函数性质的八大题型综合应用(学生版)-高中数学

函数性质的八大题型综合应用
题型梳理
【题型1函数的单调性的综合应用】
【题型2函数的最值问题】
【题型3函数的奇偶性的综合应用】
【题型4函数的对称性的应用】
【题型5对称性与周期性的综合应用】
【题型6类周期函数】
【题型7抽象函数的性质】
【题型8函数性质的综合应用】
命题规律
从近几年的高考情况来看，本节是高考的一个热点内容，函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大.
知识梳理
【知识点1函数的单调性与最值的求解方法】
1.求函数的单调区间
求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.
2.函数单调性的判断
(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.
(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增
异减”的原则.
(3)函数单调性的几条常用结论：
①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；
②若f(x)和g(x)均为增(或减)函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增(或减)函数；
③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，1
f(x)为减函数；
④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，1
f(x)为增函数．
3.求函数最值的三种基本方法：
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.
(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.
4.复杂函数求最值：
对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【知识点2函数的奇偶性及其应用】
1.函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等
量关系式(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.
(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个(或多个)函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函
数，如f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)÷g(x)．
对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；偶×(÷)偶=偶．
(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．
(5)常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数f(x)=m
a x+1
a x-1
(x≠0)或函数f(x)=m a x-1
a x+1
．
②函数f(x)=±(a x-a-x)．
③函数f(x)=log a x+m
x-m
=log a1+2m
x-m
或函数f(x)=log a x-m
x+m
=log a1-2m
x+m
④函数f(x)=log a(x2+1+x)或函数f(x)=log a(x2+1-x)．
2.函数奇偶性的应用
(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上
的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.【知识点3函数的周期性与对称性常用结论】
1.函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)
(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；
(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；
(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；
(4)若f(x+a)=f(1
x
)，则T=2a；
(5)若f(x+a)=f(1
x
)，则T=2a；
(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);
2.对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线x=a+b
2对称.
(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点a+b
2,0
对称.
(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点a+b
2,c 2
对称.
3.函数的的对称性与周期性的关系
(1)若函数y=f(x)有两条对称轴x=a，x=b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且T=2(b-a)；
(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，且T=2
(b-a)；
(3)若函数y=f(x)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0)(a<b)，则函数y=f(x)是周期函数，
且T=4(b-a)．
举一反三
【题型1函数的单调性的综合应用】
1(2023·广东深圳·统考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R，若对∀x∈R都有f3+x
= f1-x
，且f x 在2，+∞
上单调递减，则f1 ，f2 与f4 的大小关系是()
A.f4 <f1 <f2
B.f2 <f1 <f4
C.f1 <f2 <f4
D.f4 <f2 <f1
