江西省上饶市2019-2020学年高考数学模拟试题(3)含解析

江西省上饶市2019-2020学年高考数学模拟试题（3）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函22()(sin cos )2cos f x x x x =++，,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，则()f x 的最小值为（ ）
A ．2-
B ．1
C ．0
D ．
【答案】B 【解析】 【分析】
())2,4f x x π=++,44x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
，32444x πππ-≤+≤利用整体换元法求最小值.
【详解】
由已知，2
()12sin cos 2cos sin 2cos22f x x x x x x =++=++)2,4
x π
=
++
又44x ππ-
≤≤，32444
x πππ∴-≤+≤，故当244x ππ+=-，即4π
x =-时，min ()1f x =.
故选：B. 【点睛】
本题考查整体换元法求正弦型函数的最值，涉及到二倍角公式的应用，是一道中档题.
2．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）
A ．22(3)2x y -+=
B ．22(3)8x y -+=
C ．22(3)2x y ++=
D ．22(3)8x y ++=
【答案】A 【解析】 【分析】
计算AB 的中点坐标为()3,0，圆半径为r =.
【详解】
AB 的中点坐标为：()3,0，圆半径为2
2
AB
r ==
=， 圆方程为2
2
(3)2x y -+=. 故选：A . 【点睛】
本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.
3．已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3元）．甲、乙租车费用为1元的概率分别是0.5、0.2，甲、乙租车费用为2元的概率分别是0.2、0.4，则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（ ） A ．0.18 B ．0.3
C ．0.24
D ．0.36
【答案】B 【解析】 【分析】
甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得． 【详解】
由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是0.3,0.4， ∴甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为
0.50.20.20.40.30.40.3P =⨯+⨯+⨯=．
故选：B ． 【点睛】
本题考查独立性事件的概率．掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础．
4．点P 为棱长是2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点M 为11B C 的中点，若满足
DP BM ⊥，则动点P 的轨迹的长度为（ ）
A B C D 【答案】C 【解析】 【分析】
设1B B 的中点为H ，利用正方形和正方体的性质，结合线面垂直的判定定理可以证明出BM ⊥平面
DCH ，这样可以确定动点P 的轨迹，最后求出动点P 的轨迹的长度.
【详解】
设1B B 的中点为H ，连接,CH DH ，因此有CH BM ⊥，而DC MB ⊥，而,DC CH ⊂平面CDH ，
DC CH C =I ，因此有BM ⊥平面DCH ，所以动点P 的轨迹平面DCH 与正方体1111ABCD A B C D -的
内切球O 的交线. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以内切球O 的半径为1R =，建立如下图所示的以D 为坐标原点的空间直角坐标系：
因此有(1,1,1),(0,2,0),(2,2,1)O C H ，设平面DCH 的法向量为(,,)m x y z =u r
，所以有
200(1,0,2)220
0y m DC m DC m x y z m DH m DH ⎧⎧=⎧⊥⋅=⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨++=⊥⋅=⎩⎩⎩u u u v u u u v v v v u u u u v u u u u v v v ，因此O 到平面DCH 的距离为：5m OD
d m
⋅==u r u u u r u r ，所以截面圆的半径为：2225r R d =-=，因此动点P
的轨迹的长度为
452r ππ=
. 故选：C
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定定理的应用，考查了立体几何中轨迹问题，考查了球截面的性质，考查了空间想象能力和数学运算能力.
5．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为
(mod )N n m =，例如112(mod3)=．现将该问题以程序框图的算法给出，执行该程序框图，则输出的n
等于（ ）．
A ．21
B ．22
C ．23
D ．24
【答案】C 【解析】
从21开始，输出的数是除以3余2，除以5余3，满足条件的是23，故选C. 6．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U C A =（ ） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}-
C ．{1,0,2}-
D ．{1,0,1}-
【答案】B 【解析】 【分析】
先化简集合A,再求U C A . 【详解】
由21x < 得： 11x -<< ，所以{}0A = ，因此{}1
,1,2U A =-ð ，故答案为B 【点睛】
本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.
