2022届高考物理知识点总结复习：带电粒子在匀强磁场及在复合场中的运动(鲁科版)

高考物理知识点总结复习：带电粒子在匀强磁场及在复合场中的运动知识要点：
1、带电体在复合场中运动的基本分析:
这里所讲的复合场指电场、磁场和重力场并存, 或其中某两场并存, 或分区域存在, 带电体连续运动时, 一般须同时考虑电场力、洛仑兹力和重力的作用。

在不计粒子所受的重力的情况下，带电粒子只受电场和洛仑兹力的作用，粒子所受的合外力就是这两种力的合力，其运动加速度遵从牛顿第二定律。

在相互垂直的匀强电场与匀强磁场构成的复合场中，如果粒子所受的电场力与洛仑兹力平衡，粒子将做匀速直线运动；如果所受的电场力与洛仑兹力不平衡，粒子将做一般曲线运动，而不可能做匀速圆周运动，也不可能做与抛体运动类似的运动。

在相互垂直的点电荷产生的平面电场与匀强磁场垂直的复合场中，带电粒子有可能绕场电荷做匀速圆周运动。

无论带电粒子在复合场中如何运动，由于只有电场力对带电粒子做功，带电粒子的电势能与动能的总和是守恒的，用公式表示为
2、质量较大的带电微粒在复合场中的运动
这里我们只研究垂直射入磁场的带电微粒在垂直磁场的平面内的运动，并分几种情况进行讨论。

（1）只受重力和洛仑兹力：此种情况下，要使微粒在垂直磁场的平面内运动，磁场方向必须是水平的。

微粒所受的合外力就是重力与
洛仑兹力的合力。

在此合力作用下，微粒不可能再做匀速圆周运动，也不可能做与抛体运动类似的运动。

在合外力不等于零的情况下微粒将做一般曲线运动，其运动加速度遵从牛顿第二定律；在合外力等于零的情况下，微粒将做匀速直线运动。

无论微粒在垂直匀强磁场的平面内如何运动，由于洛仑兹力不做功，只有重力做功，因此微粒的机械能守恒，即
mgh mv mgh mv a a b b +=+1212
22 （2）微粒受有重力、电场力和洛仑兹力：此种情况下。

要使微粒在垂直磁场的平面内运动，匀强磁场若沿水平方向，则所加的匀强电场必须与磁场方向垂直。

在上述复合场中，带电微粒受重力、电场力和洛仑兹力。

这三种力的矢量和即是微粒所受的合外力，其运动加速度遵从牛顿第二定律。

如果微粒所受的重力与电场力相抵消，微粒相当于只受洛仑兹力，微粒将以洛仑兹力为向心力，以射入时的速率做匀速圆周运动。

若重力与电场力不相抵，微粒不可能再做匀速圆周运动，也不可能做与抛体运动类似的运动，而只能做一般曲线运动。

如果微粒所受的合外力为零，即所受的三种力平衡，微粒将做匀速直线运动。

无论微粒在复合场中如何运动，洛仑兹力对微粒不做功。

若只有重力对微粒做功，则微粒的机械能守恒；若只有电场力对微粒做功，则微粒的电势能和动能的总和守恒；若重力和电场力都对微粒做功，则微粒的电势能与机械能的总和守恒，用公式表示为：
qU mgh mv qU mgh mv a a a b b b ++=++1212
22
在上述复合场中，除重力外，如果微粒还受垂直磁场方向的其他机械力，微粒仍能沿着与磁场垂直的平面运动。

