七年级寒假衔接班讲义第六七讲

七年级寒假衔接班讲义
第六讲立方根
定义：如果一个数，它的立方等于 a，那么，这个数叫做 a 的立方根；即x3a x 3 a 立方根性质：正数的立方根是正数，且只有一个；零的立方根是零；负数的立
方根是负数，且只有一个.
注意：开立方和立方是互为逆运算。

a 2 a ； ( a ) 2 a ；3 a 3 a ； (3 a ) 3 a ；a a
(a 0,b 0) ；
b b
ab a b（a 0, b 0）
例 1. 计算：
2 3= ；33= ；43= ；53= ；63= ；73= ；83= ；93=
例 2. 判断下列语句是否正确？在后面的括号内，对的打“√”，错的画“×”。

（1）8 的立方根是 2 。

（）
（2）－ 0.001的立方根是－ 0.1 。

（）
（）
a 的立方根是3 a 。

（）
3
（4）64 的平方根的立方根是 2。

（）
例 3. 求下列各式的值：
（1）31（）3125
（3）3 64
（4）
3
1
0.271
272
8343
（5）216（6）-343（ 7）11 25
（8）0 64
例 4. 求下列各式中的x：
（1） 8
x 3125 0（）3
2x 4125
例 5. 已知：30157.05395. ，3
157. 1162.，3
15.7 2.504,
计算3和3
1570
0.0000157
的值。

例 6.（1）3 ( 2)3（2） (32)3（3） (3 15)6（4）(33)9
（5）3
46
（）3
6
65
（7）3(a b)3（8） (3 a b )6
例 7. （ 1）如果 3x 16 的立方根是 4，求 2x 4 的算术平方根；
（2）已知 3x 1的平方根是 4 ，求 9x19 的立方根；
（ 3） a 15 13,(b 1)31
, 求 2 a2ab28 3的值。

8
例 8. （ 1）若3 2y4与343x 互为相反数，求x
的值；y
(2) 已知3 3y1和31 2 x 为同一个正数的两个平方根，求
y 的值。

x
课堂练习：
1. 正数有个的立方根，负数有个的立方根， 0 的立方根仍旧是。

1999
的立方根是;0.008 的立方根是;7 是的2. 1
10
立方根
3
;3343
3 3
8
3.① 31② 3729③3 0.216④ 30
⑤25⑥14.2⑦ 32⑧ 5 7
(9)31⑩ 3125(11) 30.001(12)30.216
278
4.36的立方根是 ;25的立方根是 ;81的立方根是
3 8 的立方根是;
30.000512;
3911
8
5.32445200;3
3 y1
6.已知
305390 81383539 3 77735 391753，则
30000539.
， 353900
..， ..， ..
7. 若 y 3 b ，则 b是 y 的，y 是 b 的
8.若 x y 2 与 x y 1互为相反数，则 x， y。

9.已知 1550 的立方根是 11.57 ，若3x 01157.，则 x 等于（）
A.0.00155
B.1.55
C.15.5
D.0.000155
10. 下列语句中，正确的是（）
A.一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B.一个实数的立方根不是正数就是负数
C.负数没有立方根
D. 如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是-1 ，0，1
11. 若一个数的立方根与它的平方根完全相同；则这个数是（）
A.1
B.-1
C.-1 或 1
D.0
13. 下列说法中，正确的是（）
A．带根号的数是无理数B．无限小数是无理数
C．不能写成分数形式的数是无理数D．不能在数轴上表示的数是无理数14.求下列各数的立方根：
(1) 3 3
(2) 4
17
(3)5629(4)81012
827
(5) 216
(6)
0.001
(7)0.000343
(8)
2 5 6
125
.
(9)
3
343
(10)
3
37 1 (11)
3
343 512 729
(12)
3
3
64
3
8
(13)
3
19 1 (14) 3
3.43 105 (16)
3
216
27
15. 解下列方程，求 x 的值。