7．已知正项等比数列{}n a 中，存在两项,m n a a 13a =，65423a a a =+，则14
m n
+的最小值是（ ） A ．
32
B ．2
C ．
73
D ．
94
【答案】C 【解析】 【分析】
由已知求出等比数列{}n a 的公比，进而求出4m n +=，尝试用基本不等式，但*,m n ∈N 取不到等号，所以考虑直接取,m n 的值代入比较即可. 【详解】
65423a a a =+Q ，2230q q ∴--=，3q ∴=或1q =-（舍）.
13a =Q ，2221139m n m n a a a a +-∴⋅=⋅=，4m n ∴+=.
当1m =，3n =时
1473
m n +=； 当2m =，2n =时
1452
m n +=； 当3m =，1n =时，1413
3m n +=，所以最小值为73
. 故选:C.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题. 8．已知集合{}
}2
42{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=
A ．}{43x x -<<
B ．}{42x x -<<-
C ．}{22x x -<<
D ．}{23x x <<
【答案】C 【解析】 【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】
由题意得，{}{}
42,23M x x N x x =-<<=-<<，则
{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．
【点睛】
不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 9．如图，圆锥底面半径为2，体积为
22
3
π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．
104
D 5 【答案】D 【解析】 【分析】
建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离. 【详解】
将抛物线放入坐标系，如图所示，
∵2PO =，1OE =，2OC OD ==
∴(2C -，设抛物线22y px =，代入C 点， 可得2
2y x =- ∴焦点为1,02⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 即焦点为OE 中点，设焦点为F ，
12EF =
，1PE =，∴5
2
PF =
. 故选：D 【点睛】
本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论证能力，应用意识.
10．已知集合{}0,1,2,3A =，}{
2
1,B x x n n A ==-∈，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
【答案】B 【解析】 【分析】
根据集合A 中的元素，可得集合B ，然后根据交集的概念，可得P ，最后根据子集的概念，利用2n 计算，可得结果. 【详解】
由题可知：{}0,1,2,3A =，}{
2
1,B x x n n A ==-∈
当0n =时，1x =- 当1n =时，0x = 当2n =时，3x = 当3n =时，8x =
所以集合}{
{}2
1,1,0,3,8B x x n n A ==-∈=-
则{}0,3P A B =⋂= 所以P 的子集共有224= 故选：B 【点睛】
本题考查集合的运算以及集合子集个数的计算，当集合P 中有n 元素时，集合P 子集的个数为2n ，真子集个数为21n -，非空子集为21n -，非空真子集为22n -，属基础题.
11．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1
PF 与y 轴交于点M ，若1
2||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）
A ．3y x =±
B ．y =
C ．2y x =±
D ．y =
【答案】C 【解析】 【分析】
利用三角形1OMF ∆与2PF F ∆相似得122PF PF =，结合双曲线的定义求得,,a b c 的关系，从而求得双曲线的渐近线方程。

【详解】
设1(,0)F c -，2(,0)F c ，
由1
2||FO OM =，1OMF ∆与2PF F ∆相似， 所以
1
12
2||P F F P OM F O ==，即122PF PF =， 又因为122PF PF a -=， 所以14PF a =，22PF a =，
所以2224164c a a =+，即225c a =，224b a =， 所以双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 故选：C. 【点睛】
本题考查双曲线几何性质、渐近线方程求解，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力。

12．要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ）
A ．向右平移
6
π
个单位 B ．向右平移
3
π
个单位
C ．向左平移3
π
个单位 D
．向左平移
6
π
个单位 【答案】D 【解析】 【分析】
直接根据三角函数的图象平移规则得出正确的结论即可； 【详解】
解：函数sin 2sin 236y x x ππ⎡⎤⎛⎫
⎛⎫=+
=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎣⎦， ∴要得到函数sin 23y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，
只需将函数sin 2y x =的图象向左平移6
π
个单位． 故选：D ． 【点睛】
本题考查三角函数图象平移的应用问题，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．若x 、y 满足约束条件3236y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
，则2z x y =+的最小值为______.
【答案】1 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用平移直线的方法找出使得目标函数2z x y =+取得最小时对应的最优解，代入目标函数计算即可. 【详解】
作出不等式组3236y x y x y ≤⎧⎪
+≥⎨⎪-≤⎩
所表示的可行域如下图所示：
联立2
36
x y x y +=⎧⎨
-=⎩，解得31x y =⎧⎨=-⎩，即点()3,1A -，
平移直线2z x y =+，当直线2z x y =+经过可行域的顶点()3,1A -时，该直线在x 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即()min
3211z =+⨯-=.
