2020学年高中数学第四章定积分章末检测北师大版选修2-2(2021-2022学年)

章末检测
时间:90分钟 满分:100分 第Ⅰ卷（选择题，共40分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1。

错误!(e x
＋e -x
）d ｘ等于( ） A ．ｅ+错误! ﻩ B.2e Ｃ.＼ｆ（2,e) ﻩ ﻩ
ﻩﻩﻩＤ.e －1
e
解析：错误!未定义书签。

(e x
+ｅ
－ｘ
)ｄx ＝错误!未定义书签。

e ｘ
d x +错误!
e －x
d x
=e x
|错误!＋(－e -x
)|错误!＝e －e ０
－ｅ-1
+e 0
＝e-错误!。

答案:D
2．下列值等于１的积分是( ) Ａ。

错误!（x -1)d ｘ ﻩ
ﻩ
B.错误!x 2
d x C.错误!未定义书签。

1d x ﻩﻩﻩ
ﻩＤ。

错误!x 3
ｄｘ
解析:错误!未定义书签。

１d x ＝x |错误!未定义书签。

＝1. 答案：C
３.已知f （x )为偶函数,且ｆ（ｘ)d ｘ=８，则错误!未定义书签。

f (x )d x 等于( )
A ．0 ﻩ
ﻩ
ﻩ
B ．４
C.８ ﻩ
ﻩﻩﻩ ﻩ
D.16
解析：由f （x ）为偶函数,知f (x ）的图像关于ｙ轴对称， 则错误!未定义书签。

-6f （ｘ)ｄx =2错误!f （x )d x =8， ∴错误!f (x ）d x ＝4. 答案:B
４.(１－2ｓin
2
错误!
）d θ的值为（ ）
6
6-⎰
3
π
⎰
A.－错误!未定义书签。

ﻩﻩ ﻩﻩﻩ
B.－错误!
C 。

错误!未定义书签。

ﻩ ﻩﻩﻩﻩ
ﻩＤ.错误!未定义书签。

解析:∵1-2si ｎ
2错误!未定义书签。

＝cos θ,
∴
(1-２ｓin
2
错误!
)d θ＝
co ｓ θd θ＝sin θ|错误!未定义书签。

0＝错误!未定义书
签。

.
答案:D
５.已知将弹簧拉长０.0２米,需要９8 N 的力,则把弹簧在弹性限度范围内拉长了0。

1米所做的功为( ）
A ．24.5 Ｊ ﻩﻩ
ﻩB ．23。

5 Ｊ
C.２２.5 J ﻩ
ﻩﻩﻩﻩﻩＤ.２５.0 J
解析:根据F (x ）=kx ,则k ＝错误!=4 900，故F (x ）=４ 90０ｘ,因而∫错误!未定义书签。

４ 90０
x ｄx =4 ９０0×（错误!未定义书签。

x ２|错误!未定义书签。

）=4 90０×错误!未定义书签。

×
０。

０１=2４。

5 J. 答案：Ａ
６．曲线y 2
=ｘ与直线y ＝x ,y
＝3所围成图形的面积,表示正确的是( ） A.ﻩﻩ
B ．
C 。

错误!未定义书签。

(ｙ2
-y )ｄy
ﻩﻩﻩ Ｄ．
解析：由错误!所以错误!或错误!由错误!未定义书签。

得（3, 错误!未定义书签。

). 其图像如图所示，
因而Ｓ＝,注意数形结合.
答案：D
7.定积分∫错误!(1-cos x )d x 的值为（ )
ﻬA ．π
ﻩﻩﻩ Ｂ．2π
C ．－2π ﻩﻩﻩﻩﻩ ﻩﻩＤ．2π-１
解析:∫错误!未定义书签。

(1－ｃos x )d x 是由曲线y ＝
cos x ,直线ｘ
30
π
⎰
30
π⎰
3
2
()d y y y
⎰
－3
1
()d x x y
⎰
－3
21
()d y y
⎰
－y 3
21()d y y
⎰
－y
=0,x ＝2π，y ＝1围成的图形的面积（如图所示的阴影部分）,由余弦函数ｙ＝cos ｘ的图像的对称性知阴影部分的面积正好是矩形AB ＣD 面积的一半.
∴∫错误!未定义书签。

