自控例题解析

·43·
第8章 非线性控制系统的分析
例题解析
例8-1 设非线性系统具有典型结构，试用等效增益概念分析具有死区的三位置理想继电特性(见图8-1(a))对系统稳定性的影响。

图8-1 稳定性分析
解：由等效增益定义x y K /=知，等效增益曲线如图8-1(b)所示，其中∆=/M K m 。

设系统不存在非线性时，临界稳定增益为K c ，于是
① 若K c >K m ，如图8-1(b)所示，则因实际增益小于临界增益K c ，所以系统稳定 ② 若K c <K m ，如图8-1(c )所示，其中x 0=M./K c ，则当x<x 0时，因m K K >，系统不稳定，x 发散；当x 增加至使x >x 0时，此时m K K <，系统稳定，x 收敛；当x 减小至使x <x 0时，重复上述过程。

可见，在这种情况下，系统将出现以x 0为振幅的自激振荡。

③ 原系统加入具有死区的理想三位置继电特性后，改善了系统的稳定性。

不论原系统是否发散，现系统都不会发散，但可能产生一个以x 0为振幅的自激振荡。

例8-2 试求图8-2所示非线性环节的描述函数。

（a ） （b ）
·44·
图 8-2 非线性环节
解：（1）对于图8-2（a ），因为t X x x y ωsin ,3==且单值奇对称，故
A1＝0
320
4320
4
320
4
3sin 4
sin 1
sin 1
1X t td X t d t X t td y B =
=
=
=
⎰
⎰
⎰
π
π
π
ωωπ
ωωπ
ωωπ
2114
3)(X X A j X B X N =+=
图 8-3
（2）对于图8-2（b ），因为图示非线性可以分解为图8-3所示两个环节并联，所以 K X
M
X N X N X N +=
+=π4)()()(21 例8-3 试将图8-4（a ），（b ）所示系统归化为一个非线性部分和一个线性部分串联的典型结构。

（a ） （b ）
图 8-4
解：（1）G 1与G 2是小回路的负反馈，则
2
11
1G G G G +=
从而得典型结构，见图8-5。

图 8-5
·45·
图8-8
（2）在图8-4（b ）中，先将主反馈回路与G 1连结构成闭环，得到
1
1
1G G G +=
'
G '再与H 1串联得
1
1
1G HG H G G +=
'=
最终得到典型结构，见图8-6（a ），（b ）。

（a ） （b ）
图 8-6
例8-4 系统结构图如图8-7所示。

试归化为一个非线性环节与一个线性部分串联的典型。

图 8-7
解：（1）求线性部分的传递函数G （s ）： 1）串联后做为G 2的反馈通道
)
1)(11.0(20
31++=
=s s G G H
见图8-8。

1）线性部分的反馈回路等效为线性部分G （s ），如图8-9所示。

·46·
20
)1)(11.0()1)(11.0(11)(3212
22+++++=
+=
+=
s s s s s G G G G H G G s G
（1） 归化的典型结构，见图8-10
图 8-9 图 8-10
例8-5 将图8-11所示的非线性系统简化成非线性部分N (A)和等效线性部分G (s)相串联的典型结构(以便应用描述函数法)。

写出等效线性部分的传递函数。

解：对于图(a)，可简化成图8-12，再化为图8-13。

（a ） （b ）
图8－11
图8-12 图8-13
等效线性部分的传递函数为：
G (s)=G 1(s)[1+H 1(s)] 对于图(b)，可简化成图8-14，再化为图8-15。

·47·
图
8-16
图 8-14 图 8-15 等效线性部分的传递函数为：)
(1)
()()(111s G s H s G s G +=
例8-6 试确定图8-16所示非线性环节的描述函数。

（1）将图8-16所示非线性特性分解为典型特性之和，见图8-17。

由非线性可知，并联非线性环节其描述函数代数相加，故 )()()(210X N X N X N += （2）查表求出典型非线性特性N 1（X ），N 2（X ）。

N 1（X ）为典型继电特性，其描述函数可据表 查出N 1（X ）=
;4X
M
π K X N =)(2是放大环节。

（3）求非线性环节的描述函数N （X ），即 K X
M
X N X N X N +=
+=π4)()()(21
图8-17
例8-7 设非线性系统如图8-18所示，试讨论参数T 对系统自振的影响。