在这种情况下，应用动能定理及能的转化和守恒定律来研究微粒的运动具有普遍的意义。

只有当带电微粒在垂直磁场的平面内做匀变速直线运动时，才能应用牛顿第二定律和运动学公式来研究微粒的运动，这是一种极特殊的情况。

为了防止研究的失误，我们特别提请注意的是：
（1）牛顿第二定律所阐明的合力产生加速度的观点仍是我们计算微粒加速度的依据。

这里所说的合力是微粒所受的机械力、电场力和洛仑兹力的矢量和。

尤其注意计算合力时不要排除洛仑兹力。

（2）由于洛仑兹力永不做功，在应用动能定理时，合外力对微粒所做的功（或外力对微粒做的总功），只包括机械力的功和电场力的功。

（3）在应用能的转换和守恒定律时，分析参与转化的能量形式时，不仅要考虑机械能和内能，还要考虑电势能。

此种情况下，弄清能量的转化过程是正确运用能的转化和守恒定律的关键。

3、解决与力学知识相联系的带电体综合问题的基本思路:
正确的受力分析是前提: 除重力、弹力外, 要特别注意对电场力和磁场力的分析。

正确分析物体的运动状态是解决问题的关键: 找出物体的速度、位置及其变化的特点, 分析运动过程, 如果出现临界状态, 要分析临界状态。

恰当地灵活地运用动力学的三个基本方法解决问题是目的: 牛顿运动定律是物体受力与运动状态的瞬时对应关系, 而运动学公式只适用于匀变速直线运动; 用动量的观点分析, 包括
动量定理与动量守恒定律; 用能量的观点分析, 包括动能定理与能量守恒定律; 针对不同问题灵活地选用三大方法, 注意弄清各种规律的成立条件和适用范围。

4、带电粒子垂直射入E 和B 正交的叠加场——速度选择器原理(如图) 粒子受力特点——电场力F 与洛仑兹力f
方向相反
粒子匀速通过速度选择器的条件——带
电粒子从小孔S 1水平射入, 匀速通过叠加场,
并从小孔S 2水平射出, 从不同角度看有三种等效条件: 从力的角度
——电场力与洛仑兹力平衡, 即qE = Bqv 0; 从速度角度——v 0的大小等于E 与B 的比值, 即v E B 0=; 从功的角度——电场力对粒子不做功, 即W qEd F ==0;
使粒子匀速通过选择器的两种途径:
当v 0一定时——调节E 和B 的大小; 当E 和B
一定时——调节加速电压U 的大小; 根据匀速运
动的条件和功能关系, 有qU mv m E B ==⎛⎝ ⎫⎭⎪1212022, 所
以, 加速电压应为
U q m E B =⎛⎝ ⎫⎭⎪122。

如何保证F 和f 的方向始终相反——将v 0、E 、B 三者中任意两个
量的方向同时改变, 但不能同时改变三个或者其中任意一个的方向, 否则将破坏速度选择器的功能
&]
两个重要的功能关系——当粒子进入速度选择器时速度v E B 0≠, 粒子将因侧移而不能通过选择器。

如图, 设在电场方向侧移∆d 后粒子速度为v , 当v E B
>时: 粒子向f 方向侧移, F 做负功——粒子动能减少, 电势能增加, 有1212022mv qE d mv v E B =+<∆;当时, 粒子向F 方向侧移, F 做正功——粒子动
能增加, 电势能减少, 有1212022mv qE d mv +=∆;
5、质谱仪
质谱仪主要用于分析同位素, 测定其质
量, 荷质比和含量比, 如图所示为一种常
用的质谱仪, 由离子源O 、加速电场U 、速
度选择器E 、B 1和偏转磁场B 2组成。

同位素荷质比和质量的测定: 粒子
通过加速电场, 根据功能关系, 有
122mv qU =。

粒子通过速度选择器, 根据
匀速运动的条件: v E B =。

若测出粒子在偏转磁场的轨道直径为d , 则
d R mv B q mE B B q ===222212, 所以同位素的荷质比和质量分别为
q m E B B d m B B qd E
==221212
;。

6、磁流体发电机
工作原理: 磁流体发电机由燃烧室O 、发电通道E 和偏转磁场B 组成, 如图所示。

在2500开以上的高温下, 燃料与氧化剂在燃烧室混合、燃烧后, 电离为导电的正负离子, 即等离子体, 并以每秒几百米的高速喷入
磁场, 在洛仑兹力作用下, 正、负离子分别向上、下极板偏转, 两极板因聚积正、负电荷而产生静电场, 这时, 等离子体同时受到方向相反的洛仑兹力f与电场力F的作用。

