函数一致连续性的判定及性质

函数一致连续性的判定及性质
摘要: 在函数的众多性质中，函数的一致连续性是非常重要的一个，它刻划出了函数在一个区间上的全局性，是理解数学中其它知识的基础，对这一性质的深刻理解与掌握能够很好的促进数学分析的学习，研究函数一致连续性必然要研究一致连续性的判定定理及性质，这有利于描绘函数的图像和进一步了解函数的性质。

本文简要概括了一元函数的一致连续性概念及连续与一致连续的联系与差别，并深入分析了函数一致连续的判定、性质及应用。

关键词: 一致连续性连续函数非一致连续极限可导
The Judgemental Theorems and Properties of Uniform
Continuity for Functions
Abstract The uniform continuity of function is a very important concept in the mathematical analysis course,it skins out the overall importance of function on an interval and it is a foundation in understanding other knowledge associated with mathematics . Deep understanding and mastering of this nature can promote us learning about mthematical analysis. Studying the judgemental theorems and properties of uniform continuity for function are useful for researching the uniform continuity of function ,and this helps us to depict the images of function and further understand the nature of the function. The paper summarizes the uniform continuity concept of the unary function and the difference between continuous function and uniformly continuous function, at the same time,it analysizes the determination, properties and application of uniformly continuous function in depth.
Keywords consistent continuity continuous function non-uniform limit differentiable
1 引言
一致连续是数学分析上册第四章第2节所学到的一个概念，它能够帮助我们理解和解决很多问题。

教材中给出了一元函数一致连续性的的定义和判断函数在闭区间上一致连续的一致连续性定理(若函数在闭区间上连续，则它在闭区间上一致连续),但是当我们应用时这些内容往往不够，使用定义证明函数在区间上一致连续是非常复杂
且不易想到的，一致连续性定理的使用条件又比较苛刻，因此有必要探索判别函数一致连续的其它方法。

本文从一致连续性出发结合连续、极限、导数、绝对连续等概念性质给出了另外几种判定函数在开区间、任意区间以及无穷区间一致连续的判定定理及证明，并总结了函数一致连续的若干性质，并在此基础上列举了几个典型具体的例子来分析函数一致连续性的应用。

２一致连续性的概念及其与连续性质的联系与差别
定义1①： 设f 为定义在区间I 上的函数，若对任给的ε>0,存在δ=()εδ>0,使得对任何x '，x ''∈I ，只要|x '－x ''|<δ，就有｜()()f x f x '''-｜<ε，则称函数f 在区间I 上一致连续。

( 1 )函数f 在区间I 上连续，是指任给ε0>，对每一点x ∈I ，都存在相应正数δ＝
(),x δε，只要x '∈I 且｜x －x '｜<δ，就有｜()f x －()f x '｜<ε，δ的取值除依赖
ε之外还与点x 有关，()f x 在区间I 上一致连续是()f x 的一个整体性质，由函数在
区间上的一致连续性必可推出它在区间上的连续性。

（ 2 ）函数的一致连续性意味着对于区间上的任意两点只要它们的距离无限接近，就可以使它们的函数值无限接近。

（ 3 ）要证明函数f 在某区间I 上非一致连续，只要证明：存在某0ε>0对于任何δ 总存在两点x '，x ''∈I ，尽管|x '－x ''|<δ，但有
()()f x f x '''->0ε
３ 函数一致连续性的判定
判定１② 函数()f x 在区间(),a b 上连续且f ()0a +与()0f b -都存在⇔()f x 在
(),a b 上一致连续。

