA 1＝2，则D （0，0，0）、D 1
（0，0，2）、A （2，0，0）、E （2，2，1）、F （0，1，0），
所以DA ＝（2，0，0），AE ＝（0，2，1），F D 1＝（0，1，－2），
设),,(1111z y x n =，),,(2222z y x n =分别是平面ADE 、平面A 1D 1F 的法向量．则
DA ⊥1n ，AE ⊥1n ．
⎩⎨⎧-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅==⋅∴11
1
111120020
2y z x z y AE n x DA n 取11=y ，则)2,1,0(1-=n ，同理可得：)1,2,0(2=n （1）F D n 11// ∴D 1F ⊥平面ADE
（2）=⋅21n n （0，1，－2）（0，2，1）＝0 21n n ⊥∴ ∴平面A 1D 1F ⊥平面ADE
例3. 用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理．
已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥ 求证：l α⊥．
证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ，在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g ， ∵,m n 相交，
∴向量,m n 不平行，由共面定理可知，
存在唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+， ∴l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅，又∵0,0l m l n ⋅=⋅=， ∴0l g ⋅=，∴l g ⊥，∴l g ⊥，
所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥．
例4. 如图正方体1111ABCD A B C D -中，1111111
4
B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦
解：不妨设正方体棱长为1，建立空间直角坐标系O xyz -，
则(1,1,0)B ，13(1,,1)4E ，(0,0,0)D ， 11(0,,1)4
F ， ∴11(0,,1)4BE =-，11(0,,1)4
DF =， ∴11174
BE DF ==
， 111115
00()114416BE DF ⋅=⨯+-⨯+⨯=．
1115
1516cos ,17171744
BE DF ==．
例 5. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是1,DD DB 中点，G 在棱
CD 上，1
4
CG CD =，H 是1C G 的中点．
（1）求证：1EF B C ⊥；
（2）求EF 与1C G 所成的角的余弦； （3）求FH 的长．
解：如图，以D 为原点建立直角坐标系D xyz -，
则1(1,1,1)B ，(0,1,0)C ，1(0,0,)2E ，11(,,0)22
F ，
3(0,,0)4G ，1(0,1,1)C ，71(0,,)82
H ，
（1）111
(,,)222EF =-，1(1,0,1)B C =--，
∴1111
(,,)(1,0,1)0222
EF B C ⋅=-⋅--=，
∴1EF B C ⊥．
（2）∵11(0,,1)4
C G =--，
∴111113(,,)(0,,1)22248
EF C G ⋅=-⋅--=
， 2221113||()()()2222EF =++-=，222
1117||(0)()(1)44
C G =+-+-=，
∴13
518cos(,)317EF C G =
=
， ∴EF 与1C G 51． （3）∵131(,,)282
FH =-
， ∴22213141||()()()282FH =-++=
【模拟试题】（答题时间：50分钟）
1、如图，一空间四边形ABCD 的对边AB 与CD ，AD 与BC 都互相垂直，用向量证明：AC 与
BD 也互相垂直．
2、如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是DC 的中点，取如图所示的空间直角坐标系．
（1）写出A 、B 1、E 、D 1的坐标；
（2）求AB 1与D 1E 所成的角的余弦值．
3、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：EF ⊥CD ；
（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．
4、在正方体1111D C B A ABCD -中，如图E 、F 分别是1BB ，CD 的中点， （1）求证：⊥F D 1平面ADE ；
（2）COS 1,CB EF ．
5、如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F ． （1）证明 ∥PA 平面EDB ；
（2）证明⊥PB 平面EFD ；
（3）求二面角D -PB -C 的大小．
6、如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值．
试题答案
1、证明：0,=⋅∴⊥CD AB CD AB 又CA CB AB -= ，
0)(=⋅-∴CD CA CB 即CD CA CD CB ⋅=⋅……①
0,=⋅∴⊥BC AD BC AD
又CA CD AD -= ，0)(=⋅-∴BC CA CD 即BC CA BC CD ⋅=⋅……② 由①＋②得：0=⋅+⋅BC CA CD CA 即0=⋅BD CA BD AC ⊥∴ 2、解：（1） A （2，2，0），B 1（2，0，2），E （0，1，0），D 1（0，2，2）