当f > F时, 离子继续偏转, 两极电势差随之增大; 当f = F时, 离子匀速穿过磁场, 两极电势差达到最大值, 即为电源电动势。

电动势的计算: 设两极板间距为d, 根据两极电势差达到最大值
的条件f = F, 即v E
B
d B
==ε/, 则磁流体发电机的电动势ε
=Bdv。

例1[2011·江苏物理卷T15] 某种加速器的理想模型如图所示：两块相距很近的平行小极板中间各开一个有一小孔a、b，两极板间电压u ab的变化图象如图所示，电压的最大值为U0、周期为T0，在两极板外有垂直纸面向里的匀强磁场．若将一质量为m0、电荷量为q的带正电的粒子从板内a孔处静止释放，经电场加速后进入磁场，在磁场中运行时间T0后恰能再次从a孔进入电场加速．现该粒子的质量增
加了1
100
m0.(粒子在两极板间的运动时间不计，两极板外无电场，不考虑粒子所受的重力)
(1)若在t＝0时将该粒子从板内a孔处静止释放，求其第二次加速后从b孔射出时的动能；
(2)现要利用一根长为L的磁屏蔽管(磁屏蔽管置于磁场中时管内无磁场，忽略其对管外磁场的影响)，使图中实线轨迹(圆心为O)上运动的粒子从a孔正下方相距L处的c孔水平射出，请在图上的相应位置处画出磁屏蔽管；
(3)若将电压u ab的频率提高为原来的2倍，该粒子应何时由板内
a 孔处静止开始加速，才能经多次加速后获得最大动能？最大动能是多少？
图14
【解析】 (1)质量为m 0的粒子在磁场中做匀速圆周运动，
qvB ＝m 0v 2
r
， T 0＝2πr v
则T 0＝2πm 0qB
当粒子的质量增加了1100m 0，其周期增加ΔT ＝1100
T 0. 则根据图可知，粒子第一次的加速电压u 1＝U 0
粒子回到电场中用时⎝
⎛⎭⎪⎫1＋1100T 0，由图可读出粒子第二次的加速电压u 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－T 0100T 04U 0＝2425U 0
射出时的动能E k2＝qu 1＋qu 2；
解得E k2＝4925
qU 0.
图15
(2)磁屏蔽管的位置如图所示．
(3)在u ab >0时，粒子被加速，则最多连续被加速的次数
N ＝T 0/4ΔT
，得N ＝25 分析可得，粒子在连续被加速的次数最多且u ＝U 0时也被加速的
情况下，最终获得的动能最大．
粒子由静止开始加速的时刻
t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋12－1100×12T 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12
n ＋1950T 0 (n ＝0,1,2，…) 最大动能E km ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＋325
＋…＋2325qU 0＋qU 0 解得E km ＝31325
qU 0. 例2[2011·福建卷T22] 如图1－11甲所示，在x ＞0的空间中存在沿y 轴负方向的匀强电场和垂直于xOy 平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E ，磁感应强度大小为B .一质量为m ，带电量为q (q ＞0)的粒子从坐标原点O 处，以初速度v 0沿x 轴正方向射入，粒子的运
动轨迹见图甲，不计粒子的重力．
(1)求该粒子运动到y ＝h 时的速度大小v ；
(2)现只改变入射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒
子虽然运动轨迹(y －x 曲线)不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y 轴方向上的运动(y －t 关系)是简谐运
动，且都有相同的周期T ＝2πm qB
. Ⅰ.求粒子在一个周期T 内，沿x 轴方向前进的距离s ；
Ⅱ.当入射粒子的初速度大小为v 0时，其y －t 图象如图丙所示，
求该粒子在y 轴方向上做简谐运动的振幅A y ，并写出y －t 的函数表达式．
图1－11
【答案】 由于洛伦兹力不做功，只有电场力做功，由动能定理有
－qEh ＝12mv 2－12
mv 2
0① 由①式解得v ＝v 2
0－2qEh m
② (2)Ⅰ.由图乙可知，所有粒子在一个周期T 内沿x 轴方向前进的距离相同，即都等于恰好沿x 轴方向匀速运动的粒子在T 时间内前进的距离．设粒子恰好沿x 轴方向匀速运动的速度大小为v 1，则
qv 1B ＝qE ③
又s ＝v 1T ④
式中T ＝2πm qB
由③④式解得s ＝2πmE qB 2⑤ Ⅱ.设粒子在y 方向上的最大位移为y m (图丙曲线的最高点处)，
对应的粒子运动速度大小为v 2(方向沿x 轴)，因为粒子在y 方向上的
运动为简谐运动，因而在y ＝0和y ＝y m 处粒子所受的合外力大小相
等，方向相反，则
qv 0B －qE ＝－(qv 2B －qE )⑥
由动能定理有－qEy m ＝12mv 22－12
mv 20⑦ 又A y ＝12
y m ⑧ 由⑥⑦⑧式解得A y ＝m qB ⎝
⎛⎭⎪⎫v 0－E B 可写出图丙曲线满足的简谐运动y －t 函数表达式为
y ＝m qB ⎝
⎛⎭⎪⎫v 0－E B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos qB m t。