【变式训练】
1(2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模)定义在R上的函数f(x)满足f2-x
=f x ，且当x≥1时，f(x)单调递增，则不等式f2-x
≥f(x+1)的解集为()
A.1
2,+∞
B.0,1 2
C.-∞,-12
D.-∞,12
2(2023上·江西鹰潭·高三校考阶段练习)已知函数f x =
-x2+2ax+4,x≤1,
1
x
,x>1
是-1
2
,+∞
上的减函数，则a 的取值范围是()
A.-1,-12
B.-∞,-1
C.-1,-1
2
D.-∞,-1
3(2023·四川绵阳·统考三模)设函数f x 为x -1与x 2-2ax +a +3中较大的数，若存在x 使得
f x ≤0成立，则实数a 的取值范围为()
A.-4
3,-1 ∪1,4 B.-∞,-43
∪4,+∞ C.-∞,
1-132
∪1+132,4
D.-1,1
【题型2 函数的最值问题】
1(2023·江西九江·校考模拟预测)若0<x <6，则6x -x 2有(
)
A.最小值3
B.最大值3
C.最小值9
D.最大值9
【变式训练】
1(2023·全国·校联考三模)已知函数f x =bx -b +3 x 3在-1,1 上的最小值为-3，则实数b
的取值范围是()
A.-∞,-4
B.9,+∞
C.-4,9
D.-92,9
2(2023上·广东广州·高一校考阶段练习)定义一种运算min a ,b =a ,a ≤b
b ,
a >b
，设f x =
min 4+2x -x 2,x -t (t 为常数，且x ∈[-3,3]，则使函数f x 的最大值为4的t 的值可以是(
)
A.-2或4
B.6
C.4或6
D.-4
3(2023·广东惠州·统考一模)若函数f x 的定义域为D ，如果对D 中的任意一个x ，都有f x >
0,-x ∈D ，且f -x f x =1，则称函数f x 为“类奇函数”．若某函数g x 是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是(
)
A.若0在g x 定义域中，则g 0 =1
B.若g x max =g 4 =4，则g x min =g -4 =
1
4
C.若g x 在0,+∞ 上单调递增，则g x 在-∞,0 上单调递减
D.若g x 定义域为R ，且函数h x 也是定义域为R 的“类奇函数”，则函数G x =g x h x 也是“类奇函数”
【题型3 函数的奇偶性的综合应用】
1(2023·广东·东莞市校联考一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )=ax +1，
若f (-2)=5，则不等式f (x )>
1
2
的解集为()
A.-∞,-12 ∪0,1
6
B.-12,0 ∪0,
16
C.-∞,-12 ∪1
6,+∞ D.-12,0 ∪1
6
,+∞ 【变式训练】
1(2023·全国·模拟预测)已知函数f (x )，g (x )的定义域均为R ，f (3x +1)为奇函数，g (x +2)为偶
函数，f (x +1)+g (1-x )=2，f (0)=-1
2，则102
k =1 g (k )=(
)
A.-51
B.
5
2
C.
4152
D.
4092
2(2023·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)已知函数f x 是定义在R 上的偶函数，函数
g x 是定义在R 上的奇函数，且f x ，g x 在0,+∞ 上单调递减，则()
A.f f 2 >f f 3
B.f g 2 <f g 3
C.g g 2 >g g 3
D.g f 2 <g f 3
3(2023·江西吉安·江西省遂川中学校考一模)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1，x 2∈R
有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)-2016，且x >0时，f (x )>2016，记f (x )在[-2017，2017]上的最大值和最小值为M ，N ，则M +N 的值为()
A.2016
B.2017
C.4032
D.4034
【题型4 函数的对称性的应用】
1(2023·江西赣州·统考二模)已知函数f (x )的图像既关于点(-1,1)对称，又关于直线y =x 对称，且
当x ∈[-1,0]时，f (x )=x 2，则f 17
4 =()
A.-19
4
B.-
92
C.-72
D.-174
【变式训练】
1(2023·四川绵阳·绵阳中学校考一模)若函数y =f x 满足f a +x +f (a -x )=2b ，则说y =
f x 的图象关于点a ,b 对称，则函数f (x )=x x +1+x +1x +2+x +2x +3+...+x +2021x +2022+x +2022
x +2023
的对称中心是()
A.(-1011,2022)
B.1011,2022
C.(-1012,2023)
D.1012,2023
2(2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模)函数f x 和g x 的定义域均为R ，且y =
f 3+3x 为偶函数，y =
g x +3 +2为奇函数，对∀x ∈R ，均有f x +g x =x 2+1，则f 7 g 7 =
()
A.615
B.616
C.1176
D.2058
3(2023·甘肃张掖·高台县校考模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R，f x-1
的图象关于点(1,
0)对称，f3 =0，且对任意的x1,x2∈-∞,0
，x1≠x2，满足f x2
-f x1
x2-x1
<0，则不等式
x-1
f x+1
≥0的解集为()
A.-∞,1
∪2,+∞
B.-4,-1
∪0,1
C.-4,-1
∪1,2
D.-4,-1
∪2,+∞
【题型5对称性与周期性的综合应用】
1(2023·四川宜宾·统考一模)已知函数f x ,g x 的定义域为R,g x 的图像关于x=1对称，且g2x+2
为奇函数，g1 =1,f x =g3-x
+1，则下列说法正确的个数为()
①g(-3)=g(5)；②g(2024)=0；③f(2)+f(4)=-4；④
2024
n=1
f(n)=2024.