若T ＝0.25，试求出输出振荡的振幅和频率。

图8-18
·48·
图8-19
解：h X X N X N h M X Mh j X h X M X N >==-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=,)(4)(414)(002
2
ππ其中，M
＝4；h ＝1，且
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡+
-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=-⎪
⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭
⎫
⎝⎛-=j h X X N X h j X h X h X N 14)(1414)(2
02
2
0πππ
其虚部7854.04)(1Im 0-=-=⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡-π
X N ，实部⎥⎦⎤⎢⎣⎡-)(1Re 0X N 的计算数据如下： 由于323)
1(10)1(10)(,)1)(1(10)(ωωωωT j T j G s Ts s s G -++-=++=，当T ＝
0.25时，3
22)
25.01(105.12)(ω
ωωω-+-=j j G 。

其实部、虚部计算数据如下： 利用上述数据，在复平面上作出)(4ωj G 曲线)25.0(=T 和)(/10X N -曲线，如图 8-19所示。

由图可见，B 点对应自振，自振参数为1.1/=h X ，12=ω。

因1=h ，所以自振振幅1.1=X ，频率12=ω 将振幅X 折算到输出端，考虑到：
)()
1)(1()(s C s
s Ts s X ++-
=
所以输出振幅 3460111
112
.)
)((.=∙++=
==X j s X X
s Ts s
c
故输出端振荡的振幅c X ＝0.346，频率12=ω。

为讨论T 对自振的影响，令
·49·
图8-21 等效结构图 3
2)
1(10)(Im ω
ωωT j G y -==
由
0=ω
d dy
得32=T ω，代入y 得 2
/3min
320⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=T y
令4)(1Im 40min π-=⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡-=X N y ，得138.032033
/2=⎪⎭⎫
⎝⎛=πT 。

此时对应)(4ωj G 曲线)(/10X N -曲线相切。

由上可见，T 对系统自振的影响为：T<0.138，)(4ωj G 与)(/10X N -无交点，系统不产生自振，但系统不稳定：T>0.138， )(4ωj G 与)(/10X N -有两个交点A 和B ，如图8-19所示。

小扰动时自振，大扰动时发散。

T 越大，自振振幅越小，自振频率越高。

例8-8 设非线性系统结构图如图8-20所示，试分析系统的稳定性。

图8-20 非线性系统结构图
解：设内回路输出为c '，原系统结构图经等效变换后如图8-21所示，其中，N 代表原结构图中的饱和非线性环节。

线性部分的传递函数为
20
)1)(1.0()
11.0)(1()(+++++=
s s s s s s G
饱和特性的描述函数为
2
2)1
(111arcsin 2)(11,)1(111arcsin 2)(X
X X X N X X X X X N -+-
=-≥⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-+=
π
π 利用计算机，求出)(ωj G 与)(/1X N -曲线的交点参数为21.4=ω，X ＝1.712，说明该
·50·
系统存在周期运动。

为确定该周期运动是否稳定，需判断G (s)中正极点个数P 。

由G (s)分母，画出等效系统
)
1)(11.0()(++=
's s s K
s G
的根轨迹，如图8-22所示。

该等效系统的闭环极点(K=20)即为G (s)的极点。

由根轨迹知， 当K>11时，G (s)有两个极点在右半复平面，故P ＝2。

图 8-22 图 8-23 将)(ωj G 与)(/1X N -曲线绘在图8-23中，在两曲线交点M 附近沿X 增大方向取
一点Q ，作为等效（-1，j0）点，)(ωj G 曲线在该点以远有
12/0=≠=--+P N N
故该非线性系统的周期运动解是不稳定的。

例8-9 试求图8-24所示非线性系统的等效形式。

（a ） (b)
图8-24 非线性系统
解：(1) 对图8-24（a ），由于非线性的对称性，故只需要考虑x >0的情况。

当y 有输出时，)(212∆-=x K y 。

此时，)(111∆-=x K x ，故
)()]([])([1
2
1212112∆-=∆+∆-=∆-∆-=x K K x K K x K K y 其中，K ＝K 1K 2；1
2
1K ∆+
∆=∆。

·51·
图8-26（b ）
利用非线性环节的对称性，可得等效非线性特性如图8-25（a ）所示。

图8-25（b ）为非线性系统的等效形式。

（2）对图8-24（b ），由于非线性的对称性，故只需要考虑x >0的情况。

（a ） （b ） （c ）
图 8-25 等效形式
当∆>1x 时，M y =，否则0=y ；当01>x 时，)(1h x K x -=。

令∆=1x ，则有)(h x K -=∆，故
h h
x +∆=
即当h h
x +∆
=时，∆>1x ，M y =。

所以等效非线性特性如图8-25（c ）所示，其中h K
S +∆
=。

例8-10 已知非线性控制系统结构如图8-26（a ）所示。

为使系统不产生自振，试利用描述函数法确定继电特性参数a ，b 的值。

解： 2)(14)(X
a
X b X N -=
π a X ≥ 2)(
14)
(1
X
a b X X N --=-
π
当0→X 时， ∞→-
)
(1
X N 当∞→X 时， -∞→-
)
(1
X N 所以必然存在极值。