（１－cos x )ｄx =＼f （１，2）×２×2π=２π. 答案:B
8．做直线运动的质点在任意位置ｘ处,所受的力Ｆ（x ）＝１－ｅ-ｘ
,则质点从x 1=0,沿x 轴运动到x 2＝1处,力F （x ）所做的功是( ） A.e ﻩ
ﻩﻩ
B 。

错误!未定义书签。

C ．2ｅ ﻩﻩﻩ
ﻩ
D 。

错误!未定义书签。

解析:由Ｗ=错误!未定义书签。

（1－ｅ－x
)d x ＝错误!未定义书签。

1d ｘ-∫＼ｏ＼a ｌ(1
，0)e －x
ｄx =x |错误!+ｅ-x
｜错误!未定义书签。

＝１+错误!未定义书签。

－1=错误!. 答案:Ｂ 9．计算定积分 (｜２x ＋3|+|3-2ｘ｜）d x 等于( ） Ａ．４5 ﻩ ﻩﻩﻩ
B ．１０
Ｃ.12 ﻩ
ﻩﻩﻩ ﻩ
D ．0
解析:设ｙ＝|2x ＋３|+|3-2ｘ|=错误!未定义书签。

∴ (｜２x +3|＋｜3－２x ｜）ｄｘ
=
（－4x )d ｘ＋
6d x +
４x d x
＝-2x
2
+６ｘ
+2x
2
=（－２)×（-错误!)2
－(－2)×(-3）2
＋６×错误!-6×（－错误!)+2×32
-2×（错误!未定义书
签。

）２=4５.
答案:A
ﻬ10.给出下列命题：
①错误!１ｄx =错误!1d t =b -a (a ,ｂ为常数且a <b ); ②ｘ2d x =错误!x 2ｄx ;
③曲线y ＝sin x ,ｘ∈[０，2π］与直线y =0围成的两个封闭区域面积之和为2。

其中正确命题的个数为（ ) A.０ ﻩ ﻩ
ﻩﻩＢ.１ C ．2
ﻩﻩﻩﻩﻩ
D.3
3
3
-⎰
3
3
-
⎰
2
3
--⎰32
32
-⎰
332
⎰
32
--
32
32
-
332
⎰
1
-⎰
解析:错误!未定义书签。

１d ｔ＝ｂ-ａ≠错误!未定义书签。

1d x =ａ－b ,故①错；ｙ＝x 2
是偶函数,其在[-1,０］上的积分等于其在[0,1]上的积分，故②正确；对于③有S =2∫错误!ｓｉn x ｄx =4，故③错. 答案:B
第Ⅱ卷(非选择题，共６0分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分,把答案填在题中横线上) 1１．若错误!未定义书签。

（2x ＋k )d x =2，则k ＝_＿_＿___＿． 解析：错误!未定义书签。

（2x +k )ｄｘ＝(x 2
＋ｋx )|错误!=１+k , 即１+k ＝2，∴k ＝1. 答案:1
12．已知函数ｆ(x )＝3x ２
＋2ｘ+１,若ｆ(x ）d x ＝2f (ａ)成立,则a ＝____＿＿__。

解析: f (ｘ）d x ＝ (3ｘ2
+2ｘ+1）d x
=(x ３
＋x ２
＋x ）|＼o ＼ａl(1
,-1）=4,
所以2(3ａ2
+２a ＋1)＝４,即３a 2
+２a －1＝０, 解得a =－1或ａ=＼f （1，3)． 答案：－１或＼f （1,3）
13.若等比数列{a n ｝的首项为＼f(2,３）,且ａ4=错误!未定义书签。