故答案为：1. 【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 14．如图，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动
点，则()
PA PB PC +⋅u u u r u u u r u u u r
的最小值为 .
【答案】92
-. 【解析】
(
)
2239
222(
)2()2
22
PO PC
PA PB PC PO PC PO PC ++⋅=⋅=-≥-=-⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
.
15．某班星期一共八节课（上午、下午各四节，其中下午最后两节为社团活动），排课要求为：语文、数学、外语、物理、化学各排一节，从生物、历史、地理、政治四科中选排一节.若数学必须安排在上午且与外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻），则不同的排法有__________种. 【答案】1344 【解析】 【分析】
分四种情况讨论即可 【详解】
解：数学排在第一节时有：1
4
1
444384C A C ⨯⨯= 数学排在第二节时有：1
4
1
344288C A C ⨯⨯= 数学排在第三节时有：1
4
1
344288C A C ⨯⨯= 数学排在第四节时有：1
4
1
444384C A C ⨯⨯= 所以共有1344种 故答案为：1344 【点睛】
考查排列、组合的应用，注意分类讨论，做到不重不漏；基础题.
16．（5分）某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E 和锌、硒等微量元素（这些元素可以延缓衰老，还能起到抗癌的效果）对人体的作用，现从4只雌蛙和2只雄蛙中任选2只牛蛙进行抽样试验，则选
出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的概率是____________． 【答案】
35
【解析】 【分析】 【详解】
记4只雌蛙分别为a b c d ,,,
，2只雄蛙分别为,A B ，从中任选2只牛蛙进行抽样试验，其基本事件为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)a b a c a d a A a B b c b d b A b B c d c A c B d A d B A B ，共
15个，选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙包含的基本事件为
(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a A a B b A b B c A c B d A d B (,)A B ，共9个，故选出的2只牛蛙中至少有1只雄蛙的
概率是93155
P =
=． 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的各项均为整数，它们的前n 项和分别为,n n S T ，且1122b a ==，232254,11b S a T =+=.
（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求112233n n n M a b a b a b a b =++++L ； （3）是否存在正整数m ，使得1
m m m m
S T S T +++恰好是数列{}n a 或{}n b 中的项？若存在，求出所有满足条件的m 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）121,23n n n a n b -=-=⋅；（2）2(1)32n n M n =-⋅+；（3）存在，1. 【解析】 【分析】
（1）利用基本量法直接计算即可； （2）利用错位相减法计算；
（3）21*
121313
m m
m m m m S T m N S T m +++-+=∈+-+，令21*213,13m m m L L N m +-+=∈-+可得()2(1)1(3)3m L m L --=-，13L <…，讨论即可. 【详解】
（1）设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ， 因为11232222,54,11b a b S a T ===+=，
所以2(33)5412211q d d q +=⎧⎨+++=⎩，即(1)928q d d q +=⎧⎨+=⎩，解得32q d =⎧⎨=⎩，或325
q d ⎧
=⎪⎨⎪=⎩（舍去）.
所以121,23n n n a n b -=-=⋅.
（2）()21
112233123235232123n n n n M a b a b a b a b n -=++++=⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅+-⨯⨯L ，
213123323(23)23(21)23n n n M n n -=⨯⨯+⨯⨯++-⨯⨯+-⨯⨯L ，
所以(
)21
224333
(21)23n n
n M n --=++++--⨯⨯L ，
13(13)
24(42)34(44)313
n n n n n --=+⨯--⨯=---⋅-
所以2(1)32n n M n =-⋅+.
（3）由（1）可得2
n S n =，31=-n n T ，
所以21
121313
m m m m m m S T m S T m +++-+=+-+.
因为1m m m m S T S T +++是数列{}n a 或{}n b 中的一项，所以21
*2
13,13
m m m L L N m +-+=∈-+， 所以()
2(1)1(3)3m
L m L --=-，因为210,30m m ->…，
所以13L <„，又*L N ∈，则2L =或3L =. 当2L =时，有(
)
2
13
m
m -=，即
()
2
113m
m
-=，令21
()3
m m f m -=.