证明：充分性 令
①华东师范大学数学系．数学分析[M]，高等教育出版社，2001，79P ．
②
常明．一元函数一致连续性的判定及性质[J],平顶山市宝丰一高，2009，下旬刊．
()G x =()()()()0,,
,0,f a x a f x x a b f b x b +=⎧⎪
∈⎨⎪-=⎩
f ()0a +与()0f b -都存在，
又lim x a
+→()f x =f ()0a +=()a G ,所以可得()G x 在点x a =是连续的，又因为lim x b
-→()f x =()0f b -=()G b ，所以()G x 在点x b =是连续的, 又由
假设知道()f x 在(),a b 上是连续的，可推出()G x 在闭区间上连续, 由一致连续性定 理，从而可推出()G x 在闭区间上一致连续，即()f x 在区间(),a b 上一致连续。

必要性
()f x 在(),a b 上是一致连续的，由一致连续性定义,ε∀>0,δ∃0>对任何
x ',x ''∈(),a b ，当|x '－x ''|<δ，有｜()()f x f x '''-｜<ε，所以可以得出对任意x '， x ''∈(),a b ，当x ',x ''∈(),a a δ+时有|x '－x ''|<δ，故有｜()()f x f x '''-｜<ε
由已学数学分析知识知(0)f a +=lim x a
+→()f x 存在
同理可推出()0f b -=lim x b
-→()f x 存在, 综上所述判定1即可被证明 。

判定2①f 在某区间I 上一致连续的充要条件是对{}{},n n x y ∀⊂I ,当()lim 0n n n x y →+∞
-=有
()()()lim 0n n n f x f y →+∞
-=。

证明：充分性
函数f 在区间上非一致连续，即知存在0ε>０对任何δ>0，∃,x y ∈I ,当 |n x -n y |< δ时有lim n →+∞
|()()n n f x f y -|0ε≥,取2
1
n n =δ，3,2,1=n ，于是存在
n x ，n y I ∈且满足|n x -n y |<2
1
n ，|()()n n f x f y -|0ε≥，显然()lim 0n n n x y →+∞
-=，
但由假设()()()lim 0n n n f x f y →+∞
-≠，这矛盾 , 所以f 在区间I 上一致连续。

必要性
()f x 在(),a b 上是一致连续由一致连续性的定义知,对ε∀>0,存在正数δ，对任意的,x y ∈I ，只要|x y -|< δ就有()()f x f y ε-<，又因为()lim 0n n n x y →+∞
-=，对
①
范新华．判别函数一致连续的几种方法[J]，常州工学院学报，2004（8），第17卷第4期．
上述的δ，存在N >0，当N n >时有|n x -n y |< δ，从而有|()()n n f x f y -|< ε。

即可推出()()()lim 0n n n f x f y →+∞
-=。

综上即可论证。

判定3① 对于区间I 上的任意1x ，2x ，如果|()1f x -()2f x |≤L ｜1x －2x ｜,其中L >0,则f 在区间I 上一致连续。

证明： 对任意的ε>0,取δ=
L
ε
>0,对任意1x ,2x ，当｜1x －2x ｜<δ时有 |()1f x -()2f x |≤L 12x x -<L ⋅L
ε
<ε
所以可推出f 在区间I 上一致连续。

判定4 设()f x 在区间)[∞+,a 上连续，()h x 在区间)[∞+,a 上一致连续且
()()lim ||0x f x h x →+∞
-=，则()f x 在区间)[∞+,a 上一致连续。

证明：由()()lim ||0x f x h x →+∞
-=可推出对于任意的ε>0,存在G >a ，对任意的
1x ，2x ≥G ，有 ｜()1f x －()1h x ｜<3ε
｜()2f x －()2h x ｜<3
ε
又()h x 在区间)[∞+,a 上一致连续，所以对上述ε>0,存在δ>０对任意的1x ，2x ≥G 且｜1x －2x ｜<δ有
｜()1h x －()2h x ｜<3
ε
综上所述，对任意1x ，2x >G 且｜1x －2x ｜<δ，有
|()1f x -()2f x | ≤｜()1f x －()1h x ｜
+｜()1h x －()2h x ｜
+｜()2f x －()2h x ｜
<3ε+3ε+3ε
①
钱吉林．等数学分析题解精粹[M]，崇文书局，2003，234P ．
<ε
所以()f x 在[)+∞G,一致连续，又显然()f x 在[],1a G +上一致连续 可推出()f x 在区间)[∞+,a 上一致连续。