由
图8-26（a ）
·52·
222223241a
X a X Xa X b dX X N d ---∙
π-=⎥
⎦⎤⎢⎣⎡-)()( a X >
令
0)(1=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-
dX
X N d ，得a X 2=，则
b
a X N a
x 2)
(12π-
=-
= 再求)
1)(18.0(3
)(++=
s s s j G ω与实轴的交点。

令 πω-=∠)(j G 得 －
πωωπ
-=--arctg arctg )8.0(2
可以求得 1－0.802
=ω 25=ω 3
41
*1)8.0(1
)(2
5222
5=++=
=
=
ωωωωωωj G 也就是)(ωj G 和实轴交点为（－4/3， 0）。

G （s ）正极点个数p =0。

为使系统不产生自振，应使)
(1
X N -
和)(ωj G 两曲线无交点，如图8-26（b ）所示。

所以应有 342-<-b a π 也就是 b a π
38> 例 8-11 本题共两小题。

（1）已知图8-27（a ）所示非线性系统，图示中1==b a ，当1)(=s G ，s
s G =)(时，试分析系统是否产生自振。

若产生自振，求自振的振幅和频率；若不产生自振，试判别系统的稳定性。

2)(14)(X
a
X b X N -=
π
·53·
（a ）
（b ） 图 8-27
（2）设图8-27（b ）所示非线性系统，试绘制起点在()00,1)0(00==>=c c
c c 的相轨迹。

解：（1）原结构图转化为图8-28所示结构。

图 8-28
2114)(X X X N -=
π )
1()(2)(21++=s s s s G s G 当1)(=s G 时， )
1()(2)(21++=
s s s s G s G
)]
1([)1(2)1(2)(2222221ωωωωωωω-+--+-+-=j
j G
令 []0)(Im 1=ωj G
得 12
=ω 1=ω
因而 []2)
1(2
)(Re 2
221-=-+-=ωωωj G 由 21
114
)(12
-=-
-=-
X X X N π
解得 X 1=1.1 X 2=2.3
·54·
由图8-29（a ）可知，由于)
(1X N -
曲线以X h
为自变量。

以穿入为稳定自振点，穿
出为不稳定自振点。

因此1.1si nt 是不稳定的周期运动，而2.3si nt 是稳定周期运动，故系统在非线性部件入口处存在振幅为2.3、频率为1的自振。

当s s G =)(时， 1
2
)(2
1++=s s s G
因为)(1s G 幅频曲线与)
(1
X N -
曲线无交点，故系统不自振，且保持稳定，如图8-29（b ）所示。

（a ） （b ） （c ）
图 8-29
（2）由图8-29（b ）可得
⎪⎩
⎪
⎨⎧-=202
c
111>≤-<c c c 开关线为1=c 。

当1>c 时， 2-=c
dc c d c 2-= 积分可得 12
4A c c
+-= 其中
0020144c c c
A =+= )(402c c c --= 在1>c 区域内，相轨迹是一顶点在（c 0，0），开口向左的抛物线。

当1≤c 时，0,0==c d c c
，积分可得22A c = 。

A 2由1>c 区域内的相轨迹与开关线1=c 的交点),1(01c
决定。

由 )1(402
01c c
--= 故 )1(402
0122c c A c
--=== 由上式可见，在1≤c 区域内，相轨迹为水平直线。

·55·
当1-<c 时，2=c
，积分解出324A c c += 。

A 3由1≤c 区域内的相轨迹与开关线1-=c 的交点决定。

因为在1≤c 区域内的相轨迹是水平直线，所以交点坐标为
()010202,1c c
c =-=。

()00201022023441444c c c c c
A =+--=+=-= 故在1-<c 区域内相轨迹是一顶点在（-c 0，0），开口向右的抛物线，与在1>c 区域内的相轨迹对称。

可见该非线性系统相轨迹上下对称，左右对称且关于原点对称，如图8-29（c ）所示。

例8-12 用描述函数法分析图8-30所示系统的稳定性，并判断系统能否自振；若有自振，求出自振频率和振幅。

图 8-30
其中X
M
N π41=
2224)(14X Mh
j
X h X M N ππ--= h M ≥ 23)(14X
h
X M N -=
π h M ≥
解：非线性系统可等价为如图8-31（a ）所示结构。

