2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第一层练悟篇 第4讲 排列、组合、二项式定理

第4讲排列、组合、二项式定理
排列、组合的应用
[题组练透]
1．安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()
A．12种B．18种
C．24种D．36种
解析：选D第一步：将4项工作分成3组，共有C24种方法．
第二步：将3组工作分配给3名志愿者，共有A33种分配方法，故共有C24·A33＝36种安排方式．故选D.
2．从1,2,3，…，10中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是()
A．72 B．70
C．66 D．64
解析：选D从1,2,3，…，10中选取三个不同的数，恰好有两个数相邻，若取出数1,2，则第三个数有C17种取法，同理，取出9,10时，有C17种取法；若取出数2,3，则第三个数有C16种取法，同理取出数3,4；4,5；5,6；6,7；7,8；8,9时，均有C16种取法，共有C12·C17＋C17·C16＝56种选法，三个数相邻共有C18＝8种选法，故至少有两个数相邻共有56
＋8＝64种选法．故选D.
3.如图，某圆形花坛被其内接三角形分成四部分，现计划在这四部分种
植花卉，如果仅有5种花卉可供选择，要求每部分种植1种花卉，并且相
邻两部分种植不同的花卉，则不同的种植方法有()
A．360种B．320种
C．108种D．96种
解析：选B如图对分成的四部分进行编号，可以分以下3种情况进
行分析：(1)总共种植2种花卉，即1部分种植1种花卉，2,3,4部分种植
同一种花卉，种植方法有C25A22＝20(种)；(2)总共种植3种花卉，即1部分
种植1种花卉，2,3部分种植同一种花卉或2,4部分种植同一种花卉或3,4部分种植同一种花卉，另外一部分种植另一种花卉，种植方法有3C35A33＝180(种)；(3)总共种植4种花卉，种
植方法有A45＝120(种)．所以不同的种植方法有20＋180＋120＝320(种)．故选B.
4．(2019·惠州模拟)《红海行动》是一部现代化海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成A，B，C，D，E，F六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求，重点任务A必须排在前三位，且任务E，F必须排在一起，则这六项任务完成顺序的不同安排方案共有() A．240种B．188种
C．156种D．120种
解析：选D因为任务A必须排在前三位，任务E，F必须排在一起，所以可把A的位置固定，E，F捆绑后分类讨论．
当A在第一位时，将E，F捆绑与B，C，D全排，排法有A44，而E，F排法有A22，故有A44A22＝48种；
当A在第二位时，第一位只能是B，C，D中的一个，E，F只能在A的后面，故有C13 A33A22＝36种；
当A在第三位时，分两种情况：①E，F在A之前，此时应有A22A33种，②E，F在A 之后，此时应有A23A22A22种，故A在第三位时有A22A33＋A23A22A22＝36种．
综上，共有48＋36＋36＝120种不同的安排方案．故选D.
[题后悟通]
求解有限制条件排列问题的主要方法
(1)间接法：对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法；
(2)捆绑法：相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列；
(3)插空法：不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中；
(4)除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列；
(5)直接法：①分类法：选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数；
②分步法：选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数．
[提醒]
注意排列、组合问题的3个易错点
(1)分类标准不明确，有重复或遗漏；
(2)混淆排列问题与组合问题；
(3)解决捆绑问题时，忘记“松绑”后的全排列. 二项式定理
1．二项式⎝⎛⎭⎫1x －2x 29的展开式中，除常数项外，各项系数的和为( )
A ．－671
B ．671
C ．672
D ．673
解析：选B 令x ＝1，可得该二项式展开式的各项系数之和为－1，因为该二项展开式
的通项公式为T r ＋1＝C r 9⎝⎛⎭
⎫1x 9－r ·(－2x 2)r ＝C r 9(－2)r ·x 3r －9，令3r －9＝0，得r ＝3，所以该二项展开式中的常数项为C 39(－2)3＝－672，
所以除常数项外，各项系数的和为－1－(－672)＝671.故选B.
2．已知(1＋x )n 的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A ．29
B ．210
C ．211
D ．212
解析：选A 由题意得C 4n ＝C 6n
，由组合数性质得n ＝10，则奇数项的二项式系数和为2n －1＝29.故选A.
3．已知(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2的值为( )
A ．39
B ．310
C ．311
D ．312
解析：选D 对(x ＋2)9＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9两边同时求导，得9(x ＋2)8＝a 1＋2a 2x ＋3a 3x 2＋…＋8a 8x 7＋9a 9x 8，令x ＝1，得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9＝310，令x ＝－1，得a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9＝32.所以(a 1＋3a 3＋5a 5＋7a 7＋9a 9)2－(2a 2＋4a 4＋6a 6＋8a 8)2＝(a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋8a 8＋9a 9)(a 1－2a 2＋3a 3－…－8a 8＋9a 9)＝310×32＝312.故选D.
4．(2019·全国卷Ⅲ)(1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( )
A ．12
B ．16
C ．20
D ．24
解析：选A法一：(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为1×C34＋2C14＝12.故选A.
法二：∵(1＋2x2)(1＋x)4＝(1＋2x2)(1＋4x＋6x2＋4x3＋x4)，∴x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A.
5．(2019·浙江高考)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．
解析：由二项展开式的通项公式可知T r＋1＝C r9·(2)9－r·x r，r∈N,0≤r≤9，
当为常数项时，r＝0，T1＝C09·(2)9·x0＝(2)9＝16 2.
当项的系数为有理数时，9－r为偶数，
可得r＝1,3,5,7,9，即系数为有理数的项的个数是5.
答案：162 5
6．(2019·南昌模拟)设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于________．解析：∵(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，∴二项展开式中含x项的系数为C45×(－1)4×C55×(－2)5＋C55×(－1)5×C45×(－2)4＝－160－80＝－240.
答案：－240
[题后悟通]
1．在应用通项公式中，要注意以下几点
(1)它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；
(2)T r＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；
(3)公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；
(4)对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．
2．在二项式定理的应用中，“赋值法”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．。