信号的复频域分析——拉普拉斯变换和拉普拉斯逆变换

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1.Matlab介绍.............. 错误！未定义书签。

2.利用Matlab实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计 (5)
2.1.拉普拉斯变换曲面图的绘制 (5)
2.2.拉普拉斯变化编程设计及实现 (7)
2.3.拉普拉斯逆变化编程设计及实现 (8)
3.总结 (14)
4.参考文献 (15)
1．Matlab介绍
MATLAB语言是当今国际上在科学界和教育界中最具影响力、也最具活力的软件；它起源于矩阵运算，现已发展成一种高度集成的计算机语言；它提供了强大的科学运算、灵活的程序设计流程、高质量的图形可视化与界面设计、丰富的交互式仿真集成环境，以及与其他程序和语言便捷接口的功能。

经过多年的开发运用和改进，MATLAB已成为国内外高校在科学计算、自动控制及其他领域的高级研究工具。

典型的用途包括以下几个方面：
1）数学计算；
2）新算法研究开发；
3）建模、仿真及样机开发；
4）数据分析、探索及可视化；
5）科技与工程的图形功能；
6）友好图形界面的应用程序开发。

1.1Matlab入门
Matlab7.0介绍
Matlab7.0比Matlab的老版本提供了更多更强的新功能和更全面、更方便的联机帮助信息。

当然也比以前的版本对于软件、硬件提出了更高的要求。

在国内外Matlab已经经受了多年的考验。

Matlab7.0功能强大，适用范围很广。

其可以用来线性代数里的向量、数组、矩阵运算，复数运算，高次方程求根，插值与数值微商运算，数值积分运算，常微分方程的数值积分运算、数值逼近、最优化方法等，即差不多所有科学研究与工程技术应用需要的各方面的计算，均可用Matlab来解决。

MATLAB7.0提供了丰富的库函数（称为M文件），既有常用的基本库函数，又有种类齐全、功能丰富多样的的专用工具箱Toolbox函数。

函数即是预先编制好的子程序。

在编制程序时，这些库函数都可以被直接调用。

无疑，这会大大提高编程效率。

MATLAB7.0的基本数据编程单元是不需要指定维数的复数矩阵，所以在MA TLAB环境下，数组的操作都如数的操作一样简单方便。

而且，MATLAB7.0界面友好，用户使用方便。

首先，MA TLAB具有友好的用户
界面与易学易用的帮助系统。

用户在命令窗里通过help 命令可以查询某个函数的功能及用法，命令的格式极为简单。

其次，MATLAB 程序设计语言把编辑、编译、连接、执行、调试等多个步骤融为一体，操作极为简单。

除此之外，MATLAB7.0还具有强大的图形功能，可以用来绘制多姿多彩的图形，直观而形象。

综上，在进行信号的分析与仿真时，MATLAB7.0无疑是一个强大而实用的工具。

尤其对于信号的分析起到了直观而形象的作用，非常适合与相关课题的研究与分析
2 利用Matlab 实现信号的复频域分析—拉普拉斯变化和拉普拉斯逆变换的设计
2.1 拉普拉斯变换曲面图的绘制
连续时间信号)(t f 的拉普拉斯变换定义为:
⎰+∞
-=0)()(dt e t f s F st
（6-1）
其中ωσj s +=，若以σ为横坐标（实轴），ωj 为纵坐标（虚轴），复变量s 就构成了一个复平面，称为s 平面。

显然，)(s F 是复变量s 的复函数，为了便于理解和分析)(s F 随s 的变化规律，可以将)(s F 写成：
)
()()(s j e
s F s F ϕ= （6-2）
其中，)(s F 称为复信号)(s F 的模，而)(s ϕ则为)(s F 的幅角。

从三维几何空间的角度来看，)(s F 和)(s ϕ对应着复平面上的两个平面，如果能绘出它们的三维曲面图，就可以直观地分析连续信号的拉普拉斯变换)(s F 随复变量s 的变化规律。

