2019届高考数学(浙江版)一轮配套讲义：5.3正弦、余弦定理及解三角形

分析解读
1. 主要考查正弦定理和余弦定理 , 以及利用正弦、余弦定理和三角形面积公式解三角形
.
2. 高考命题仍会以三角形为载体 , 以正弦定理和余弦定理为框架综合考查三角知识
.
3. 预计 2019 年高考中 , 仍会对解三角形进行重点考查 , 复习时应引起高度重视 .
五年高考
考点一 正弦、余弦定理
1.(2017 课标全国Ⅰ文 ,11,5 分 ) △ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知
.
答案 1
19.(2014 天津 ,12,5 分 ) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c. 已知 b-c= a,2sinB=3sinC, 则 cosA
的值为
.
答案 20.(2014 广东 ,12,5 分 ) 在△ ABC中 , 角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c. 已知 bcosC+ccosB=2b, 则
)
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
答案 A
3.(2016 天津 ,3,5 分) 在△ ABC中 , 若 AB= ,BC=3, ∠ C=120° , 则 AC=( )
A.1 B.2 C.3 D.4 答案 A
4.(2013 浙江 ,16,4 分 ) 在△ ABC中 , ∠ C=90° ,M 是 BC的中点 . 若 sin ∠ BAM= , 则 sin ∠ BAC=
A. B. C.
D.
答案 A
14.(2013 天津 ,6,5 分 ) 在△ ABC中 , ∠ ABC= ,AB= ,BC=3, 则 sin ∠ BAC=( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
15.(2015 福建 ,12,4 分 ) 若锐角△ ABC的面积为 10 , 且 AB=5,AC=8,则 BC等于
.
§ 5.3 正弦、余弦定理及解三角形 考纲解读
考点
1. 正弦、余 弦定理
2. 解三角形 及其综合应 用
考纲内容
掌握正弦定理、余弦定理 , 并能解决一些简单的三角 形度量问题 .
能够运用正弦定理、 余弦定 理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的 实际问题 .
要求 掌握 掌握
2013
16,4 分 18(1) ( 文 ),7 分
圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积
S6,S 6=
.
π , 理论上能把 π 的值计算 , 其结果领先世界一千多年 .“割
答案
3.(2017 浙江 ,14,6 分 ) 已知△ ABC,AB=AC=4,BC=2点. D 为 AB延长线上一点 ,BD=2, 连接 CD,则△ BDC的面积
是
,cos ∠ BDC=
sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=
, 则 C=( )
A.
B. C. D.
答案 B 2.(2017 山东理 ,9,5 分 ) 在△ ABC中 , 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若△ ABC为锐角三角形 , 且满足
sinB(1+2cosC)=2式成立的是 (
在△ ABD和△ ADC中 , 由余弦定理知
AB2=AD2+BD2-2AD2 BDcos∠ ADB,
AC2=AD2+DC2-2AD2 DCcos∠ ADC.
2
2
2
2
2
故 AB +2AC=3AD+BD+2DC=6.
由 (1) 知 AB=2AC,所以 AC=1.
25.(2013 山东 ,17,12 分 ) 设△ ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, 且 a+c=6,b=2,cosB= .
π -C)=sinC,
(2) 由已知 ,b 2+c2-a 2= bc, 根据余弦定理 , 有
cosA=
=.
所以 sinA=
=.
由 (1) 可知 sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
所以 sinB= cosB+ sinB,
故 tanB= =4.
教师用书专用 (11 — 27) 11.(2013 湖南 ,3,5 分 ) 在锐角△ ABC中 , 角 A,B 所对的边长分别为 a,b. 若 2asinB= b, 则角 A 等于 ( )
sin ∠ BAD=
=
=.
于是 sin α=sin( ∠ BAD-∠ CAD)
=sin ∠ BADcos∠ CAD-cos∠ BADsin∠ CAD
=3-
3 =.
在△ ABC中, 由正弦定理 , 得 =
,
故 BC=
=
=3.
27.(2013 北京 ,15,13 分 ) 在△ ABC中 ,a=3,b=2 (1) 求 cosA 的值 ; (2) 求 c 的值 .
(2) 若 b2+c2-a 2= bc, 求 tanB.
解析 (1) 证明 : 根据正弦定理 , 可设 则 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.
= = =k(k>0).
代入 + = 中 , 有
+
=
, 变形可得
sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B). 在△ ABC中, 由 A+B+C=π , 有 sin(A+B)=sin( 所以 sinAsinB=sinC.
答案 7
16.(2014 江苏 ,14,5 分 ) 若△ ABC的内角满足 sinA+ sinB=2sinC, 则 cosC 的最小值是
.
答案
17.(2015 重庆 ,13,5 分 ) 在△ ABC中 ,B=120 ° ,AB= ,A 的角平分线 AD= , 则 AC=
.
答案
18.(2015 广东 ,11,5 分 ) 设△ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 a= ,sinB= ,C= , 则 b=
b=
.
答案
7.(2015 天津 ,13,5 分 ) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 已知△ ABC的面积为
3 ,b-c=2,cosA=- , 则 a 的值为
.
答案 8
8.(2014 课标Ⅰ ,16,5 分 ) 已知 a,b,c 分别为△ ABC三个内角 A,B,C 的对边 ,a=2, 且
, ∠ B=2∠ A.
解析 (1) 因为 a=3,b=2 , ∠ B=2∠A, 所以在△ ABC中, 由正弦定理得
=
.
所以
= . 故 cosA= .
(2) 由 (1) 知 cosA= , 所以 sinA= 又因为∠ B=2∠ A,
所以 cosB=2cos 2A-1= .
=.
所以 sinB=
=.