（１+２x )d x ，则公比等于__＿＿_＿＿_．
解析:错误!未定义书签。

（1＋2ｘ)ｄx ＝(x +x 2
)|4
1=20-2＝１8，
ﻬｑ
3
＝错误!＝2７,∴q ＝３.
答案:3 1４。

|x |d x ＝____＿___.
解析： |x |d x =错误!－a （-x )d x +错误!未定义书签。

x d ｘ
＝－错误!x ２
|错误!+错误!未定义书签。

x 2
|错误!＝a 2。

答案:a ２
三、解答题(本大题共4小题,共4４分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) １5．（10分)计算下列定积分的值: （１)(4ｘ－x 2
)d x ;
(2）(＼ｆ（1，x )＋2ｃos x )d x ;
1
1-⎰
1
1
-⎰
1
1
-⎰
a
a -⎰
a
a
-⎰
3
1-⎰
2
1
x ⎰
（3）错误!未定义书签。

(２x －错误!)ｄｘ. 解析:(１） (4x -x 2)d x ＝(2x ２
-错误!)｜错误!未定义书签。

=错误!未定义书签。

．
（2)
（错误!+2ｃos x )ｄx =(ln x +２sin x ）
=ln 错误!+2－2sin 1。

(3）错误!（２x －错误!未定义书签。

）d x ＝（ｘ2
＋错误!)|错误!＝错误!．
１6．(１０分)某物体以初速度5开始做直线运动,已知在任意时刻t 时的加速度为ｔ2
+２ｔ,请将位移
s 表示为时间ｔ的函数式.
解析:物体从起始点做匀变速直线运动，在时刻t 的位移s ＝s (t ),速度v ＝ｖ（t ）,加速度ａ＝a （t ）.从加速度求速度，再求位移.根据初始条件,就可确定位移s 的表达式． 在时间区间［0,ｔ]上(t >0),由微积分基本定理，得
v （t ）－v (0)＝错误!未定义书签。

ａ（ｔ）ｄt =错误!0(t 2＋2t ）ｄt ＝错误!＋t 2，
由v （0）＝５,得ｖ(t ）=错误!＋t 2
+５。

又ｓ(t ）-s (0）=错误!未定义书签。

v (t ）d t =错误!（错误!+t 2
＋5）ｄt
ﻬ=
１12
t 4
+错误!t 3+5t . 由s （0)=0，得s ＝s (ｔ)=错误!未定义书签。

t 4
＋错误!t 3
＋5ｔ。

17.（１２分）如图所示,求由曲线ｙ=错误!x 2
，x ∈［0,3]，x =０及y =2错误!所围成的平面图形绕ｙ轴旋转一周所形成几何体的体积.
解析:根据题意和图形,所求体积
Ｖ＝π（2错误!未定义书签。

）2
d ｙ=4πy d y ＝4π×错误!y 2
＝2π×错误!未定义书签。

=错误!。

１8．(１2分)在曲线y =x ２
(x ≥0)上某一点A 处作一切线，使之与曲线以及x 轴所围成的图形的面积为错误!,试求切点A 的坐标以及过切点A 的切线方程．
解析:如图，设切点A （x ０，y 0)，由ｙ′=2x ,过A 点的切线方程为y -y 0=２x ０（x －x ０),即y =２ｘ0ｘ-ｘ错误!。

3
1
-⎰
21
x ⎰
2
1
x 94
⎰94
⎰
94
令ｙ=０,得ｘ＝错误!，即Ｃ（错误!未定义书签。

,0）. 设由曲线和过点Ａ的切线及x 轴所围成图形的面积为S ，
S ＝S 曲边△AO Ｂ－S △A ＢC , S 曲边△ＡＯB =x 2d x ＝错误!
未定义书签。

ｘ3＝＼f （１,3)x 错误!.
Ｓ△A ＢＣ＝错误!未定义书签。

｜BC ｜·|AB |=错误!(x 0-错误!）·x 错误!＝错误!未定义书签。

x 错误!
未定义书签。

即Ｓ=13
ｘ＼o ＼a ｌ（3
,０)－错误!ｘ错误!未定义书签。

=错误!x 错误!=错误!未定义书签。

x
x
∴x０=1,从而切点A的坐标为（1,1）,切线方程为y=２ｘ-１。

ﻬ。