上述过程可以利用MATLAB 的三维绘图功能实现。

现在考虑如何利用MATLAB 来绘制s 平面的有限区域上连续信号)(t f 的拉普拉斯变换)(s F 的曲面图，现以简单的阶跃信号)(t u 为例说明实现过程。

我们知道，对于阶跃信号)()(t u t f =，其拉普拉斯变换为s
s F 1
)(=。

首先，
利用两个向量来确定绘制曲面图的s 平面的横、纵坐标的范围。

例如可定义绘制曲面图的横坐标范围向量x1和纵坐标范围向量y1分别为：
x1=-0.2:0.03:0.2; y1=-0.2:0.03:0.2;
然后再调用meshgrid()函数产生矩阵s ，并用该矩阵来表示绘制曲面图的复平面区域，对应的MATLAB 命令如下：
[x,y]=meshgrid(x1,y1); s=x+i*y;
上述命令产生的矩阵s 包含了复平面2.02.0<<-σ， 2.02.0<<-ωj 范围内以时间间隔0.03取样的所有样点。

最后再计算出信号拉普拉斯变换在复平面的这些样点上的值，即可用函数mesh()绘出其曲面图，对应命令为：
fs=abs(1./s); mesh(x,y,fs); surf(x,y,fs);
title('单位阶跃信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);
axis([-0.2,0.2,-0.2,0.2,0.2,60]); rotate3d;
执行上述命令后，绘制的单位阶跃信号拉普拉斯变换曲面图如图1所示。

2.2 拉普拉斯变化编程设计及实现
已知连续时间信号)()sin()(t u t t f =，求出该信号的拉普拉斯变换，并利用MATLAB 绘制拉普拉斯变换的曲面图。

解：该信号的拉普拉斯变换为：
11
)(2
+=s s F
利用上面介绍的方法来绘制单边正弦信号拉普拉斯变换的曲面图，实现过程如下：
绘制单边正弦信号拉普拉斯变换曲面图程序
图2 单边正弦信号拉氏变换曲面图
clf;
a=-0.5:0.08:0.5; b=-1.99:0.08:1.99; [a,b]=meshgrid(a,b);
d=ones(size(a)); c=a+i*b;
%确定绘制曲面图的复平面区域
c=c.*c; c=c+d; c=1./c; c=abs(c);
%计算拉普拉斯变换的样值 mesh(a,b,c);
%绘制曲面图
surf(a,b,c);
axis([-0.5,0.5,-2,2,0,15]);
title('单边正弦信号拉氏变换曲面图'); colormap(hsv);
上述程序运行结果如图2所示。

2.3 拉普拉斯逆变化编程设计及实现
连续信号)(t f 的拉普拉斯变换具有如下一般形式：
∑∑===
=L
i i
i
K
j j
j
s
d s c s D s C s F 1
1)
()()(
若L K ≥，则)(s F 可以分解为有理多项式与真分式之和，即
∑∑==+
=+=+=N
i i i
M
j j
j
s a s
b s P s A s B s P s R s P s F 1
1)()
()
()()()()(
其中，)(s P 是关于s 的多项式，其逆变换可直接求得（冲激信号及其各阶导数），
)(s R 为关于s 的有理真分式，即满足N M <。

以下进讨论N M <的情况。

设连续信号)(t f 的拉普拉斯变换为)(s F ，则
∏=-=
=N
i i
p s s B s A s B s F 1
)()
()
()
()(
在满足N M <情况下，有以下几种情况
（1）极点均为单重情况下，可对其直接进行部分分式展开得：
N
N
p s r p s r p s r s F -+
+-+-= 2211)(
其中，),,2,1()()(N i s F p s r i p s i i =-==称为有理函数)(s F 的留数。