在△ ABC中,sinC=sin(A+B)
(1) 求
;
(2) 若 AD=1,DC= , 求 BD和 AC的长 .
解析 (1)S = △ ABD AB2 ADsin ∠ BAD,
S△ = ADC AC2 ADsin ∠ CAD.
因为 S△ABD=2S△ , ADC ∠BAD=∠ CAD, 所以 AB=2AC.
由正弦定理可得
= =.
(2) 因为 S△ABD∶ S△ADC=BD∶ DC,所以 BD= .
(2) 若 cos∠ BAD=- ,sin ∠ CBA= , 求 BC的长 .
解析 (1) 在△ ADC中 , 由余弦定理 , 得
cos ∠ CAD=
=
=.
(2) 设∠ BAC=α , 则 α=∠ BAD-∠ CAD.
因为 cos ∠CAD= ,cos ∠ BAD=- ,
所以 sin ∠CAD=
=
=,
C=
.
答案 π
23.(2016 江苏 ,15,14 分 ) 在△ ABC中 ,AC=6,cosB= ,C= . (1) 求 AB的长 ;
(2) 求 cos
的值 .
解析 (1) 因为 cosB= ,0<B< π , 所以 sinB=
=
=.
由正弦定理知
= , 所以 AB=
(2) 在△ ABC中 ,A+B+C=π , 所以 A=π -(B+C),
(2+b)(sinA-sinB)=(c-b)sinC,
则△ ABC面积的最大值为
.
答案
9.(2017 山东文 ,17,12 分 ) 在△ ABC中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 b=3, 2
a.
解析 本题考查向量数量积的运算及解三角形 .
因为 2 =-6,
所以 bccosA=-6, 又 S△ABC=3, 所以 bcsinA=6, 因此 tanA=-1, 又 0<A<π ,
7,5 分 18(2) ( 文 ),7 分
浙江省五年高考统计
2014
2015
2016
17,4 分 20(2),
7分
16(1),7 分
16( 文 ), 14 分
18(2),7 16,14 分
分
16(2)( 文 16(2),7
18( 文 ),
),
分
6分
7分
2017 14,3 分
11,4 分 14,3 分
.
答案
;
4.(2017 课标全国Ⅲ文 ,15,5 分 ) △ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 已知 C=60°,b=
A=
.
答案 75°
,c=3, 则
5.(2015 北京 ,12,5 分 ) 在△ ABC中 ,a=4,b=5,c=6, 则
=
答案 1 6.(2016 浙江 ,16,14 分 ) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 所对的边分别为 (1) 证明 :A=2B;
=
.
答案 2
21.(2014 福建 ,12,4 分 ) 在△ ABC中 ,A=60 ° ,AC=4,BC=2 , 则△ ABC的面积等于
.
答案 2
22.(2013 安徽 ,12,5 分 ) 设△ ABC的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c. 若 b+c=2a,3sinA=5sinB, 则角
.
答案
5.(2017 课标全国Ⅱ文 ,16,5 分 ) △ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 2bcosB=acosC+ccosA, 则
B=
.
答案 60°
6.(2016 课标全国Ⅱ ,13,5 分) △ ABC的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 若 cosA= ,cosC= ,a=1, 则
A.
B. C. D.
答案 D
12.(2013 陕西 ,7,5 分 ) 设△ ABC的内角 A,B,C 所对的边分别为
状为 (
)
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 不确定
答案 B
a,b,c, 若 bcosC+ccosB=asinA, 则△ ABC的形
13.(2013 辽宁 ,6,5 分 ) 在△ ABC中 , 内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c. 若 asinBcosC+csinBcosA= b, 且 a>b, 则∠ B=( )
=sinAcosB+cosAsinB =.
所以 c= =5. 考点二 解三角形及其综合应用
1.(2014 课标Ⅱ ,4,5 分 ) 钝角三角形 ABC的面积是 ,AB=1,BC= , 则 AC=( )
A.5 B.
C.2 D.1
答案 B 2.(2017 浙江 ,11,4 分 ) 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 到任意精度 . 祖冲之继承并发展了 “割圆术” , 将 π 的值精确到小数点后七位
(1) 求 a,c 的值 ; (2) 求 sin(A-B) 的值 . 解析 (1) 由余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 得 b2 =(a+c) 2-2ac(1+cosB),
又 b=2,a+c=6,cosB= , 所以 ac=9, 解得 a=3,c=3.
(2) 在△ ABC中 ,sinB=
=,
=
=5 .
于是 cosA=-cos(B+C)=-cos
=-cosBcos +sinB 2 sin ,
又 cosB= ,sinB= , 故 cosA=- 3 + 3 =- .
因为 0<A<π , 所以 sinA=
=.
因此 ,cos
=cosAcos +sinAsin =- 3 + 3 =
.
24.(2015 课标Ⅱ ,17,12 分 ) △ ABC中 ,D 是 BC上的点 ,AD 平分∠ BAC,△ ABD面积是△ ADC面积的 2 倍 .
=-6,S △ABC=3, 求 A 和
所以 A= .
又 b=3, 所以 c=2 . 由余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA,
得 a2=9+8-2 3 33 2 3 所以 a= .
=29,
10.(2016 四川 ,17,12 分 ) 在△ ABC中 , 角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, 且 + = . (1) 证明 :sinAsinB=sinC;
由正弦定理得 sinA=
=.
因为 a=c, 所以 A 为锐角 ,
所以 cosA=
=.
因此 sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=
.
26.(2014 湖南 ,18,12 分 ) 如图 , 在平面四边形 ABCD中 ,AD=1,CD=2,AC= . (1) 求 cos∠ CAD的值 ;