(1) x 1
3
8
(2)
3
2
64 x
729 0
(3) x
3
3 2
16. 若 x 3 y
0 ，计算 (xy) 2013 的值。

3
一、判断题：
1.
1
的立方根是
1
；（ ）
8
2
2. 5 没有立方根；（ ）
3. 1
的立方根是
1
；（ ）
216 6
4.
2
是
8
的立方根；（ ）
9
729
5. 负数没有平方根和立方根； （ ）
6.a 的三次方根是负数， a 必是负数；（
）
7. 立方根等于它本身的数只能是 0 或 1；（ ）
8. 如果 x 的立方根是 -2 ，那么 x=-8 ；（ ）
二、选择题：
1.下列说法正确的是（）
A.27 的立方根是3
B.27
的立方根是
3
C. 2 的立方根是8
D. 8的立644
方根是 2
2.下列说法正确的是（）
A.0.064的立方根是0.4
B.9 的平方根是3
C.16 的立方根是316
D.0.01的立方根是 0.000001
3．64的立方根是（）
A.±4
B.±2
C.2
D.-2
4．38 的平方根是（）
A.－2
B.2
C.2
D.2 5．-27 的立方根与81 的平方根之和是（）
A.0
B.6
C. 0或-6
D.-12或 6
6.下列计正确的是（）
A. 30.0125 0.5
B.3273
C.33
3
1
1
D.3
8
2
644821255
7.下列运算正确的是（）
A.313 1
B.3333
C.313 1
D.3131
8.在下列各式子中，正确的是（）
A. 3( 2)32
B.30.0640.4
C.( 2)22
D. (2)2(32)30
9.下列计算或判断：①± 3 都是 27 的立方根；②3a3 a ；③64 的立方根是2；
④ 3( 8)24，
其中正确的个数有（）
A.1 个
B.2个
C.3个
D.4个
10. 下列四种说法中共有（）个是错误的．
（ 1）负数没有立方根；（2）1的立方根与平方根都是 1；
（3）38的平方根是 2 ；(4）3812121．
822
A.1
B.2
C.3
D.4
11.若3(4k) 3k 4 ，则k=．
12.若一个数 m的立方根等于它的算术平方根，则这个数是．
13.一个正方形的边长变为原来的 m倍，则面积变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的 n 倍，则棱长变为原来的倍。

14.计算：
（1）3155
（2）3210 827
7366（3）3（）（4）（3）85
（5）3 64
-38+1（6）3 0.125 -31+3(17 )2
125100168 15.解下列方程 :
(1)8x3125 0（2）729x3781 1(3)(x 5)327
16. 若33x7 和3 3 y 4 互为相反数，求3 x y 的值。

17. 已知3x2y2x 3y 13 0 ，求3 x24xy 4 y 2的值。

七年级寒假衔接班讲义
第七讲平方根与立方根综合题
实数
1.无理数的定义无限不循环小数。

算术平方根定义如果一个非负数x的平方等于 a，即 x2a
那么这个非负数 x就叫做 a的算术平方根，记为 a ，
算术平方根为非负数a0
正数的平方根有 2 个，它们互为相反数
平方根0的平方根是 0
负数没有平方根
2. 无理数的表示定义：如果一个数的平方等于a，即 x2a，那么这个数就
叫做 a的平方根，记为a
正数的立方根是正数
立方根负数的立方根是负数
0的立方根是 0
定义：如果一个数x的立方等于 a，即 x 3a，那么这个数 x
就叫做 a的立方根，记为3a .
概念有理数和无理数统称实数
正数
有理数
分类或 0
无理数
负数
3.实数及其相关概念
绝对值、相反数、倒数的意义同有理数
实数与数轴上的点是一一对应
实数的运算法则、运算规律与有理数的运算法则
运算规律相同。

例 1. 比较a、1
、 a 的大小。

a
例 2. 已知y 1 2x2x 12, 求 x y的值.
例 3. 已知：一个正数的平方根是2a-1 与 2-a ，求 a 的平方的相反数的立方根.
例 4. 已知 2a-1 和 a-11 是一个数的平方根，求这个数．
例5. 已知 2x-1 的平方根是± 6,2x+y-1 的平方根是± 5, 求 2x-3y+11 的平方根 .
课堂练习：
1.如果 -b 是 a 的立方根，那么下列结论正确的是（）．
A.-b 也是 -a 的立方根
B.b也是 a 的立方根
C.b 也是 -a 的立方根
D. b 都是 a 的立方根
2.设 n 是大于 1的整数 , 则等式n n
2 中的n必是（）．11
A. 大于 1 的偶数
B. 大于 1 的奇数
C.2D．3
3.若 x 11x (x y)2，则 x-y的值为（）
A.-1
B.1
C.2
D.3
4.估计 10＋1 的值是（）
A.在2和3之间
B.在 3和4之间
C.在 4和 5之间
D.在 5和6之间
5.实数 a、b 在数轴上的位置如图 1 所示，那么化简 |a+b|+ (b a) 2的结果是（）
A、2b
B、2a
C、－ 2a
D、－ 2b
6.如图，数轴上表示 1, 2的对应点为 A、 B, 点 B 关于点 A 的对称点为 C,则点 C
所表示的数是（）
A. 2 -1
B.1-2
C.2- 2
D. 2-2
7.如果一个数的算术平方根是 5 ，则这个数是，它的平方根是
8.当 x0时，x 2=_________
9. 3 2 的相反数是，绝对值是
10.( 9) 2的平方根是81的平方根为________( 2)2=_______
11.x 取何值时 , 下面各式有意义？
（ 1）x x（2）3x 1 （3）x
1
3
（ 4） x2
x3
12. 计算( 2)3( 4)231)4
(4)3 (81 ．
2
13. 已知43x1y 1 0 ，其中x，y为实数，求x 3y2013的值．
14. 已知M a b2 a8 是a8 的算术平方根，N2a b4 b 3 是 b 3 的立方根
M N 的平方根。