在复平面上画出)(ωj G 和
)
(1
X N -曲线，见图8-31（b ）。

可见系统存在稳定的自振。

（a ）
图8-31 （b ）
由
)
(1
X N -=)(ωj G 得 )
(1
)(ωj G X N =-
·56·
X M
j j j πωωω410
)2)(1(-=++ 即 X
M j πωωω40)2(33
2-=-+-
由 0)2(3=-ωωj 所以
2=ω
由 π
ωX M
4032
=
ππω
3203402
M
M X == 故系统在非线性部件入口处存在频率为2，振幅为
π
320M
的自振。

例8-13 已知如图8-32所示系统，分析当T=0.5时，系统是否存在自振。

若存在自振，则求出输出端自振参数（幅频和频率），并讨论参数T 的变化对系统自振的影响。

图中M =1，h =1，0
45=θ（答案中要有定性的图示曲线）。

图 8-32
附：非线性元件的描述函数关系式 不灵敏区： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∆-∆-∆-=
2)(1a r c s i n 22)(X X X K X N ππ ∆≥X 饱和特性： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∆-∆+
∆=2)(1arcsin 2)(X X X K X N π ∆≥X 继电特性： M
h j
h X M h X N 41)(4)(12π
π---=-
h X ≥ 解: 原结构图中的死区特性和饱和特性正好组成一比例环节K =1。

结构图可化简如
·57·
图8-33所示。

系统线性部分的开环传递函数
20
)1(5)(s K Ts s G +=
令ωj s =，得
ω
ω5
.25)(20
j K s G --
=
可见其幅相曲线为一抛物线。

继电器特性负倒描述函数是
4
14
)(12π
π
j
X X N ---=-
图 8-33 图 8-34
由图8-34可见，G （s ）和)
(1
X N -
必然存在交点也就是必然有自振。

由 4
5
.2π
ω
j
j
-=-
得振荡频率 183.3=ω 代入G （s ）得 []02
493.0183
.35)(Re K K s G -=-
= 又由 14
493.020--
=-X K π
如果令K 0=1，则有 X =1.181
折合到输出端振幅为 236.05==
X
C x 由 ω
ωωT
j j G 55)(2--=
·58·
可见，T 增大则振幅频率ω也增大，同时2
5
ω减小，相应的X 减小，输出端振幅也减小。

例8-14 判断图8-35所示各系统是否稳定 ，并判断)
(1
X N -与)(ωj G 的交点是否为自振点。

解：（1）先将图8-35中各图的稳定区标出来，见图8-36。

（2）按图示各种情况，分别说明： （a ）)(1X N -
与)(ωj G 两条曲线有交点。

但是看到X 增大时，)
(1
X N - 由)(ωj G 的左侧进入 )(ωj G 的右侧，是由)(ωj G 的稳定区穿入不稳定区，故该交点是一个不稳定工作点，不是自振点。

图 8-35
（b ）)
(1
X N -
始终在)(ωj G 曲线的左侧，即在稳定区，说明系统闭环稳定。

（c ）负倒描述函数 )
(1
X N -与幅相频率特性曲线)(ωj G 有交点，交于A 点。

由于
)
(1X N -是由)(ωj G 的不稳定区穿出到稳定区，故A 点为自振点。

（d ）)(ωj G 稳定区如图8-36（d ）所示。

)
(1
X N -与)(ωj G 两条相交于A ，B 两
·59·
点。

交点A 是)
(1
X N -曲线由不稳定穿出到稳定区的交点，故交点A 为系统的自振点。

交点B 是)
(1
X N -
曲线由稳定区穿入到不稳定区的交点，故不是自振点，而是不稳定的周期运动点。

图8-36
（e ）)(1X N -
曲线与)(ωj G 曲线有一个交点，交点处是)
(1
X N -由不稳定区穿出到稳定区的点，故该交点为自振点。

（f ）)(1X N - 曲线与)(ωj G 曲线有两个交点A ，B 。

在A 点)
(1
X N -穿入不稳定区，故A 为不稳定工作点。

在B 点)
(1
X N -穿出不稳定区，B 为自振点。

（g ）)
(1
X N -
与)(ωj G 曲线有两个交点，B 为穿出点，是自振点。

A 为穿入点是不稳定工作点。

例8-15 某单位反馈系统，其前向通路中有一描述函数A
e
A N j
4
)(π
-=
的非线性元
件，线性部分的传递函数为)15.0(/15)(+=s s s G
，试用描述函数法确定系统是否存在
·60·
自振？若有，参数是多少？
解：非线性元件的负倒描述函数：
434
)
(1π
πj j Ae e A
A N --=-=-
又
ω
ωωωωωωω5.090)()
5.0(115
)()
15.0(15
)(2
arctg j G j G j j j G --=∠+=
+=
绘制负倒描述函数曲线与)(ωj G 曲线，如图8-37所示。