（2）∵→ AB 1 ＝（0，－2，2），→
ED 1 ＝（0，1，2）
∴ |→ AB 1 |＝22，|→ ED 1 |＝5，→ AB 1 ·→ ED 1 ＝0－2＋4＝2，
∴ cos 〈→ AB 1 ，→
ED 1 〉＝→ AB 1 ·→ ED 1 |→ AB 1 |·|→ ED 1 | ＝222×5 ＝1010
∴AB 1与ED 1所成的角的余弦值为
10
10
． 3、证：如图，建立空间直角坐标系A －xyz 设AB ＝2a ，BC ＝2b ，PA ＝2c 则：A （0，0，0），B （2a ，0，0），C （2a ，2b ，0）， D （0，2b ，0），P （0，0，2c ）
∵E 为AB 的中点，F 为PC 的中点 ∴E （a ，0，0），F （a ，b ，c ）
（1）∵→ EF ＝（0，b ，c ），→ AP ＝（0，0，2c ），→ AD ＝（0，2b ，0） ∴→ EF ＝12（→ AP ＋→ AD ） ∴→ EF 与→ AP 、→ AD 共面
又∵E ∉平面PAD ∴EF ∥平面PAD ． （2）∵→
CD ＝（－2a ，0，0）
∴→ CD ·→ EF ＝（－2a ，0，0）·（0，b ，c ）＝0 ∴CD ⊥EF ．
（3）若∠PDA ＝45︒，则有2b ＝2c ，即b ＝c ∴→ EF ＝（0，b ，b ）， → AP ＝（0，0，2b ）
∴ cos 〈→ EF ，→
AP 〉＝2b 22b ·2b
＝22
∴〈→ EF ，→
AP 〉＝45︒ ∵→ AP ⊥平面AC ，∴→ AP 是平面AC 的法向量
∴EF 与平面AC 所成的角为：90︒－〈→ EF ，→
AP 〉＝45︒． 4、解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，
则D （0，0，0），A （1，0，0），1D （0，0，1），
E （1，1，
21），F （0，2
1
，0），
则F D 1＝（0，
21
，－1），A D ＝（1，0，0）， AE ＝（0，1，2
1
）， 则DA F D ⋅1＝0，
AE F D ⋅1＝0， DA F D ⊥∴1，AE F D ⊥1. ⊥∴F D 1平面ADE.
（2）1B （1，1，1），C （0，1，0），故1CB ＝（1，0，1），EF ＝（－1，－
21，－2
1
）， 1CB EF ⋅∴＝－1＋0－21＝－23
，
2
341411=++=
2=，
则
2
322
32
3
-
=⋅-=
=
CB EF
150=.
5、解：如图所示建立空间直角坐标系，D 为坐标原点，设.DC a = （1）证明：连结AC ，AC 交BD 于G.连结EG. 依题意得(,0,0),(0,0,),(0,
,)22
a a A a P a E 底面ABCD 是正方形，G ∴是此正方形的中心，
故点G 的坐标为(,
,0)22a a 且(,0,),(,0,).22
a a
PA a a EG =-=- 2PA EG ∴=. 这表明EG PA ∥.
而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，PA ∴∥平面EDB ．
（2）证明：依题意得(,,0),(,,)B a a PB a a a =-．又(0,,),22
a a DE = 故02
202
2=-+=⋅a a DE PB
PB DE ∴⊥，由已知EF PB ⊥，且,EF
DE E =所以PB ⊥平面EFD.
（3）解：设点F 的坐标为000(,,),,x y z PF PB λ=则000(,,)(,,)x y z a a a a λ-=- 从而000,,(1).x a y a z a λλλ===-
所以00011
(,
,)(,(),()).2222
a a FE x y z a a a λλλ=---=---
由条件EF PB ⊥知，0=⋅PB PE 即22211()()0,22
a a a λλλ-+---=
解得 13
λ=
． ∴点F 的坐标为2(,,),333
a a a
且2(,,),(,,).366333a a a a a a FE FD =--=---
03
2332
22=+--=⋅a a a FD PB ，即PB FD ⊥
故EFD ∠是二面角C PB D --的平面角.
∵6
91892
222a a a a FD PE =+-=⋅ 且
a a a a FD a a a a PE 3
69499,6636369222222=++==++= 2
.16cos .2||||66
.63
a FE FD EFD FE FD a a ∴===3EFD π∴∠=
所以，二面角C —PB —D 的大小为
.3
π
6、分析一：利用11BD BA BC BB =++11BC BC BB =-，以及数量积的定义，可求出cos ＜11,BD B C ＞，从而得到异面直线BD 1和B 1C 所成角的余弦值．
分析二：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数（坐标）的运算，以达到证明的目的．
解：建立如图所示空间直角坐标系，使D 为坐标原点，
则B （b ，a ，0），D 1（0，0，c ），B 1（b ，a ，c ），C （0，a ，0）
11
(,,),(,0,)BD b a c BC b c ∴=--=-- 22211)(0)()(c b c c a b C B BD -=-⋅+⋅-+-=⋅∴
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11 / 11 22221122111111||,||cos ,||||(BD b a c B C b BD B C BD B C BD B C =++=+⋅== 设异面直线BD 1和B 1C 所成角为θ，则))((cos 2222222c b c b a c b +++-=θ。