则22211
(1)11223
(1)()333m m m m m m m f m f m +++----+-=
-=-. 当1m =时，(1)(2)f f <；当2m ≥时，()()10f m f m +-<， 即(1)(2)(3)(4)f f f f <>>>⋅⋅⋅.
由1(1)0,(2)3f f ==，知()2113
m m -=无整数解. 当3L =时,有2
10m -=，即存在1m =使得21
2
13313
m m
m m +-+=-+是数列{}n a 中的第2项， 故存在正整数1m =，使得1
m m m m
S T S T +++是数列{}n a 中的项.
【点睛】
本题考查数列的综合应用，涉及到等差、等比数列的通项，错位相减法求数列的前n 项和，数列中的存在性问题，是一道较为综合的题.
18．已知公比为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，372
S =
.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设(21)2
n
n n a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2
12n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭
（2）1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）判断公比q 不为1，运用等比数列的求和公式，解方程可得公比q ，进而得到所求通项公式；
（2）求得1
(21)1(21)22n n n n a b n --⎛⎫==-⋅ ⎪
⎝⎭
，运用数列的错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，
计算可得所求和. 【详解】
解：（1）设公比q 为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，37
2
S =， 可得1q =时，317
362
S a ==≠，不成立； 当1q ≠时，()3321712
q S q
-==
-，即2
714q q ++=， 解得12q =
（3
2
-舍去）， 则1
2
11222n n n a --⎛⎫
⎛⎫=⨯= ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
；
（2）1
(21)1(21)22n n n n a b n --⎛⎫
==-⋅ ⎪
⎝⎭
，
前n 项和0
1
2
1
1111135(21)2222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，
1
2
3
11111135(21)22222n
n T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ， 两式相减可得123111111112(21)222222n n
n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+++++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦L
111112212(21)1212
n n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫
⎝⎭=+⋅--⋅ ⎪⎝⎭-，
化简可得1
16(23)2n n T n -⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
.
【点睛】
本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别是12,F F ，点3(1,)2P 在椭圆C 上，满足
129
4
PF PF ⋅=u u u r u u u u r
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线1l 过点P ，且与椭圆只有一个公共点，直线1l 与2l 的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点P 的两点,M N ，与直线1x =交于点K （K 介于,M N 两点之间），是否存在直线2l ，使得直线1l ，2l ，,PM PN 的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出2l 的方程，若不能，请说理由.
【答案】（1）22143
x y +=；
（2）不能，理由见解析 【解析】 【分析】
（1）设()12(,0),,0F c F c -，则212
99144
PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线1l 的方程为3(1)2
y k x -=-，联立直线与椭圆的方程可求得12k =-，则直线2l 斜率为1
2，
设其方程为11221
,(,),(,)2
y x t M x y N x y =+，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得,PM PN 关于
1x =对称，可求得1211
,22
l l k k =-=，假设存在直线2l 满足题意，设,PM PN k k k k =-=，可得12k =，由
此可得答案． 【详解】
解：（1）设()12(,0),,0F c F c -，则2
12
99144PF PF c ⋅=-+=u u u r u u u u r ， 21,2,3c a b ∴===，
所以椭圆方程为22
143
x y +=；
（2）设直线1l 的方程为3
(1)2
y k x -
=-，
与
22
1
43
x y
+=联立得222
(34)4(32)(32)120
k
x k k x k
++-+--=，
∴
1
0,
2
k
∆==-，
因为两直线的倾斜角互补，所以直线2l斜率为
1
2
，
设直线的方程为
1122
1
,(,),(,)
2
y x t M x y N x y
=+，
联立整理得2222
1212
30,0,4,,3
x tx t t x x t x x t
++-=∆><+=-=-，
12
1212
1212
33
(2)()(23)
220
11(1)(1)
PM PN
y y x x t x x t
k k
x x x x
--+-+--
∴+=+==
----
，
所以,
PM PN关于1
x=对称，
由正弦定理得,
sin sin sin sin
PM MK PN NK
PKM MPK PKN NPK
==
∠∠∠∠
，
因为,180
MPK NPK PKM PKN︒
∠=∠∠+∠=,所以PM KN PN KM
⋅=⋅，
由上得
12
11
,
22
l l
k k
=-=，
假设存在直线2l满足题意，
设,
PM PN
k k k k
=-=，
11
,,,
22
k k
--按某种排列成等比数列，设公比为q，则1
q=-，所以
1
2
k=，则此时直线PN与
2
l平行或重合，与题意不符，
所以不存在满足题意的直线2l．
【点睛】
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．
20．如图，在正四棱柱1111
ABCD A B C D
-中，已知1
AB=，12
BB=.