15. 已知 a、b 满足2a 8 b 3 0 ，解关于x的方程 a 2 x b 2a 1 。

16. 若3 5 的小数部分是a，3 5 的小数部分是 b 的 a+b 的值为多少？
17. 已知 3x+16 的立方根是 4，求 2x+4 的平方根。

18.已知 x 的平方根是 2a-13 和 3a-2, 求 x 的值 .
19.已知 2a-13 和 3a-2 是 x 的平方根 , 求 x 的值
20. 已知
yx 77 x 9，求2的平方根。

（xy64）
课后作业
1.-5 的立方根是3
）5 ；（
2.8 的立方根是 2 ；（）
3.
1
的立方根是没有意义；（）216
4．1
的立方根是
1
；（）273
5．0 的立方根是 0；（）
6. 3
是
27
的立方根；（）5125
3
7. 3 是 3立方根；（）
8.a 为任意数，式子a，a2
3
）， a 都是非负数．（
9.下列说法正确的是 ( )
A ．一个数的立方根有 2 个，它们互为相反数．
B．非零数的立方根与这个数同号．
C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根．D．一个数的立方根是非负数．
10．若m 是 n 的立方根，则下列说法正确的是（）A.m 是n 的立方根 B. m 是 n 的立方根
C. m 是n 的立方根
D. n 是 m 的立方根
实数综合测试题
一、选择题：
1.下列各数中无理数有（）．
0.9 ， 3.141 ，22
，327 ，， 0， 4.217 ， 0.1010010001， 0.001 ．7
A.2 个
B.3个
C.4个
D.5个
2.63的相反数是（）．
A.63
B.63
C. 6 3
D.63
3.已知x＋10＋ y－13＝0，则 x＋y 的值是（）
A.13
B.3
C.-3
D.23
4.如果 a 是实数，则下列各式中一定有意义的是（）．
A.a2013
B.( a)2
C.a a
D.3a
5.实数 a，b 在数轴上的位置，如图所示，那么化简 a 2 a b 的结果是（）．
A.2a b
B. b
C. b
D.2a b
6. 已知3a37
8
，则 a 的值是（）．
A．7
B.-
7
C.±
7
D.-
343 888512
7.下列对 60 2 的大小估计正确的是（）．
A. 在 4～5 之间
B.在5～6之间 C ．在 6～7 之间 D ．在 7～8 之间
8.要使 2x 6 有意义，x应满足的条件是
9.若 13 是 m 的一个平方根，则 m 的另一个平方根为
10.64 的立方根与16的平方根之和是
11.若 (2a 3)2与b 2 互为相反数，则a b
12.化简根式 (53)2=
13. 满足不等式
5 x 11 的非正整数 x 共有个．
14. 若 a 、 b 都是无理数，且 a b 2 ，则 a 、 b 的值可以是（填上一组满足条件的值）．
15. 已知 a 1
b 5 0 ，则 (a
b) 2 的平方根是 _______
16. 若 102.01 10.1 ，则± 1.0201=
17. 一个正数 x 的平方根是 2a-3 与 5-a ，则 a=______
18. 一个圆它的面积是半径为 3cm 的圆的面积的 25 倍，则这个圆的半径为 ______
19. 在下列说法中① 0.09 是 0.81 的平方根；② -9 的平方根是± 3；③ ( 5) 2 的算
术平方根是 -5 ；④ 2 是一个负数；⑤ 0 的相反数和倒数都是 0；⑥ 42 ；
⑦已知 a 是实数，则 a 2 | a |；⑧全体实数和数轴上的点一一对应．正确的个数
是
20. 化简：① 2 +3
2 —5 2
② 7 (
1 - 7 )
7
③ | 3
2 |+|
3 2|-|
2 1 |
④ 3 8
( 2)2
1
4
1
0.52 3 8 ( 81)2
23 83
412 402
⑤
4
⑥
⑦
21. 解下列方程：
⑴ (2 x 15)2
7 （2） 3 2x
4 （3） 2( x 1)
3
125
4
22. 实数 a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示 : 化简 a a b
c 2 b c .
23.比较下列各组数的大小。

（1）4 与3
63（）35和43 2
24. 已知 a 是8 的整数部分，b是8 的小数部分，求( a) 3(2b) 2的值
27. 如果 A=a 2b 3a3b 为a3b的算术平方根，B=2a b 11 a 2为1 a2的立方根，求
A+B的平方根。