在B 点，有：
A =+2
1)
5.0(115
ωω (1)
0101355.090-=--ωarctg (2)
由2）式，有：
2
,
15.0455.0111===ωωω arctg
代入1）式，得： 29.52
215≈=
A 图 8-37
故系统中产生自振荡，频率为2rad/s ，振幅为5.29。

例8-16 设系统微分方程为02
=+x x n ω ，初始条件为00)0(,)0(x x
x x ==，试用消去时间变量t 的办法求该系统相轨迹。

解： 因为02
=+x x n ω ，所以特征根n j ωλ±=2,1，
)cos()()
sin()(ϕωωϕω+=+=t A t x
t A t x n n n
)
()(21
因为
00cos )0(,
sin )0(x A x
x A x n ====ϕωϕ 所以
2
,
x
x
arctg
x
x
A
n
n
ω
ϕ
ω
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
=
由式(1)、(2)得
2
2
2
2
2
2
2)
(
cos
)
(
sin A
t
A
t
A
x
x
n
n
n
=
+
+
+
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+ϕ
ω
ϕ
ω
ω
即相轨迹方程为
2
2
2A
x
x
n
=
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
+
ω
相轨迹如图8-38所示，为一簇同心椭圆。

椭圆的大小与初始条件有关，每一个椭圆对应一个简谐振动。

图8-38
例8-17 设系统如图8-39所示，假设系统仅受初始条件作用，试画e
e
-平面上的相轨迹。

解：（1）求微分方程：由结构图知
c
u
=c
c
e
-
-
=
u
c
c
c
e-
-
=
-
-
=
u
u
u
c
e
-
-
=
-
-
=
当e0
≠时，
=
u
⎩
⎨
⎧-
=
M
M
e
<
>
e
e
当e=0时，u
u
e
-
-
=，其中e=0为开关线。

（2）求相轨迹：
当0
>
e时，
e =-M M
de
e d
e-
=
M d e
e d e-
=
图8-39
·61·
·62·
图8-41
12c Me e
+-= 可见，在0>e 区域内，相轨迹是开口向左的抛物线，顶点在e 轴上。

当0<e 时，同理可得
22c Me e
+= 相轨迹是一条开口向右的抛物线，顶点e 轴上。

当e =0时， u u e
--= 此时相轨迹在开关线上，u 发生突跳。

设突跳时刻为t 0，将上式在t 0时刻积分
⎰⎰⎰
+
-
+
-
+
-
--=000000t t t t t t dt u udt dt e
由于u 跳跃，幅值为有限值±2M ，
所以
00
=⎰
+-t t dt u
)]()([)()(-+-+--=-0000t u t u t e t e
)()(00t u t e ∆-=∆ 当e 由负向正运动穿过开关线时， M t u 2)(0=∆ 所以，在开关线上
⎩⎨⎧-=∆M
M t e
22)(0 00<>e e （2）由上面分析可画出相轨迹，如图8-40所示，相轨迹在开关线上有幅度为2M 的
跳跃。

当0>e
时，相轨迹下跳；当0<e 时，相轨迹上跳，最终收敛于坐标原点。

例8-18 试绘制M x x T =+
的相轨迹 )0,0(>>M T
解：由方程M x x T =+
可见 M x = 1）满足原方程，为一条相轨迹。

利用等倾线法，可求出其它相轨迹。

因为
dx x d x x =，所以
x
T x
M dx x
d -=，令α=dx x d 得等倾线方程1+=αT M
x 。

可见，
等
倾线为一簇水平线。

当0=α时， M x
= 。

由式1）知，
该等图8-40
·63·
图8-42
倾线亦为一条相轨迹，因相轨迹互不相交，故其它相轨迹均以此线为渐近线。

当∞
→α时，0=x
，表明相轨迹垂直穿过x 轴。

当T
a 1-
→时，∞→x
， 说明平面上下无穷远处的相轨迹斜率为-1/T 。

图8-41大致示出了该系统的相轨迹。

例8-19 试绘制如图8-42所示系统的c c
- 相平面图，并分析系统运动特性。

初始条件为 .2)0(,0)0(==c
c 解：由结构图知：
1
11
1-<<><-e e e
又c e -=，所以
⎪⎩
⎪
⎨⎧+----=121
c c c c
1111-<≤≤->c c c 由初始条件2)0(,0)0(==c c 积分。

