新人教版八年级数学(上)三角形(三)——边、角关系及有关的证明汇编

知识点一、三角形三边关系
定理：三角形两边的和大于第三边。

推论：三角形两边的差小于第三边。

表达式：△ABC 中，设a ＞b ＞c
则b-c ＜a ＜b+c
a-c ＜b ＜a+c a-b ＜c ＜a+b
给出三条线段的长度，判断它们能否构成三角形。

方法（设a 、b 、c 为三边的长）
①若a+b ＞c ，a+c ＞b ，b+c ＞a 都成立，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ②若c 为最长边且a+b ＞c ，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形； ③若c 为最短边且c ＞|a-b|，则以a 、b 、c 为三边的长可构成三角形。

④已知三角形两边长为a 、b ，求第三边x 的范围：|a-b|＜x ＜a+b 。

例题讲解
例题1、已知：如图△ABC 中AG 是BC 中线，AB=5cm AC=3cm ，则△ABG 和△ACG 的周长的差为多少？△ABG 和△ACG 的面积有何关系？
A
B C
G c a b A B
C
三角形（三）——边、角关系及有关的证明
例题2、三角形的角平分线、中线、高线都是（）
A、直线
B、线段
C、射线
D、以上都不对
例题3、三角形三条高的交点一定在（）
A、三角形的内部
B、三角形的外部
C、顶点上
D、以上三种情况都有可能
例题4、直角三角形中高线的条数是（）
A、3
B、2
C、1
D、0
例题5、现有10cm的线段三条，15cm的线段一条，20cm的线段一条，将它们任意组合可以得到几种不同形状的三角形？
例题6、下列各组里的三条线段组成什么形状的三角形？
（1）3cm 4cm 6cm （2）4cm 4cm 6cm
（3）7cm 7cm 7cm （4）3cm 3cm７ｃｍ
例题7、已知△ABC中，a=6，b=14，则c边的范围是
自主练习
1、下列条件中能组成三角形的是（）
A、5cm, 7cm, 13cm
B、3cm, 5cm, 9cm
C、6cm, 9cm, 14cm
D、5cm, 6cm, 11cm
2、等腰三角形的周长为16，且边长为整数，则腰与底边分别为（）
A、5，6
B、6，4
C、7，2
D、以上三种情况都有可能
3、一个三角形两边分别为3和7，第三边为偶数，第三边长为（）
A、4，6
B、4，6，8
C、6，8
D、6，8，10
4、已知等腰三角形一边长为24cm，腰长是底边的2倍。

求这个三角形的周长。

5、三角形的两边为3cm和5cm，则第三边x的范围是
6、如果三角形的两边长分别为７和２，且它的周长为偶数，那么第三边的长为
7、长度分别为12cm，10cm，5cm，4cm的四条线段任选三条线段组成三角形的个数为（）
A、1
B、2
C、3
D、4
8、具备下列长度的各组线段中能够成三角形的是（）
A、5，9，3
B、5，7，3
C、5，2，3
D、5，8，3
9、已知一个等腰三角形的两边分别是8cm和6cm，则它的周长是______cm。

10、已知：△ABC的周长为11，AB=4，CM是△ABC的中线，△BCM的
周长比△ACM的周长大3，求BC和AC的长。

知识点二、三角形角的关系
定理：三角形三个内角的和等于180°。

推论1：直角三角形的两个锐角互余。

推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。

推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

例题精讲
例1、已知：如图02-13△ABC中，∠C=90°，∠BAC，∠ABC的平分
线AD、BE交于点O，求：∠AOB的度数。

例2．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
∠BAD=60°，则∠EDC=______．
例3．一个零件的形状如图7-2-2-6所示，按规定∠A应等于90°，∠B、∠D应分别是30°和20°，李叔叔量得∠BCD=142°，就断定这个零件不合格，你能说出道理吗？
例4．（1）如图7-2-2-7（1），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；
（2）如图7-2-2-7（2），求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
专题检测
1、直角三角形的两个锐角相等，则每一个锐角等于度。

