苏教版高考总复习一轮数学精品课件 主题一 预备知识 第二章 第一节 等式性质与不等式性质

− = − + − = − − ，又 > > ， > ，∴ > .综
上， < < .故选A.
（2）已知, ∈正实数，且 ≠ ，比较 与 的大小.
解∵ ， ∈正实数，∴ > 0， > 0，作商得,
<
< ， < ⇒_______
> ⇔+ >+
>
> ， > 0 ⇒_________；
<
> ， < 0 ⇒_________
同向
可逆
的符号
续表
性质
性质内容
注意
同向可加性
+ >+
> ， > ⇒______________
时， = ，故A错误；因为 < ， > ，所以 < ，故B正确；因为
<<

，所以

−>−>

< ，故C正确；因为 < ，所以−

−
，所以
> 训练2］（1）若，， ∈ ， > ，则下列不等式恒成立的是()


≤ ,
+ ≤ ,
+ ≤ ,
化简得ቊ
故答案为ቊ
− ≤ .
− ≤
规律技巧
区分不等关系与不等式的异同:不等关系强调的是关系，可用符号>，<，≠，≥，
≤表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用 > ， < ， ≠ ， ≥ ，
≤ 等式子表示;不等关系通过不等式表现.对于不等式的表示问题，关键是理解题意，
题型三 比较两数或式的大小
典例3（1）已知 = −2 − 2 + 3, = 4 − 3，则()
A
A. < B. =
C. > D.与的大小无法判断
[解析]因为 = − − + , = − ，所以
−=
−
+−=− −



−

< ，故 < .故选A.

> 1，此时 > .
规律技巧
比较两数（式）大小的方法
作差法
设， ∈ ，则
原 − > 0 ⇒ > ；
理 − = 0 ⇒ = ；
− <0⇒ <
步
骤
注
意
作商法
设 > 0， >

0，则


> 1 ⇒ > ； = 1


0, < 0，则 > 1 ⇔
产类店面共80间.每间蔬菜水果类店面的建造面积为28 m2 ，月租费为万元；每间肉
食水产类店面的建造面积为20 m2 ，月租费为0.8万元.全部店面的建造面积不低于总面
16
积的80%，又不能超过总面积的85%,则两类店面间数的建造方案有____种.
[解析]设蔬菜水果类和肉食水产类店面分别为,,由题意知，
2.已知 = 2， = 7 − 3， = 6 − 2，则，，的大小关系为() B
A. > > B. > > C. > > D. > >
[解析]由 − = + − ，且
− = − ，且
且
B.
+


+

1
3
二等奖人数的比值不得高于 .设获得一等奖的学生有人，获得二等奖的学生有人，
2 + ≤ 20,
ቊ
∈ ∗ , ∈ ∗
3 − ≤ 0
则,满足的不等关系为____________________________.
+ ≤ ,
[解析]由题意得ቐ

∈ ∗ , ∈ ∗ .


=



①若 > >
=

0，则



=
−
.

> 1， − > 0，
②若 > > 0，则0 <
综上， > .
⋅
−



−

< 1， − < 0，
> 1，此时 > ；
−




错误；若 < < ，则 > ，故C正确；若 < < ，则 > ，故D错误.故选C.
（2）（多选题）设 < < ，且 + + = 0，则() BC
1

1

−
−
A. < 2 B. < C. < D.
<1
[解析]因为 < < ， + + = ，所以 < < ，的符号不能确定，当 =
[解析]经过年之后，方案B的投入为 + − 万元，故经过年之后，方案B
的投入不大于方案A的投入即为 + − ≤ .故选D.
（2）某校在冬季长跑活动中，要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额
不得超过200元，已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与


∈ ，所以当 = 或 =
规律方法
（1）判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.常用的推理判断需要
利用不等式的性质.
（2）在判断一个不等式命题的真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考
虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然,判断的同时还要用
到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等.
= + > ，得 > ；由
= > ，得 > ；由 − =
= + > + =

+ −
+ ，
+ ，得 > .所以 > > ，故选
−4,2
3.已知−1 < < 4，2 < < 3，则 − 的取值范围是_______.
1

1


2 +1
A. < B.2 > 2 C.
>

D.
2 +1
C
>





，C正确；当
+
[解析]当 = ， = −时，满足 > ，但 > ， < ，排除A，B；因为

+

，由不等式性质得
+
> ， >
立，排除D，故选C.
为 < < ，所以不等式两边同时乘得， > ，不等式两边同时乘得，
> ，从而 > > ，B正确；对于C，因为 < < ，所以 > ，不等


