2021-2022年高三数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形第三节 简单的三角恒等变换练习

2021-2022年高三数学一轮复习第四章三角函数、解三角形第三节简单
的三角恒等变换练习
一、选择题(6×5分＝30分)
1．(xx·淮南模拟)已知sin2α＝－24
25
，α∈(－
π
4
，0)，则sinα＋cosα等
于( )
A．－1
5B.
1
5
C．－7
5D.
7
5
解析：(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝1－24
25
＝
1
25
.
又α∈(－π
4
，0)，∴sinα＋cosα>0.
∴sinα＋cosα＝1
5
.
答案：B
2．函数f(x)＝sin4x＋2sin x cos x＋cos4x的最小值是( )
A.3
2
B.
1
2
C．－1
2D．－
3
2
解析：f(x)＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2x cos2x＋2sin x cos x
＝－2sin2x cos2x＋2sin x cos x＋1
＝－1
2
(sin2x)2＋sin2x ＋1
＝－1
2
(sin2x－1)2＋
3
2
，
∴当sin2x＝－1时，f(x)min＝－1 2 .
答案：C
3．已知角α在第一象限且cosα＝3
5
，则
1＋2cos2α－
π
4
sinα＋
π
2
等于( )
A.2
5
B.
7
5
C.14
5
D．－
2
5
解析：原式＝1＋2cos2αcos
π
4
＋sin2αsin
π
4
cosα
＝1＋cos2α＋sin2α
cosα
＝
2cos2α＋2sinαcosα
cosα
＝2×(cosα＋sinα)＝2×(3
5
＋
4
5
)＝
14
5
.
答案：C
4.sin180°＋2α
1＋cos2α
·
cos2α
cos90°＋α
等于( )
A．－sinαB．－cosαC．sinαD．cos α
解析：原式＝
－sin2α·cos2α1＋cos2α·－sinα
＝2sinα·cosα·cos2α
2cos2α·sinα
＝cosα.
答案：D
5．已知tanα和tan(π
4
－α)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a、b、c
的关系是( )
A．b＝a＋c B．2b＝a＋c C．c＝b＋a D．c＝ab
解析：错误!
∴tan π
4
＝tan[(
π
4
－α)＋α]＝
－
b
a
1－
c
a
＝1，
∴－b
a
＝1－
c
a
，∴－b＝a－c，∴c＝a＋b.
答案：C
6．(xx·东城模拟)已知5sin2α＝sin2°，则tanα＋1°
tanα－1°
的值是( )
A．－2 B．－3
2
C.3
2
D．2
解析：由5sin2α＝sin2°得
5sin[(α＋1°)＋(α－1°)]＝sin[(1°＋α)＋(1°－α)]，
整理得2sin(α＋1°)cos(α－1°)＝－3cos(α＋1°)·sin(α－1°)，
所以sinα＋1°·cosα－1°
cosα＋1°·sinα－1°
＝－
3
2
，
即tanα＋1°
tanα－1°
＝－
3
2
.
答案：B
二、填空题(3×5分＝15分)
7．若锐角α、β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，则α＋β＝________.解析：由(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，
可得tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
＝3，即tan(α＋β)＝ 3.
又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3 .
答案：π3
8.3－sin60°
2－cos215°
＝________.
解析：3－sin60°2－cos 2
15°＝3－
322－1＋cos30°2＝6－3
3－3
2＝2. 答案：2
9．(xx·郑州检测)若
1＋tan α1－tan α＝2 010，则1
cos2α
＋tan2α＝________.
解析：∵
1＋tan α
1－tan α
＝2 010，
∴1cos2α＋tan2α＝1cos2α＋sin2αcos2α ＝sin α＋cos α2cos 2α－sin 2α
＝sin α＋cos αcos α－sin α ＝tan α＋11－tan α＝2 010. 答案：2 010
三、解答题(共37分)
10．(12分)已知sin x 2－2cos x
2＝0.
(1)求tan x 的值；
(2)求
cos2x 2cos
π4
＋x
·sin x
的值．
解析：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，得tan x
2
＝2，
∴tan x ＝
2tan
x 2
1－tan 2
x 2
＝
2×21－22＝－4
3
. (2)原式＝
cos 2x －sin 2x 2
22cos x －2
2
sin x sin x
＝
cos x －sin x cos x ＋sin x cos x －sin x sin x
＝
cos x ＋sin x
sin x
＝1＋1tan x ＝1＋(－34)＝1
4
.
11．(12分)已知sin
α2
－cos
α2
＝
105，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝1
2
，求tan(α－2β)的值．
解析：∵sin
α2
－cos
α2
＝
105，∴1－sin α＝25
， ∴sin α＝3
5
，
又∵α∈(
π
2，π)，∴cos α＝－45，从而tan α＝－3
4
， ∵tan(π－β)＝－tan β＝12，∴tan β＝－1
2
，
∴tan2β＝2×－
2
1－－
1
2
2
＝－
4
3
.
∴tan(α－2β)＝
－
3
4
－－
4
3
1＋－
3
4
－
4
3
＝
7
24
.
12．(13分)在△ABC中，A，B，C为它的三个内角，设向量p＝(cos B
2，sin
B
2
)，
q＝(cos B
2
，－sin
B
2
)，且p与q的夹角为
π
3
.
(1)求角B的大小；
(2)已知tan C＝
3
2
，求
sin2A·cos A－sin A
sin2A·cos2A
的值．
解析：(1)由题设得：|p|＝1，|q|＝1，
由|p||q|cos π
3
＝cos2
B
2
－sin2
B
2
得：cos B＝
1
2
.
又0<B<π，所以B＝π3 .
(2)由(1)知：A＋C＝2π3
，
有
tan A＋tan C
1－tan A·tan C
＝tan(A＋C)＝－3，
解得tan A＝3 3.
∵0<A<π，∴cos A＝
27
.
∴sin2A·cos A－sin A
sin2A·cos2A
＝
2cos2A－1
2cos A·cos2A
＝
1
2cos A
＝7.{aJ27664 6C10 氐21329 5351 卑\27580 6BBC 殼E40444
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