当11≤≤-c 时，
c c
2-= c d c c d c
2-= 得
422
2
+-=c c
12
422=+c c 相轨迹为一椭圆，且
当1=c 时， 2±=c 当1-=c 时， 2±=c
当1>c 时， 1--=c c
积分得：6)1(2
2=++c c
相轨迹是圆心在（0，-1）半径为6圆弧。

当1-<c 时， 1+-=c c
同理，积分得 6)1(2
=-+c c
相轨迹是圆心在点（0，1）半径为6的圆弧。

整个相轨迹形成闭合的环形，如图8-43所示。

说明系统运动为等幅振荡，且和初始 条件有关。

例8-20 设一阶非线性系统微分方程为
3x x x
+-=
图8-43
·64·
图8-44
图8-46
图8-45
试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并作出系统的相轨迹。

解：令0=x
，得 即 0
)1)(1(03=+-=+-x x x x x
系统的平衡状态为
x e ＝0，－1，1 当x e ＝0时，将原微分方程线性化，得
0,=+-=x x
x x
特征方程：01=+λ，特征根1-=λ。

可见x e ＝0是一个稳定平衡点。

当x e ＝－1时，令x ＝x 0－1进行平移变换，原微分方程变为：
3
200300032)1()1(x x x x x x +-=-+--= 在x 0＝0(即x ＝－1)处进行线性化，有：
002x x
= 显然，特征根：2=λ。

此，x e ＝-1是一个不稳定的平衡点。

同理讨论x e ＝1也是一个不稳定的平衡点。

相轨迹如图8-44所示。

例8-21 试用相平面法分析图8-45所示系统分别在0,0,0><=βββ情况下，相轨迹的特点。

解：由图8-45可得到
⎩⎨⎧-=M
M
c
00>+<+ββc c c c 因此，βc
c +=0为开关线。

分别求解M c
±= 可得 ⎩⎨⎧+-=+=22
1222A M c A M c c c 00>+<+ββc c c c 物线相轨迹为开口向左的抛物线
相轨迹为开口向右的抛
（1）当β=0时，开关线为c 轴，相轨迹见图8-46（a ），为一族封闭曲线，奇点在
坐标原点，为中心点。

（2）当0<β时，开关线沿原点向右旋转，相
·65·
图8-47 轨迹见图8-46（b ），奇点在坐标原点，为不稳定的焦点。

（3）当0>β时，开 关线沿原点向左旋转，相 轨迹见图8-46（c ），奇点 在坐标原点，为稳定的焦点。

例8-22 设系统如图8-47所示。

假设系统仅受到初始条件的作用，试画出e
e -平面上的相轨迹。

解：（1）求解微分方程：由结构图知
c
c e c
u --==, 所
u u u c e
u c c c e
--=--=--=--=
当0≠e 时，0=u
⎩⎨
⎧<>-=-=0
,
,
e M e M u e 当0=e 时，u u e
--=，开关线为0=e 。

（2）求相轨迹方程：当0>e 时
122,,c Me e
Mde e d e
M de
e
d e
M e +-=-=-=-= c 1是与初始条件或此区域内相轨迹起点有关的积分常数。

由上式可见，在0>e 区域内相轨迹是一条开口向左、顶点在e 轴上的抛物线。

当0<e 时
222c Me e
+= c 2是与初始条件或此区域内相轨迹起点有关的积分常数。

在0<e 区域内，相轨迹是一条开口向右、顶点在e 轴上的抛物线
当0=e 时
u u e
--= 此时相轨迹正处于开关线上，u 发生突跳。

设突跳时刻为t 0，将上式在t 0时刻积分：
⎰
⎰⎰+
-+
-
+-
--=000000t t
t t t t dt u udt dt e
·66·
图
8-48
⎰
⎰⎰+-+
-+
-
--=)
()
()
()
(000000t e t e t u t u t t du udt e
d
由于t 0时刻u 跳跃幅值有限)2(M ±，故
000=⎰
+
-
t t udt ，
)
()()]
()([)()(000000t u t e t u t u t e t e ∆-=∆--=--
+-+
当e 由负向正运动穿过开关线时，M t u 2)(0-=∆。