则)(s F 的拉普
拉斯逆变换为：
)()(1
t u e r t f N
i t
i p i ∑==
（2）有k 重极点，设为1p ，则部分分式展开为
)
()
()()()()(111
112111s D s E p s K p s K p s K s F k k k +-++-+-=-
i K 1可用下式求得
[]1
11
1
1)()()!1(1p s k
i i i s F p s ds d i K =----= 则)(s F 的拉普拉斯逆变换为：
)
()()!()(2
11t u e r t u e t j k K t f N i t
i p i k
j t
i p j k j ∑∑==-+-= （3）有共轭极点
N N
t f p s r p s r p s r p s r s F -+
+-+-+-=
32)
(22211)(
设)(s F 有一对共轭极点βαj p ±-=2,1，则
θ
j p s e
r s F p s r 1111)()(=-==
*
12r r =
由共轭极点所决定的两项复指数信号可以合并成一项，故有
)()cos(2)(12t u t e r t f t
θβα+=-
从以上分析可以看出，只要求出)(s F 部分分式展开的系数（留数）i r ，就可直接求出)(s F 的逆变换)(t f 。

上述求解过程，可以利用MATLAB 的residue()函数来实现。

令A 和B 分别为)(s F 的分子和分母多项式构成的系数向量，则函数：
[r,p,k]=residue(B,A)
将产生三个向量r 、p 和k ，其中p 为包含)(s F 所有极点的列向量，r 为包含)(s F 部分分式展开系数i r 的列向量，k 为包含)(s F 部分分式展开的多项式的系数行向量，若N M <，则k 为空。

例：已知连续信号的拉普拉斯变换为：
s
s s s F 44
2)(3
++=
试用MATLAB 求其拉普拉斯逆变换)(t f 。

解：MATLAB 命令如下：
a=[1 0 4 0]; b=[2 4];
[r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r =
-0.5000 - 0.5000i -0.5000 + 0.5000i 1.0000 p =
0 + 2.0000i 0 - 2.0000i 0 k = []
由上述结果可以看出，)(s F 有三个极点22,1j p ±=，03=p ，为了求得共轭极点对应的信号分量，可用abs()和angle()分别求出部分分式展开系数的模和幅角，命令如下：
abs(r) ans =
0.7071 0.7071 1.0000 angle(r)/pi ans = -0.7500 0.7500 0
由上述结果可得)()]4
3
2cos(21[)(t u t t f π-+=。

例：求下式函数的逆变换
3
)
1(2
)(+-=s s s s F
解：MATLAB 程序如下：
a=[1 3 3 1 0]; b=[1 -2];
[r,p,k]=residue(b,a) 运行结果： r = 2.0000 2.0000 3.0000 -2.0000 p = -1.0000 -1.0000 -1.0000 0 k =
[]
则
s
s s s s F 2
)1(3)1(2)1(2)(32-+++++=，对应的逆变换为
)(]2)222
3[()(2
t u e t t t f t -++=-
3. 总结
通过本次综合实践让我们在学习“信号与系统”课程的同时，掌握MATLAB 的应用，对MATLAB 语言在中的推广应用起到促进作用。

从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考学会应用 MATLAB的数值计算功能，将学生从繁琐的数学运算中解脱出来，从而将便多的时间留于对信号与系统的基本分析方法和应用的理解与思考。

让我们将课程中的重点、难点及部分课后练习用 MATLAB 进行形象、直观的可视化计算机模拟与仿真实现，从而加深对信号与系统基本原理、方法及应用的理解，以培养学生主动获取知识和独立解决问题的能力，为学习后继专业课打下坚实的基础。

4. 参考文献
【1】郑君里信号与系统高等教育出版社2011.03
【2】王立宁MATLAB与通信仿真.北京高等教育出版社.2000.4 【3】刘泉数字信号处理与实现.北京：电子工业出版社.2005.6
【4】徐端MATLAB.科学计算与工程分析北京科学出版社.2008 【5】陈亚勇MATLAB信号处理详解。

人民邮电出版社.2001.09。