高中数学教案——平面向量数量积的坐标表示

课 题：平面向量数量积的坐标表示
教学目的：
⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ⑶能用所学知识解决有关综合问题
教学重点：平面向量数量积的坐标表示
教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a 与b ，作＝a ，＝b ，则∠A ＯB ＝θ（０≤θ≤
π）叫a 与b 的夹角.
2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是
θ，则数量|a ||b |c os θ叫a 与b 的数量积，记作a ⋅b ，即有a ⋅b = |a ||b |c os θ，
（０≤θ≤π）.并规定0 与任何向量的数量积为0
3．向量的数量积的几何意义：
数量积a ⋅b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |c os θ的乘积
4．两个向量的数量积的性质：
设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量
1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |c os θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0
3︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |
特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||
4︒c os θ =|
|||b a b a ⋅ ；5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b | 5． 平面向量数量积的运算律
交换律：a ⋅ b = b ⋅ a
数乘结合律：(λa )⋅b =λ(a ⋅b ) = a ⋅(λb )
分配律：(a + b )⋅c = a ⋅c + b ⋅c
二、讲解新课：
⒈平面两向量数量积的坐标表示
已知两个非零向量),(11y x a = ，),(22y x b = ，
试用a 和b 的坐标表示b a ⋅ 设i 是x 轴上的单位向量，j 是y 轴上的单位向量，那么
j y i x a 11+=，j y i x b 22+=
所以))((2211j y i x j y i x b a ++=⋅2211221221j y y j i y x j i y x i x x +⋅+⋅+=
又1=⋅i i ，1=⋅j j ，0=⋅=⋅i j j i
所以b a ⋅2121y y x x +=
这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
即b a ⋅2121y y x x +=
2.平面内两点间的距离公式
（1）设),(y x a = ，则222||y x a += 或
||a = （2）如果表示向量a
的有向线段的起点和终点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，那么221221)()(||y y x x a -+-= (平面内两点间的距离公式)
3.向量垂直的判定
设),(11y x a = ，),(22y x b = ，则b a ⊥
⇔02121=+y y x x
4.两向量夹角的余弦（πθ≤≤0）
c o s θ =||||b a b a ⋅⋅ 22
2221212
121y x y x y y x x +++=
三、讲解范例：
例1 设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a ⋅b
解：b a ⋅ = 5³(-6) + (-7)³(-4) = -30 + 28 = -2
例2 已知a (1, 2)，b (2, 3)，c (-2, 5)，求证：△ABC 是直角三角形 证明：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3) ∴⋅=1³(-3) + 1³3 = 0 ∴⊥
∴△ABC 是直角三角形
例3 已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x ⋅a = 9与x ⋅b = -4的向量x 解：设x = (t , s )，
由⎩⎨⎧-=+=-⇒-=⋅=⋅
429349s t s t b x a x
⎩⎨⎧-==⇒32
s t ∴x = (2, -3)
例4 已知a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１），则a 与b 的夹角是多少?
分析：为求a 与b 夹角，需先求b a ⋅及｜a ｜²｜b ｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a ＝（１，3），b ＝（3＋１，3－１）
有a ²b ＝3＋１＋3（3－１）＝４，｜a ｜＝２，｜b ｜＝２2． 记a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝22
=⋅⋅b a b a
又∵０≤θ≤π，∴θ＝4π
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC ，使∠b = 90︒，求点b 和向量AB 的坐标
解：设b 点坐标(x , y )，则OB = (x , y )，AB = (x -5, y -2) ∵⊥ ∴x (x -5) + y (y -2) = 0即：x 2 + y 2 -5x - 2y = 0
又∵|| = || ∴x 2 + y 2 = (x -5)2 + (y -2)2即：10x + 4y = 29 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧==-==⇒⎩⎨⎧=+=--+272323272941002522112
2y x y x y x y x y x 或 ∴b 点坐标)23,27(-或)2
7,23(；=)27,23(--或)23,27(- 例6 在△ABC 中，AB =(2, 3)，AC =(1, k )，且△ABC 的一个内角为直角， 求k 值解：当a = 90︒时，⋅= 0，∴2³1 +3³k = 0 ∴k =2
3- 当b = 90︒时，AB ⋅BC = 0，BC =AC -AB = (1-2, k -3) = (-1, k -3)
∴2³(-1) +3³(k -3) = 0 ∴k =3
11 当C = 90︒时，⋅= 0，∴-1 + k (k -3) = 0 ∴k =
2
133± 四、课堂练习： 1.若a =(-4,3),b =(5,6),则3|a |２－４b a ⋅＝（ ）
A .23
B .57
C .63 D.83
2.已知a (1,2),b (2,3),c (-2,5)，则△a b c 为（ ）
A .直角三角形
B .锐角三角形
C .钝角三角形 D.不等边三角形
3.已知a =(4,3),向量b 是垂直a 的单位向量，则b 等于（ ）
A .)54,53(或)53,54(
B .)54,53(或)5
4
,53(--
C .)54,53(-或)53,54(- D.)54,53(-或)5
4,53(- 4.a =(2,3),b =(-2,4),则(a +b )²(a -b )= . 5.已知a (3，2)，b (-1，-1)，若点P (x ,-2
1)在线段a b 的中垂线上，则x = . 6.已知a (1，0)，b (3，1)，c (2，0)，且a =BC ,b =CA ,则a 与b 的夹角
为 .
参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5.4
7 6.45° 五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示
六、课后作业：
1.已知a =(2,3),b =(-4,7),则a 在b 方向上的投影为（ ）
A .13 B.513 C.5
65 D.65 2.已知a =(λ，２)，b =(-3,5)且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）
A .λ＞
310 B.λ≥310 C.λ＜310 D.λ≤3
10 3.给定两个向量a =(3,4),b =(2,-1)且(a +x b )⊥(a -b ),则x 等于（ ） A .23 B.
223 C. 323 D. 4
23 4.已知|a |=10,b =(1,2)且a ∥b ,则a 的坐标为 . 5.已知a =(1,2),b (1,1),c =b -k a ,若c ⊥a ，则c ＝ .
6.已知a =(3,0),b =(k ,5)且a 与b 的夹角为4
3π，则k 的值为 . 7.已知a =(3,-1),b =(1,2),求满足条件x ²a =9与x ²b =-4的向量x .
8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y 轴上找到一点C ，使∠ABC ＝90°，
若不能，说明理由；若能，求C 点坐标.
9.四边形ABC D 中=(6,1), =(x ,y )，=(-2,-3),
(1)若BC ∥DA ，求x 与y 间的关系式；
(2)满足(1)问的同时又有AC ⊥BD ,求x ,y 的值及四边形ABC D 的面积. 参考答案：1.C 2.A 3.C 4.（2，２2）或（-2，－２2） 5.(5
1,52-) 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略) 9.(1)x +2y =0 (2)⎩
⎨⎧-==⎩⎨
⎧=-=1236y x y x 或 S 四边形ABC D =16 七、板书设计（略） 八、课后记及备用资料：
已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(x a +y b )⊥a ，且｜x a +y b ｜
=1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有x a +y b =(3x +4y ,4x +3y )
又（x a +y b ）⊥a ⇔(x a +y b )²a ＝０⇔3(3x +4y )+4(4x +3y )=0
即25x +24y ＝０ ①
又｜x a +y b ｜=1⇔｜x a +y b ｜２＝１⇔（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ②
由①②有24xy +25y ２＝１ ③
将①变形代入③可得：y =±7
5 再代回①得：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==753524753524y x y x 和。