2、△ABC中，∠A=∠B+∠C，这个三角形是三角形。

3、国旗上的五角星中，五个锐角的和等于度。

4、已知，在△ABC中与最大的内角相邻的外角是120°，则这个三角形一定是（）
A、不等边三角形
B、钝角三角形
C、等边三角形
D、等腰直角三角形
5、一个三角形有一外角是88°，这个三角形是（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、无法确定
6、已知△ABC中，∠A为锐角，则△ABC是（）
A、锐角三角形
B、直角三角形
C、钝角三角形
D、无法确定
7、已知三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形（）
A、是锐角三角形
B、是直角三角形
C、是钝角三角形
D、以上三种都有可能
8．△ABC中，若∠C-∠B=∠A，则△ABC的外角中最小的角是______（填“锐角”、“直角”或“钝角”）．
9．如图1，x=______．
(1) (2) (3)
10．如图2，△ABC中，点D在BC的延长线上，点F是AB边上一点，延长CA到E，连EF，则∠1，∠2，∠3的大小关系是_________．
11．如图3，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B=52°，∠C=78°，求∠AEB的度数．
12．如图，在△ABC中，∠A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高，H是BD、•CE的交点，求∠BHC的度数．
知识点三、与三角形有关的证明
例1.如图，已知，∠C=∠DAE，∠B=∠D，那么AB与DF平行吗？为什么？
例2.如图，△ABC中，∠1与∠A有什么关系？为什么？
例 3.如图，CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测∠BAC和∠B的大小关系,并说明理由.
例4.如图，已知P 是△ABC 内任意一点，求证：PB+PC ＜AB+AC 。

例5.已知P 是△ABC 内任意一点，试说明AB ＋BC ＋CA ＞PA ＋PB ＋PC ＞
2
1
(AB ＋BC ＋CA)的理由.
课堂练习：
1.如图，D 是△ABC 中BC 边上一点，DE ∥AC 交AB 于点E,若∠EDA=∠EAD,试说明，AD 是△ABC 的角平分线.
2.已知，如图，在ABC △中，O 是高AD 和BE 的交点，观察图形，试猜想∠C 和∠DOE 之间具有怎样的数量关系，并论证你的猜想．
3.如图，∠1=20°，∠2=25°，∠A=35°，求∠BDC的度数。

4.在△ABC中，E是AC延长线上的一点，D是BC上的一点，下面的命题正确吗？若正确，请说明理由。

⑴∠1=∠E +∠A +∠B; ⑵∠1 ＞∠A.
5.如图，已知点P在△ABC内任一点，试说明∠A与∠P的大小关系,并证明之。

6.如图，已知△ABC与△DEF是一副三角形的拼图，A,E,C,D在同一条直线上，
（1）求证：EF∥BC; (2)求∠1与∠2的度数。

提高训练
1.如图，∠ECF＝900,线段AB的端点分别在CE和CF上，BD平分∠CBA，并与∠CAB的外角平分线AG所在的直线交于一点D，
（1）∠D与∠C有怎样的数量关系？（直接写出关系及大小）
（2）点A在射线CE上运动，（不与点C重合）时，其它条件不变，（1）中结论还成立吗？
说说你的理由。

2.思考题：（1）如图1，有一块直角三角形XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的两条直角边XY、XZ分别经过点B、C．△ABC 中，∠A=30°，则∠ABC+∠ACB=_______，∠XBC+∠XCB=_______．
（2）如图2，改变直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的两条直角边XY、XZ•仍然分别经过B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX+∠ACX的大小．
(1)
(2)
3.如图1，在△ABC中，AE⊥BC于E,AD为∠BAC的平分线。

（1）∠B=500，∠C=700，求∠DAE的度数；
（2）若∠C>∠B,则∠DAE与∠C-∠B有怎样的数量关系？说明理由；
(3)若点A在AD上移动到点F,FE⊥BC于E,其它条件不变，那么∠EFD与∠C、∠B是否还有（2）中的结论？试说明理由。

（如图2）
4.如图，在△ABC中，内角∠A和外角∠CBE和∠BCF的角平分线交于点P,AP交BC于D,过B 作BG⊥AP于G.（1）若GBP=450，求证:AC⊥BC;
（2）在图上作出△PDC在PC边的高DH,并探究∠APB和∠HDC的数量关系，并说明理由。

5.已知：如图，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．。