（1）求异面直线1A C与直线1
AD所成的角的大小；
（2）求点C到平面11
AB D的距离.
【答案】（1）
30
；（2）
4
3
.
【解析】 【分析】
（1）建立空间坐标系，通过求向量1
AC u u u r 与向量1AD u u u u r
的夹角，转化为异面直线1A C 与直线1AD 所成的角的大小；（2）先求出面11AB D 的一个法向量，再用点到面的距离公式算出即可． 【详解】
以1A 为原点，1111,,A B A D A A 所在直线分别为,,x y z 轴建系，
设11(000),(112),(002),(0,10)A C A D ，
，，，，，， 所以1
(112)AC =，，,1(012)AD =-u u u u r
，，
111111
cos ,A C AD A C AD A C AD ⋅<>===u u u r u u u u r
u u u r u u u u r u u u r u u u u r ,
所以异面直线1A C 与直线1AD
，异面直线1A C 与直线1AD
所成的角的大小为． （2）因为1(012)AD =-u u u u r ，，，11(1,10)B D =-u u u u r ， ，设(,,)n x y z =r
是面11AB D 的一个法向量，
所以有1110
n AD n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u v v u u u u
v v 即200y z x y -=⎧⎨-+=⎩ ，令1x = ，11,2y z == ，故1(1,1,)2n =r ， 又1
(102)DC =u u u u r ，，，所以点C 到平面11AB D
的距离为14
3n D C n
⋅==r u u u u r r . 【点睛】
本题主要考查向量法求异面直线所成角的大小和点到面的距离，意在考查学生的数学建模以及数学运算能力．
21．已知12,F F 分别是椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点，直线23b y =与C 交于,A B 两点，
290AF B ∠=o ，且220
9
F AB S ∆=
． （1）求C 的方程；
（2）已知点P 是C 上的任意一点，不经过原点O 的直线l 与C 交于,M N 两点，直线,,,PM PN MN OP 的斜率都存在，且0MN OP k k +=，求PM PN k k ⋅的值．
【答案】（1）22
1
54
x y +=（2）45 【解析】 【分析】 （1
）不妨设2,3A a b ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，计算得到2245a b =
，根据面积得到a b ⋅=到答案.
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程利用韦达定理得到00
122
mx y x x +=
，22
2
0120
4
m x x x x =-，代入化简计算得到答案. 【详解】
（1
）由题意不妨设2,3A b ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，2,3B b ⎫⎪⎪⎝⎭，
则223b F A c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u u r
，223b F B c ⎛⎫
=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
u u u u r ．
∵290AF B ∠=o
，∴22
22254099
b F A F B
c a ⋅=-+=u u u u r u u u u r ，∴2245a b =．
又2
1220
2339
F AB b S ∆=⨯⋅=
，∴a b ⋅=
∴a =2b =，故C 的方程为22
154
x y +=．
（2）设()00,P x y ，()11,M x y ，()22,N x y ，则0
OP y k x =．∵0OP MN k k +=， ∴0
0MN y k x =-
，设直线MN 的方程为()00
0y y x m m x =-
+≠， 联立0022
,1,5
4y y x m x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩整理得()()22222
000004510540x y x mx y x x m +-+-=． ∵P 在C 上，∴22
004520x y +=，∴上式可化为(
)
22
2
0004240x mx y x x m -+-=．
∴00122mx y x x +=，22
2
0120
4
m x x x x =-，()22220044160x m y m ∆=-+>，
∴()()22000
1212042225
m y y mx y y x x m x -+=-++=
=， ()2
200001212121220000y y y my
y y x m x m x x x x m x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
222
2
22
0000145y m x m y y ⎛⎫=--=- ⎪⎝
⎭，
∴()()()222
2
22
0001020120120
00
255
m x mx y y y y y y y y y y y y y --=-++=--+ 222000
25
m x mx y -=