推论1：设()f x 在区间(],b -∞上连续，()h x 在区间(],b -∞上一致连续且
()()lim ||0x f x h x →-∞
-=，则()f x 在区间(]b ，∞-上一致连续。

推论2①：设()f x 在区间)[∞+,a 上连续 ()0a >，(),0k
y k x
=≠且()lim ||0x f x y →+∞-=，
则()f x 在区间)[∞+,a 上一致连续。

判定5② 如果函数()f x 在()+∞,a 上可导，且对x ∈()+∞,a 有|()f x '|≤N ，其中N 是正常数，则函数()f x 在()+∞,a 上一致连续。

证明：
由假设函数()f x 在()+∞,a 上可导，对于12,x x ∈()+∞,a ，可推出对[]12,x x ，知()
f x 在[]12,x x 上可导即在()12,x x 上也可导，又由()f x 在[]12,x x 上可导可知()f x 在[]12,x x 上连续。

由学过知识知至少存在一点∈m ()12,x x 使得
()()21f x f x -=()()'21f m x x -又对任意x ∈()12,x x ⊂()+∞,a 有()'||f x N ≤，故
()'||f m N ≤ 所以
()()21f x f x -=()'12f m x x -
12N x x ≤-
对于任意ε>0，取δ=
N
ε
>0,对于任意12,x x ∈()+∞,a ，当12x x -<δ时有 ()()21f x f x -12N x x ≤-< N ⋅N
εε=
可推出函数()f x 在()+∞,a 上一致连续。

判定6 若()f x 为[],a b 上绝对连续函数，则()f x 为[],a b 上的一致连续函数。

①瞿滨．一致连续性的一个判别法[J],哈尔滨师范大学自然科学学报，1996，第12卷第3期． ②
刘勇．关于一元函数一致连续性的讨论[J],赤峰学院学报，2009（11），第25卷第11期．
证明：
由绝对连续函数的定义知 对ε∀>0，存在0δ>，使对[],a b 中互不相交的有限 区间(),i i a b ，1,2,3,,i n =⋅⋅⋅只要1
()n
i i i b a δ=-<∑，就有()()1
||n
i i i f b f a ε=-<∑
对任意12,x x ∈[],a b ，
()12,x x 必然会属于某个区间(),i i a b ，可知
12||x x -<1
()n
i i i b a δ=-<∑，故
()()12||f x f x -<()()1
||n
i i i f b f a ε=-<∑
由一致连续性定义可得()f x 是[],a b 上的一致连续函数。

4 函数一致连续的性质
性质1 如果()f x 在(),a b 上一致连续，则存在一个函数()G x 在[]b a ,上连续且对
∀
x ∈(),a b 恒有()G x =()f x 。

证明：因为()f x 在(),a b 上一致连续，所以可推出lim x a
+→()f x 与lim x b
-→()f x 存在 ，令
()G x =()()()()0,,
,0,f a x a f x x a b f b x b +=⎧⎪
∈⎨⎪-=⎩
由判定1的证明过程可知()G x 在[]b a ,上连续且对∀
x ∈(),a b ，()
G x =()f x 。