所以，在开关线上
⎩⎨⎧<>-=∆0,
20,
2)(0e
M e
M t e
上式表明了相轨迹在开关线上的跳跃幅度和方向。

（3）绘制相轨迹：相轨迹如图8-48所示。

相轨迹在开关线上出现跳跃，幅度为2M 。

0>e
时，相轨迹下跳； 0<e
时，相轨迹上跳。

最终相轨迹收敛于 坐标原点。

例8-23 非线性系统结构如图8-50所示，试描绘该系统的相平面图。

设输入0=r 。

图 8-50 解：由系统方框图，有
u c c
=+ c e -= ⎪⎩
⎪
⎨⎧-=1.01.0e u 1.01.01.01.0-<≤≤->e e e
有
u e e
-=+ 当1.0>e 时，
1.0=u
相平面轨迹斜率为 e
e e e e de e d m 1
.011.0--=--===
·67·
当1.01.0≤≤-e 时，e u =
e
e e e e m --==
等倾线方程为
1
+-=m e
e
当1.0-<e 时，1.0-=u
相平面轨迹斜率为 e
e e e e de e d m 1.011.0+-=+-===
由三个区域的等倾线，在给定起始点后， 可以描绘出相轨迹，如图8-51所示。

例8-24 线性系统方程如下
dx
cx bx ax dx dx ++=
12
121 讨论常数d c b a ,,,与相平面（21x x ,）上奇点类型的关系。

解： 由2
12
121dx cx bx ax dx dx ++=
得方程组： ⎩⎨⎧+=+=212211cx cx x
bx ax x
也就是
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121x x d c b a x x 求矩阵⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡=d c b a A 的特征值： A I -λ
=
=--d
c
b
a
λλ0
得
0)()(2=-++-bc ad d a λλ
令 d a p += bc ad q -= 则有
02=+-q p λλ
·68·
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-±=2
122
,1)4(21q p p λ 当q p 42≠时，
21λλ≠存在线性变换矩阵⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=δγβαp 使得 AP P 121
0-=⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=Λλλ 令 x P y y y 1
21-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
有 y y
Λ= 由AP P =Λ可得
d c
b a -=
-=11λλαγ d
c
b a -=
-=21λλβδ 坐标变换为
⎩⎨
⎧+=+=δγβ
212
211y y x y ay x
坐标变换后曲线只是形状发生扭曲，奇点性质不变，只讨论变换后的奇点性质即可。

y y
Λ= ，即
2
21121y y y y
λλ=
（8-1） （1） 当1λ，2λ为两正实根时，可假设120λλ<<，对式（8-1）积分得
1
2
12λλcy
y =
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112121
λλcy dy dy
相轨迹为抛物线，如图8-52（a ）所示。

此时奇点在原点，是不稳定的节点。

（2） 当1λ，
2λ为两负实根时，假设012<<λλ时，对式（8-1）积分得
1
2
12λλcy
y =
·69·
)
1(11
212-=λλcy dy dy 相轨迹为抛物线，如图8-52（b ）所示。

此时奇点在原点，是稳定的节点。

（3） 当21,λλ为两异号实根时，设120λλ<<，则对式（8-1）积分得
1
21212y y
dy dy λλ-= c y
y =1
2
21λλ
此时相轨迹双曲线，如图8-52（c ）奇点在原点，为一鞍点。

（4）当1λ，
2λ为共轭复根时，设0,2,1≠±=σωσλj 得
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212100z z j j z z ωσωσ 做变换 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y z z σωωσ
有 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y y y σωωσ
设
v y y =21
21vy y = v y dy dv
dy dy +=1112 即 v
v
v dy dv y ωσσω++-+
-=11 =+-+dv v v
)
1(2ωωσ11y dy 积分得 －
C y v arctgv +=+-12ln )1ln(2
1
ωσ 把12y y v =代入得 －C y y y y arctg ++=2
1
22211
2)ln(ωσ
令 1
2y y arctg =θ 2
1
2221)(y y r +=
·70·
则 θωσ⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=e
r r 0
当0<σ时，曲线如图8-52（d ）所示，奇点为稳定的焦点。

当0>σ时，曲线如图8-52（e ）所示，奇点为不稳定的焦点。

（5）当1λ，
2λ为纯虚根时，令ωλj ±=2,1，则
1
221y y
dy dy -= 积分得 C y y =21 曲线如图8-52（f ）所示，奇点在原点，为一鞍点。

（6）当1λ，2λ中有一个为0时，设01=λ，则
222y y
λ= 积分得222C e
y t
+=λ，可见2y 和1y 无关。

同样，当02=λ时，,111C e y t
+=λ，1y 和y 2无关。

不存在奇点。

当q p 42=时，矩阵⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡=d c b a A 有重特征值， 2
)
(2,1d a +=
λ 若有0=q ，也就是0=-bc ad ，则有
0=+d a
此时
c
a
dx cx bx ax dx dx =++=212121 积分得 112C x a
c
x +=
相轨迹为一组直线。