()()()
2222000
1020120120
24
m x mx y x x x x x x x x x x ---=-++=． ∴102010204
5
PM PN y y y y k k x x x x --⋅=⋅=--．
【点睛】
本题考查了椭圆方程，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=⎧⎨=+⎩（α为参数，以坐标原点O 为极点，x
轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4． （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的普通方程； （2）设射线:6
OP π
θ=与曲线1C 交于不同于极点的点A ，与曲线2C 交于不同于极点的点B ，求线段AB
的长．
【答案】（1）=4sin ρθ；()2
224x y -+=（2
）2 【解析】 【分析】
()1曲线1C 的参数方程转换为直角坐标方程为22(2)4x y +-=．再用极直互化公式求解，曲线2C 的极坐
标方程用极直互化公式转换为直角坐标方程2
2
(2)4x y -+=．
()2射线OP 与曲线1C 的极坐标方程联解求出12ρ＝，射线OP 与曲线2C
的极坐标方程联解求出
2＝ρ 再用 12AB ρρ=-得解
【详解】
解：()1曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα
=⎧⎨
=+⎩（α为参数，转换为直角坐标方程为22
(2)4x y +-=．把
cos x ρθ=，sin x ρθ=代入得：=4sin ρθ
曲线2C 的极坐标方程为cos ρθ=4．转换为直角坐标方程为22
(2)4x y -+=．
()2设射线:6
OP π
θ=
与曲线1C 交于不同于极点的点A ，
所以6
4sin πθρθ
⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12ρ＝． 与曲线2C 交于不同于极点的点B ，
所以6
4cos πθρθ
⎧=⎪⎨⎪=⎩
，解得2ρ=
所以122AB ρρ=-=
【点睛】
本题考查参数方程、极坐标方程直角坐标方程相互转换及极坐标下利用ρ和θ的几何意义求线段的长.（1）直角坐标方程化为极坐标方程只需将直角坐标方程中的,x y 分别用cos ρθ，sin ρθ代替即可得到相应极坐标方程．参数方程化为极坐标方程必须先化成直角坐标方程再转化为极坐标方程.（2）直接求解，能达到化繁为简的解题目的；如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决.
23．已知()0,2P -，点,A B 分别为椭圆()22
22:10x y E a b a b
+=>>的左、右顶点，直线BP 交E 于另一
点,Q ABP ∆为等腰直角三角形，且:3:2PQ QB =. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设过点P 的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，总使得MON ∠为锐角，求直线l 斜率的取值范围.
【答案】（Ⅰ）2
14x y +=；
（Ⅱ）2,,222⎛⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭. 【解析】 【分析】
（Ⅰ）由题意可知：由32
PQ QB =u u u r u u u r
，求得Q 点坐标，即可求得椭圆E 的方程；
（Ⅱ）设直线2y kx =-，代入椭圆方程，由韦达定理，由>0∆，由MON ∠为锐角，则0OM ON >u u u u r u u u r
g ，
由向量数量积的坐标公式，即可求得直线l 斜率的取值范围． 【详解】
解：（Ⅰ）根据题意ABP ∆是等腰直角三角形 2a ∴=，
()20B ∴,，
设()
,Q Q Q x y 由:3:2PQ QB =
得32PQ QB =u u u r u u u r
则65
45Q Q x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
代入椭圆方程得21b =
∴椭圆E 的方程为2
14
x y +=
（Ⅱ）根据题意，直线l 的斜率存在，可设方程为2y kx =- 设()()1122,,M x y N x y
由22
214
y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()
22
1416120k x kx +-+= 由直线l 与椭圆E 有两个不同的交点则>0∆ 即()(
)2
2
16412140k k --⨯⨯+>
得2
34
k >
又122
12216141214k x x k x x k ⎧
+=⎪⎪+⎨
⎪=
⎪+⎩
∠Q MON 为锐角则cos 0MON ∠> 121200OM ON x x y y ∴⋅> ∴+>u u u u r u u u r
()()()()2121212121212221240x x y y x x kx kx k x x k x x +=+--=+-++>Q
即(
)2
2
2
12
1612401414k
k
k
k
k
+-+>++ 24k ∴< ②
由①②得
22k <<或22
k -<<-
故直线l 斜率可取值范围是2,2⎛⎫
-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．。