江西省景德镇市高二数学上学期期末质检试题 理 新人教A版

景德镇市2013-2014学年度上学期期末检测高 二（理科）数学
注：本卷中如出现A 、B 题，普通中学做A 题，重点中学做B 题。

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟．注意事项：
1．第Ⅰ卷的答案填在答题卷方框里，第Ⅱ卷的答案或解答过程写在答题卷指定处，写在试题卷上的无效． 2．答题前，考生务必将自己的“姓名”、“班级’’和“考号”写在答题卷上．
3．考试结束，只交答题卷． 第Ⅰ卷 (选择题共50分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1、已知集合
2{12},{log 2}
A x x
B x x =-<=<，则B A ⋂=
A ．(1,3)-
B ．(0,4)
C .(0,3)
D ．(1,4)-
2、命题“对任意x R ∈,都有2
0x ≥”的否定为 A ．对任意x R ∈,都有2
0x < B ．不存在x R ∈,都有2
0x <
C ．存在0x R ∈,使得200x ≥
D ．存在0x R ∈,使得
2
00x < 3、钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充分必要条件
D ．既非充分也非必要条件 4、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =,则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等
于
A ．23
B
．
C
．
D ．13
5、设非零向量a 、b 、c 满足||||||c b a ==， c b a =+，则向量a 、b 间的夹角为 A.150° B. 120° C. 60° D.30°
6、某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
A.168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+
7、双曲线2
21
4x y -=的顶点到其渐近线的距离等于
A ．25 B
．45
C
D 8、已知三棱柱
111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若
34AB AC ==，,AB AC ⊥,112
AA =,则球O 的半径为
A
．2 B ．
C ．13
2 D ．9、如图,21,F F 是椭圆1
4:22
1=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点,B A ,分别是1C ,2C 在
第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形,则2C
A ．2
B ．3
C ．23
D ．26
10、（A 题）已知数列
}{n a 的前n 项和为n S ，满足)(22+∈-=N n n a S n n ，则=n a
A 、221-=+n n a
B 、12+=n n a
C 、22-=n n a
D 、n
n a 2=
（B 题）已知数列
}{n a 的前n 项和为n S ，满足)(22+∈-=N n a S n n ，则=n a
A 、n n a 2=
B 、12+=n n a
C 、12+=n n a
D 、
22+=n
n a
第Ⅱ卷 (非选择题共100分)
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分. 请把答案填在答题卷上） 11、在等比数列
{}n a 中，若公比
q=4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式
n a =__________．
12、设()f x 是(,)-∞+∞上的奇函数,(3)()f x f x +=. 当01x ≤≤时有()2f x x =,
则(8.5)f = .
13、已知直线)0,0(022>>=+-b a by ax 经过圆()()4212
2
=-++y x 的圆心，则
11a b +
的最小值为 .
14、已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点,
连接,AF BF ,若
4
10,6,cos ABF 5AB AF ==∠=
,则椭圆C 的离心率e =______.
15、（A 题）已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD ＝AD ＝1，则点C 到平面PAB 的距离
d ＝__________.
（B 题）已知PD ⊥正方形ABCD 所在平面，PD ＝AD ＝1，则三棱锥P-ABC 的体积为______. 三、解答题（本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16、（本小题满分12分） 命题p ：关于x 的不等式2
240x ax ++>，对一切x R ∈恒成立；命题q ：函数
()(32)x f x a =-是增函数．若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．
17、（本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A =,32,b c
=ABC S ∆.
（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求sin B 的值. 18、（本小题满分12分）
P 为椭圆19252
2=+y x 上一点，1F 、2F 为左右焦点，若︒=∠6021PF F
求△21PF F 的面积； 求P 点的坐标． 19、（本小题满分12分） 已知椭圆C 的两个焦点分别为1(1 0)F -，、2(1 0)F ，,短轴的两个端点分别为12 B B 、
(1)若
112F B B ∆为等边三角形,求椭圆C 的方程;
(2)若椭圆C 的短轴长为2,过点2F 的直线l 与椭圆C 相交于 P Q 、两点,且F F 11⊥,求
直线l 的方程.
20、（本小题满分13分） 如图,在直三棱柱111A B C ABC -中,AC AB ⊥,2==AC AB ,41=AA ,点D 是BC 的
中点.
(1)求异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值；
(2)求平面1ADC 与1ABA
所成二面角的正弦值. 21、（本小题满分14分）注：此题选A 题考生做(1) (2)小题，选
B 题考生做(1) (2) (3)小题
如图,四棱锥S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA ⊥底面ABCD,若边BC 上存在异于
B,C 的一点P,使得PS PD ⊥.