若a ， c 同号，则直线由2x 轴向右倾斜，相轨迹如图8-52（g ）所示。

奇点在1x 轴上，是不稳定的节点。

若a ，c 异号，则直线由2x 轴向左倾斜，相轨迹如图8-52（h ）所示，奇点在1x 轴上是稳定的节点。

·71·
图 8-52
例8-25 试用描述函数法和相平面法分别研究图8-53所示系统的周期运动，说明应用描述函数法所做的基本假定的意义。

解：（1）相平面法：由图8-53有
⎩
⎨⎧-=+KM KM
c c
00><c c
对方程组积分可得到
⎩⎨⎧++-=+--=2
2222122)()(A KM c c
A KM c c 00
><c c 其中 1A ， 2A 和初始条件无关。

图8-53
·72·
相轨迹：当0<c 时，是以（KM ，0）为圆心，A 为半径的圆。

当0>c 时，是以（-KM ，0）为圆心，A 2为半径的圆。

对于任意一条相轨迹有A 1=A 2，且A 1=A 2KM >，原点是系统奇点，也是中心点。

周期计算只要算1/4个周期即可，如图8-54所示，取起点A （C 0，0），终点为),0(0C B 点，有
KM A c -=10
1
10100221arcsin
42)arcsin(arcsin 4)(4400A KM
A
KM C A KM c KM c A dc c dc T c c -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+--
==⎰⎰π （2）描述函数法：非线性部分描述函数为
π
X M
X N 4)(=
线性部分频率特性是 2
1)(ωω-=K
j G
因此闭环特征方程为
1142-=-⋅ω
πK
X M 对于任意一个不小于1的ω，都有一个X 和它对应，即系统有无限多个振荡频率。

（3）描述函数法是假定非线性环节的输入为周期运动且为正弦输入。

这在一般系统是能满足的，因为一般系统能滤去高阶分量，本例中线性部分不满足这一条件，因此描述函数法无法给出一个运动周期。

但当X 与ω中的一个为已知时，描述函数法可以给出另一个的值。

例8-26 图8-55示出了某惯性导航的自动艇示意图。

图中电位器P 1由陀螺控制。

图
8-55
图8-54
·73·
可以认为P 1的滑动触点由陀螺控制住，指向惯性空间的某个固定方位（如正北方），电位器P 1则固定于艇身上。

若航行偏离预期航向，则电位器与滑动点之间有相对位移，A 点可能出现正，负信号。

在图8-55中J 表示一个极化继电器，若绕组通入正向电流，则触点J 1闭合；若绕组通入负向电流，则触点J 2闭合；若绕组无电流，则J 1，J 1立即释放。

Z 及F 均是接触器，用以控制舵机电动机的正，反转，以实现船艇的左，右打舵。

电动机D 是由电枢控制的直流它励电动机，经减速箱降速后带动舵机的运动，并同时带动反馈电位器P 2的触点。

题设：（1）当B 点电压5≥b U V 时，继电器J 就吸合；当5≥b U V 时，J 就立即释放；
（2）电动机D 的传递函数为
)
1)(1()()(0)(++==s T s T s K s U s s C m a 本小艇首次试航时，发现其航向S 行朝正北方前进。

试问：（1）应采取什么措施以消除小艇的摆动？
（2）详细解释你所采取措施的理论根据。

解：根据题意，当B 点电压5≥b U V 时继电器吸合，当5<b U V 时继电器释放，可知继电器具有死区特性。

因此，可画出系统结构如图8-56所示。

非线性部分的描述函数为
22)5(14)(A A U A N -=π
线性部分的传递函数为
)1)(1(/)(1++=s T s T s i
K K s G m a
图8－55 小艇首次试航时，其航向呈S 形朝正北方前进，说明系统存在自激振荡，)(ωj G 幅相曲线与)
(1X N -曲线有交点，如图8-56所示。

由此可见，若要使小艇不呈S 行摆动，
·74·
图8-56 必须克服非线性引起的自激振荡。

因为 ) ( 1
A N - 的最大值为2
25U π
-，若加入校正环节)(s G c 后， )()(ωωj G j G c 在负实轴上的交点大于2
25U π
-，
就可以消除振荡。

根据上述分析，有1)(<g c j G ω， g ω为[]0180)()(-=ωωϕj G j G c 时的ω值。

因此， 应该选用滞后校正或滞后-超前校正来实现。