性质2 若函数()f x 在(),a b 上一致连续，则(0)f a +与()0f b -同时存在。

证明：
由本文判定1必要性证明过程可以直接得到此结论。

性质3① 若()f x 是)[∞+,a 上的一致连续函数且()a
f x dx +∞⎰
收敛，则()lim 0x f x →+∞
= 。

证明：由于()f x 是)[∞+,a 上的一致连续函数，故对ε∀>0,存在正数δ，使当
12,x x ∈)[∞+,a 且｜1x －2x ｜<δ时，有
①
华东师范大学数学系．数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2001，277P ．
()()12||f x f x ε-< ()1 又因()a
f x dx +∞⎰
收敛 ,所以对1εδε=，存在N a >,使当x N >时，有
()x x
f t dt δ
δε+<⎰
()2
对于积分()x x
f t dt δ
+⎰
，当x t x δ<<+时，由()1有
()()()f t f x f t εε-<<+
从而
()()()x x x x
x
x
f t dt f x dt f t dt δδ
δ
δεδε+++-≤≤+⎰
⎰
⎰
()3
即 ()()||x x x
x
f x dt f t dt δ
δ
δε++-≤⎰
⎰
于是当x N >时，由()2和()3可得
()()1
x x
f x f t dt
δ
δ
+=
⎰
≤
()()()1||||x x x x x x f x dt f t dt f t dt δ
δδδ+++⎡⎤-+⎢
⎥⎣⎦⎰⎰⎰
2εεε<+= 综上所述可得()lim 0x f x →+∞
= 。

性质4 设()f x 在R 上一致连续，则存在正数,G M ,使对∀x R ∈ ，有
()||||f x G x M ≤+
证明： 由()f x 在R 上一致连续可得，对任意121
,0,,,2
x x R εδ=∃>∀∈
当｜1x －2x ｜<δ时，有
()()121||2
f x f x -<
对于R 上的x ，x 可表示为0x n x δ=+（n 为整数），()0,x δδ∈- 又因()f x 在R 上一致连续，所以可得()f x 在[],δδ-上有界。

故存在0A >，对x ∀∈[],δδ-有 ()||f x ≤A ,于是有
()()()()()00
1|||1|n
k f x f k x f
k x f x δδ=⎡⎤=+--++⎣⎦∑
()()()()00
1
|1|||n
k f k x f
k x f x δδ=≤+--++∑
||
2n A ≤
+ 01
||2x x A δ=-+ ≤11||||22o x x A δδ++ 1
||12x A δ
≤++ 设1
,12G M A δ
==+即可得证。

5一致连续性的应用
例1① 讨论函数()f x =
sin 2x
x
在0<x <π上的一致连续性。

解：因为 0lim x +→sin 2x x =12，lim x π-→sin 2x
x
=0
构造函数
()()1
,
02,00,x G x f x x x ππ⎧=⎪⎪
=<<⎨⎪=⎪⎩
由判定1的证明过程可知()G x 在[]π，0上连续从而一致连续，可推出()G x 在()π，0上一致连续。

由于()G x 在()π，0上恒等于()f x ,故()f x =sin 2x
x
在()π，0上一致连续。

例2 已知()f x =22x +
证明：(1) 对任何实数,0>a ()f x 在[]a ,0上一致连续 。

(2) ()f x 在[)∞+，
0上非一致连续 。

证明（1）因为()f x =22x +在[]a ,0上连续, 由一致连续性定理知()f x =22x +在 []a ,0上一致续。

①
钱吉林．等数学分析题解精粹[M]，崇文书局，2003，233P ．
(2)令11
,n n n n x n x n x x n n
''==+-=且，可得lim 0n n n x x →∞'-=，又
|()()
n n f x f x '-|=|()2
2
122n n n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫
+-++⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
|=2+21n >2 ，可推出()f x 在[)∞+，0上
非一致连续。

例3① 证明()f x
[)∞+，0上一致连续。

证明：[)∞+，0=[],10 [)∞+，1
首先证明()f x
[)∞+，1上是一致连续的。

设x '，x '' ∈[)∞+，1且x '<x ''，
< |
2
x x '''
-| 对于任意ε>0，取δ=2ε,当x '，x '' ∈[)∞+，1且x x '''-<δ时
||<
2
δ
=ε 可推出()f x
[)∞+，1上是一致连续的。