(1)求a 的最大值;
(2)当a 取最大值时,求异面直线AP 与SD 所成角的余弦值； (3)当a 取最大值时,求点P 到平面SCD 的距离
2013—2014学年度上学期期末考试 高二数学试卷（理）参考答案
选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）www.@ks@ 1—5：CDBAB 6—9：ACCD 10：A 题：A B 题：A
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）www.@ks@
11、 1
4n - 12、 -1 13、4 14、 5
7
15、A 题：2
2
B 题：61
三、解答题（本大题共6小题，共75分）
16、解：p 为真：△=42
a -16<0 ⇒ -2<a <2
q 为真：3-2a >1 ⇒a <1 因为p 或q 为真，p 且q 为假 ∴p,q 一真一假
当p 真q 假时，⎩⎨⎧≥<<-122a a ⇒ 1≤2<a
当p 假q 真时，⎩⎨⎧<-≤≥1
22a a a 或 ⇒ 2-≤a
∴a 的取值范围为[)(]2,2,1-∞-⋃
17、解：（Ⅰ）由60A =和
ABC S ∆可得133
sin 602
bc =
, 所以6bc =， 又32,b c =
所以2,3b c ==. （Ⅱ）因为2,3b c ==,60A =,
由余弦定理222
2cos a b c bc A =+-可得
2222367a =+-=，即a =.
由正弦定理sin sin a b
A B =
可得
2
sin B =
，
所以
sin B .
18、解：∵a ＝5，b ＝3∴c ＝4 （1）设11||t PF =，22||t PF =，则1021=+t t ①
2212
221860cos 2=︒⋅-+t t t t ②，由①2－②得1221=t t
3323122160sin 212121=⨯⨯=︒⋅=
∴∆t t S PF F
（2）设P ),(y x ，由||4||22121y y c S PF F ⋅=⋅⋅=∆得 433||=y 433||=∴y 433±=⇒y ，将
433±=y 代入椭圆方程解得
4135±
=x ，)433,4135(P ∴或)433,4135(-P 或)433,4135(-P 或)
43
3,4135(--P
19、解(1)设椭圆C 的方程为22
2
21(0)x y a b a b +=>>.
根据题意知2221a b a b =⎧⎨-=⎩, 解得243a =,
21
3b = 故椭圆C 的方程为22
1
41
33x y +=. (2)容易求得椭圆C 的方程为221
2x y +=.
当直线l 的斜率不存在时,其方程为1x =,不符合题意; 当直线的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-.
由22
(1)
1
2y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得2222(21)42(1)0k x k x k +-+-=.
设
1122( ) ( )P x y Q x y ，，，,则
22121211112222
42(1) (1 ) (1 )2121k k x x x x F P x y FQ x y k k -+===+=+++，，，，，
因为F F 11⊥,所以011=∙F F ,即
21212121212(1)(1)()1(1)(1)x x y y x x x x k x x +++=++++-- 2221212(1)(1)()1k x x k x x k =+--+++
2271
021k k -==+,
解得
217k =
,
即7k =±.
故直线l
的方程为10x -=
或10x -=.
20、解:(1)以{}
1,,AA
为为单位正交基底建立空间直角坐标系xyz A -
,
则)0,0,0(A )0,0,2(B ,)0,2,0(C ,)4,0,0(1A ,)0,1,1(D ,)4,2,0(1C ∴)4,0,2(1-=B A ,)4,1,1(1--=B A
∴
10
10
318
2018,cos 11=
=
>=
<C A
∴异面直线B A 1与D C 1所成角的余弦值为1010
3
(2))0,2,0(= 是平面1ABA
的的一个法向量 设平面1ADC 的法向量为),,(z y x =,∵)0,1,1(=,)4,2,0(1=AC 由1,AC ⊥⊥
∴⎩
⎨
⎧=+=+0420
z y y x 取1=z ,得2,2=-=x y ,∴平面1ADC 的法向量为)1,2,2(-= 设平面1ADC 与1ABA
所成二面角为θ
∴
3
2
324,cos cos =⨯-=
=
><=θ, 得
35sin =
θ
∴平面1ADC 与1ABA
所成二面角的正弦值为35
21、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:
A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设P(a,x,0). (0<x<2) (1) ∵
(),,1,PS a x =--()
,2,0PD a x =--
∴由PS PD ⊥得: 2(2)0a x x --=
即:
2(2)(02) a x x x
=-<<
∴当且仅当x=1时,a有最大值为1.此时P为BC中点;
(2) 由(1)知:
(1,1,0),(0,2,1), AP SD
==-
∴cos,
2
AP SD
AP SD
AP SD
===
⨯
∴异面直线AP与SD 所成角的余弦值为5
10
(3) 设
()
1
,,
n x y z
=
是平面SCD的一个法向量,∵
(1,0,0),(0,2,1),
SD
==-
DC
∴由
11
11
00
201
02
1
x x
n DC n DC
y z y
n SD n SD z
y
==
⎧⎧
⎧⎧
⊥=
⎪⎪⎪⎪
⇒⇒-=⇒=
⎨⎨⎨⎨
⊥=
⎪⎪⎪⎪
⎩⎩=
=
⎩⎩
取
得1
(0,1,2),
n=
∴平面
SCD
的一个单位法向量
()
1
1
0,1,2
5
n
n
n
==⋅=
又
(0,1,0),
=-
CP在n 方向上的投影为
5
5
1
n
n
-
⋅
==
CP
∴点P到平面SCD的距离为。