式两边同除以得， > ，C正确；对于D，因为，




时， + 无意义，D错误.故选.
1

1

A. + < + B. < C. > D. − >
[解析]对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个
数或同一个整式，不等号方向不变，则 < ⇒ + < + ，A选项正确；对于B
选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号
>
= 时， > 不成
（2）（多选题）下列推理正确的有( BC )
A.若 > ，则2 > 2 B.若 < < 0，则2 > > 2
1

1





C.若 < < 0，则 > D.若， ∈ ，则 + ≥ 2
[解析]对于A，不妨设 = , = −，满足 > ，但 < ，A错误；对于B，因
1

1
1
解因为,为正数，所以 +


1

1
的大小.
+
+
1
> 0且

+
（2）设，为正数，比较 + 与
+

1
+
1

=
1
+

+

>
2
1
.
+
≥
2

2
=
4

=
> 0，又
= 4，当且仅当 = 时，等号成立，所以
+

1
+
≥ 4，所以
1
e
［对点训练3］（1）若0 < < < , = + e , = + e , = + e ，则
方向改变，若 = −， =

−，则

>

，B选项错误；对于C选项，由不等式的基

本性质知，不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变，因为
> ， < ,所以 < ，C选项错误；对于D选项，因为 < ⇒ − > ，
> ，所以无法判断 − 与的大小，D选项错误.故选A.



< 1 ⇒ < (若 <


< 1 ⇔ > ； = 1 ⇔ = )
⇒ = ；
< ；


作差并变形（配方、因式分 作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大
解、通分等）⇒判断差与0
小⇒得结论（若两个数都是正数，则一般用作商法，其他
的大小⇒得结论
一般用作差法）
利用通分、因式分解、配方 作商时各式的符号应相同，如果，均小于0，那么所得结
[解析]因为− < < ， < < ，所以− < − < −，所以− < − < .故
答案为 −, .
02
研考点 题型突破
题型一 用不等式表示不等关系
典例1为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理
部门规划建造总面积为2 400 m2 的新型生鲜销售市场.市场内设蔬菜水果类和肉食水
［对点训练1］（1）某公司准备对一项目进行投资，提出两个投资方案：方案为一
次性投资300万元；方案为第一年投资80万，以后每年投资20万元.下列不等式表示
“经过年之后，方案的投入不大于方案的投入”的是() D
A.80 + 20 ≥ 300B.80 + 20 ≤ 300
C.80 + 20 − 1 ≥ 300D.80 + 20 − 1 ≤ 300
>
=
<
− > 0 ⇔_______；
− = 0 ⇔_______；
− < 0 ⇔______.
二、不等式的性质
性质
性质内容
注意
对称性
<
>
> ⇔_______；
< ⇔______
可逆
传递性
可加性
可乘性
>
> ， > ⇒_______；



（2）假分数性质：

（1）真分数性质： <
>
+
；
+
+
；
+
>
<
−
−
−
−
− >0 .
− >0 .
其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜（浓度变大）；
糖水析出糖后，糖水变淡（浓度变小）.”
自测诊断
1.若，，为实数，且 < ， > 0，则下列不等关系一定成立的是() A
. × ≥ + ≥ . × ，化简得， ≤ + ≤ ，又
+ = ，所以 ≤ + − ≤ ，解得 ≤ ≤ ，所以 = ,
41,⋯,55.故两类店面间数的建造方案有16种.
() A
A. < < B. < < C. < < D. < <
[解析]∵ = + ， = + ， = + ，∴ − = ( − )，又
> > ， > ，∴ > ,∴ > ,
分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后用不等式表示.而对于涉及条件较
多的实际问题，则往往需列不等式组来解决.
题型二 利用不等式的性质判断命题真假
典例2（1）如果 < < 0，那么下面不等式一定成立的是()
A. − > 0B. <
C.2
>
1
2
D.

<
C
1

[解析]若 < < ，则 − < ，故A错误；若 < < ， < ，则 > ，故B
主题一 预备知识
第二章 二次函数、一元二次方程和不等式
第一节 等式性质与不等式性质
1
1 强基础 知识回归
2
2 研考点 题型突破
1.梳理等式的性质，理解不等式的概念.
课标解读 2.掌握不等式的性质.
3.能够利用不等式的性质解决有关问题.
01
强基础 知识回归
知识梳理
一、实数大小与运算性质之间的关系
同向
同向同正可乘性
>
> > 0， > > 0 ⇒_________
同向，同正
可乘方性
>
> > 0， ∈ ∗ ⇒_________
同正
可开方性


>
> > 0， ∈ ， ≥ 2 ⇒__________
同正
知识拓展
分数的不等式性质：若 > > 0， > 0，则