十字架模型--学生版--中考数学专题训练

十字架模型
【模型讲解】
1◎结论1：正方形内部，AE⊥BF，则AE=BF,△ABE≌△BCF .
相等未必垂直
过点H作HP⊥CD与P，作I关于HP对称点Q,虽然HI=JK，但HQ≠JK
方法总结：正方形内两条互相垂直的直线与各边的交点所得的线段，那么这两条线段相等。

证明方法往往通过证明三角形全等，如果没有，则按照上图构造两个全等三角形，结合平行四边形的性质节课得出结论
1(2023春·八年级课时练习)如图，将边长为3的正方形ABCD纸片沿EF折叠，点C落在AB边上的点G处，点D 与点H重合，CG与EF交于点P，取GH的中点Q，连接PQ，则△GPQ的周长最小值是()
A.3
2+22 B.3+35
2
C.3
2
+23 D.9
2
2(2021·黑龙江牡丹江·统考中考真题)如图，正方形ABCD的边长为3，E为BC边上一点，BE=1.将正方形沿GF折叠，使点A恰好与点E重合，连接AF，EF，GE，则四边形AGEF的面积为()
A.210
B.25
C.6
D.5
3(2023春·八年级课时练习)如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落
在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长为()
A.3
2B.3 C.9
4
D.15
4
4(2023春·全国·八年级专题练习)如图，将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为()
A.12
B.13
C.14
D.15
5(2023春·八年级课时练习)如图，现有一张边长为8的正方形纸片ABCD，点E为正方形CD边上的一点(不与点A，点D重合)将正方形纸片折叠，使点A落在CD边上的G处，点B落在H处，HG交BC于P，折痕为EF，连接AP，AG.则ΔPGC的周长是．
6(2023春·全国·八年级专题练习)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上一点，BF⊥AE交DC于点F，若AB= 5，BE=2，则AF=．
7(2023春·全国·八年级专题练习)正方形ABCD中，点E、F在BC、CD上，且BE=CF，AE与BF交于点G．
(1)如图1，求证AE⊥BF；
(2)如图2，在GF上截取GM=GB，∠MAD的平分线交CD于点H，交BF于点N，连接CN，求证：AN+CN=2BN；
8(2023春·全国·八年级专题练习)如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作BG⊥AE于点H，交CD于点G．
(1)求证：AE=BG；
(2)如图2，连接AG、GE，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点，试判断四边形MNPQ的形状，并说明理由；
(3)如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A，过点A作AO⊥FR于点O，若AB'=1，正方形的边长为3，求线段OF的长．。