A.1
B.2
C.3
D.4
【变式训练】
1(2023·北京大兴·校考三模)已知函数f x 对任意x∈R都有f x+2
=-f x ，且f-x
= -f x ，当x∈-1,1
时，f x =x3.则下列结论正确的是()
A.函数y=f x 的图象关于点k,0
k∈Z
对称
B.函数y=f x 的图象关于直线x=2k k∈Z
对称
C.当x∈2,3
时，f x =x-2
3
D.函数y=f x
的最小正周期为2
2(2023·四川绵阳·绵阳校考模拟预测)已知函数f x 的定义域为R,f1 =0，且f0 ≠0,∀x,y ∈R都有f x+y
+f x-y
=2f x f y ，则下列说法正确的命题是()
①f0 =1；②∀x∈R,f-x
+f x =0；
③f x 关于点1,0
对称；④2023
i=1
f(i)=-1
A.①②
B.②③
C.①②④
D.①③④
3(2023·安徽合肥·合肥一中校考模拟预测)已知函数f x 与g(x)的定义域均为R，f(x+1)为偶函数，且f(3-x)+g(x)=1，f(x)-g(1-x)=1，则下面判断错误的是()
A.f x 的图象关于点(2,1)中心对称
B.f x 与g x 均为周期为4的周期函数
C.2022
i=1
f(i)=2022
D.
2023
i=0
g(i)=0
【题型6 类周期函数】
1(2023·安徽合肥·合肥一六八中学校考模拟预测)定义在R 上的函数f x 满足f x +1 =
1
2f x ，且当x ∈0,1 时，f x =1-2x -1 .当x ∈m ,+∞ 时，f x ≤
332
，则m 的最小值为()
A.
27
8
B.
298
C.
134
D.
154
【变式训练】
1(2023上·湖南长沙·高三校考阶段练习)定义域为R 的函数f x 满足f x +2 =2f x -1，当x
∈0,2 时，f x =x 2-x ,x ∈0,1 1x
,x ∈1,2
.若x ∈0,4 时，t 2-7t 2≤f x ≤3-t 恒成立，则实数t 的取值范
围是()
A.1,2
B.1,52
C.12,2
D.2,52
2(2022·四川内江·校联考二模)定义域为R 的函数f (x )满足f (x +2)=3f (x )，当x ∈[0,2]时，
f (x )=x 2-2x ，若x ∈[-4,-2]时，f (x )≥1183
t
-t 恒成立，则实数t 的取值范围是()
A.-∞,-1 ∪0,3
B.-∞,-3 ∪0,3
C.-1,0 ∪3,+∞
D.-3,0 ∪3,+∞
3(2023上·浙江台州·高一校联考期中)设函数f x 的定义域为R ，满足f x =2f x -2 ，且当x
∈0,2 时，f x =x 2-x ．若对任意x ∈-∞,m ，都有f x ≤3，则m 的取值范围是()
A.-∞,
52
B.-∞,
72
C.-∞,
92
D.-∞,
112
【题型7 抽象函数的性质】
1(2023·新疆乌鲁木齐·统考二模)已知f x ，g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足f x -y
=f x g y -g x f y ，且f -2 =f 1 ≠0，则下列说法正确的是(
)
A.f 0 =1
B.函数g 2x +1 的图象关于点1,0 对称
C.g 1 +g -1 =0
D.若f 1 =1，则2023
n =1 f n =1
【变式训练】
1(2023·福建宁德·福鼎市校考模拟预测)已知函数f x 及其导函数f x 的定义域均为R ，对任
意的x ,y ∈R ，恒有f x +y +f x -y =2f x f y ，则下列说法正确的个数是()
①f 0 =0；②f
x 必为奇函数；③f x +f 0 ≥0；④若f (1)=12，则2023
n =1
f (n )=12.
A.1
B.2
C.3
D.4
2(2023·河南·校联考模拟预测)已知函数f x 对任意实数x ,y 恒有f (x -y )+f (x +y )=f (2x )成
立，且当x <0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值;
(2)判断f x 的单调性，并证明;
(3)解关于x 的不等式:f x 2-(a +2)x +f (a +y )+f (a -y )>0.