又()f x
[],10上连续故()f x
[],10上一致连续， 综上所述可得()f x
[)∞+，0上一致连续。

例4 设()f x 在区间)[∞+,a 上连续，y mx h =+，且()lim 0x f x y →+∞
-=，证明()f x 在
区间)[∞+,a 上一致连续。

证明：对0,ε∀>由()lim 0x f x y →+∞
-=可知存在0,N >当x N >,有
()3
f x y ε
-<
()4
取0N ＝N ＋
3
2
，由于()f x 在[,a 0N ]上连续，则()f x 在[,a 0N ]上一致连续，可推出存在0<0δ < 3
2
，对x '，x ''∈[,a 0N ]，只要x x '''-<0δ，就有
()()f x f x ε'''-< ()5
①
钱吉林．等数学分析题解精粹[M]，武汉：崇文书局，2003，245P ．
令δ＝min 03,,32m εδ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，对任意的x '，x ''∈)[∞+,a ，当x x '''
-<δ时，如果
x '，x ''∈[,a 0
N ]，由()5知
()()f x f x ε'''-<
若x '<0N <x '',则必有x '，x ''>N,由()4和()5知
｜()f x '—()f x ''｜≤|()f x '1y -|+|1y —2y |+|2y -()f x ''| <3ε+m ⋅m 3ε+3ε
< ε 若x '，x ''∈[0N ，)∞+由()4知
｜()f x '—()f x ''｜≤|()f x '1y -|+|1y —2y |+|2y -()f x ''|
<|()f x '1y -|＋m ⋅|x x '''- |＋|2y -()f x ''|
<3ε+m ⋅m 3ε+3ε
<ε
所以可得()f x 在区间)[∞+,a 上一致连续。

（本例题实际上是判定4的一个特殊形式） 例5① 设()f x 在区间[)2,+∞上可导且()lim x f x →+∞
'=+∞，讨论()f x 在区间[)2,+∞上是
否一致连续。

解: 由()lim x f x →+∞
'=+∞知，对0,δ∀>取2
G δ
=
，则存在0N >，当x N >时，有
()2
f x G δ
'>=
再取12,x x N >且使12x x <，当 12||2
x x δ
δ-=
<时
()()()()21212||2
f x f x f x x δ
εδ'-=-≥
⋅=1 所以可得()f x 在区间[)2,+∞上是非一致连续的。

6结束语
本文主要讲述了一致连续性的6个判定定理和相关的4个性质，并给出了它们的详细证明过程，在证明的过程中主要用了数列极限﹑连续﹑可导﹑利普希茨条件等等
①
吴良森等．数学分析习题精解·单变量部分[M]，北京科学出版社，2002．
性质，通过论文的撰写，我对函数的一致连续性有了更好的了解，只要用心探索我们就可以知道判断函数一致连续性的方法有很多，本文只是列举了几个，在遇到具体问题时我们要学会具体对待并灵活运用各种方法，一定要牢牢掌握判断函数一致连续性的方法及函数的一致连续的性质。

参考文献
[1]华东师范大学数学系．数学分析[M]，北京：高等教育出版社，2001．
[2]范新华．判别函数一致连续的几种方法[J]，常州工学院学报，2004（8）．
[3]常明．一元函数一致连续性的判定及性质[J],平顶山市宝丰一高，2009 ．
[4]瞿滨．一致连续性的一个判别法[J],哈尔滨师范大学自然科学学报，1996．
[5]袁南桥．一致连续函数的判别及分布[J]，四川文理学院学报（自然科学），2007．
[6]王少英．任意区间上一致连续函数的判定[J]，雁北师范学院学报，2007（4）．
[7]钱吉林．等数学分析题解精粹[M]，武汉：崇文书局，2003．
[8]曾捷等．数学分析（下册）同步辅导及习题全解，北京：中国矿业大学出版社，2008．
[9]刘勇．关于一元函数一致连续性的讨论[J],赤峰学院学报，2009（11）．
[10]吴良森等．数学分析习题精解·单变量部分[M]，北京科学出版社，2002．
11。