3(2023上·广东东莞·高一校联考期中)已知函数f x 对任意实数x ,y 恒有f x +y =f x +
f y ，当x >0时，f x <0，且f 1 =-2.(1)判断f x 的奇偶性；
(2)判断函数单调性，求f x 在区间-3,3 上的最大值；
(3)若f x <m 2-2am +2对所有的x ∈-1,1,a ∈ -1,1 恒成立，求实数m 的取值范围.【题型8 函数性质的综合应用】
1(2023上·河北石家庄·高一校考阶段练习)已知函数f (x )=a x ，g (x )=b ⋅a -x +x ，a >0且a ≠1，若
f (1)+
g (1)=
52，f (1)-g (1)=3
2
，设h (x )=f (x )+g (x )，x ∈[-4,4]．(1)求函数h (x )的解析式并判断其奇偶性；
(2)判断函数h (x )的单调性(不需证明)，并求不等式h (2x +1)+h (2x -1)≥0的解集．【变式训练】
1(2023上·上海·高一校考期中)已知定义在全体实数上的函数f x 满足：①f x 是偶函数；②
f x 不是常值函数；③对于任何实数x 、y ，都有f x +y =f x f y -f 1-x f 1-y ．(1)求f 1 和f 0 的值；
(2)证明：对于任何实数x ，都有f x +4 =f x ；(3)若f x 还满足对0<x <1有f x >0，求f 13
+f 23 +⋯+f 2026
3 的值．2(2023下·山西运城·高二统考期末)已知f x =e x -1+e 1-x +x 2-2x +a ，
(1)证明：f x 关于x =1对称；(2)若f x 的最小值为3(i )求a ；
(ii )不等式f m e x +e -x +1 >f e x -e -x 恒成立，求m 的取值范围
3(2023下·广东·高一统考期末)已知函数y =φx 的图象关于点P a ,b 成中心对称图形的充要
条件是φa +x +φa -x =2b ．给定函数f x =x -6
x +1
及其图象的对称中心为-1,c ．(1)求c 的值；
(2)判断f x 在区间0,+∞ 上的单调性并用定义法证明；
(3)已知函数g x 的图象关于点1,1 对称，且当x ∈0,1 时，g x =x 2-mx +m ．若对任意x 1∈0,2 ，
总存在x 2∈1,5 ，使得g x 1 =f x 2 ，求实数m 的取值范围．直击真题
1(2023·全国·统考高考真题)若f x =x +a ln
2x -1
2x +1
为偶函数，则a =( )．
A.-1
B.0
C.
12
D.1
2(2021·全国·统考高考真题)已知函数f x 的定义域为R ，f x +2 为偶函数，f 2x +1 为奇函
数，则() A.f -
1
2
=0 B.f -1 =0
C.f 2 =0
D.f 4 =0
3(2022·全国·统考高考真题)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)
=1，则22
k =1
f (k )=(
)A.-3
B.-2
C.0
D.1
4(2021·全国·高考真题)设f x 是定义域为R 的奇函数，且f 1+x =f -x .若f -
13 =1
3
，则f 5
3
=()
A.-
53
B.-13
C.
13
D.
53
5(2022·天津·统考高考真题)函数f x =
x 2
-1
x
的图像为(
)
A. B.
C. D.
6(2022·全国·统考高考真题)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R ，且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-
f (x -4)=7．若y =
g (x )的图像关于直线x =2对称，g (2)=4，则22
k =1
f k = (
)
A.-21
B.-22
C.-23
D.-24
7(2021·全国·统考高考真题)设函数f x 的定义域为R ，f x +1 为奇函数，f x +2 为偶函数，
当x ∈1,2 时，f (x )=ax 2+b ．若f 0 +f 3 =6，则f 9
2
=()
A.-94
B.-32
C.
74
D.
52
8(2020·全国·统考高考真题)已知函数f (x )=sin x +
1sin x
，则()
A.f (x )的最小值为2
B.f (x )的图象关于y 轴对称
C.f (x )的图象关于直线x =π对称
D.f (x )的图象关于直线x =
π
2
对称9(2020·山东·统考高考真题)若定义在R 的奇函数f (x )在(-∞,0)单调递减，且f (2)=0，则满足
xf (x -1)≥0的x 的取值范围是()
A.[-1,1]∪[3,+∞)
B.[-3,-1]∪[0,1]
C.[-1,0]∪[1,+∞)
D.[-1,0]∪[1,3]。