低秩张量近似定义

低秩张量近似定义
一、低秩张量近似的基本概念
1. 张量的概念（以人教版数学知识为基础的简单理解拓展）
- 在数学中，张量是一种多线性关系的数学对象。

简单来说，如果我们把向量看作是有方向的量（在一维空间中的一种特殊数学对象），矩阵可以看作是二维的数组，那么张量就是更高维的数组。

例如，一个二阶张量可以表示为矩阵的形式，它在物理等很多领域有广泛应用，像应力张量等。

- 设一个张量T∈R^I_1× I_2×·s× I_N，这里I_n表示在第n个维度上的大小。

2. 秩的概念在张量中的延伸
- 在矩阵中，秩表示矩阵中线性无关的行（列）向量的最大个数。

对于张量来说，秩的概念变得更加复杂。

张量秩有不同的定义方式，其中一种常见的定义是基于张量分解的概念。

- 例如，对于一个二阶张量（矩阵）A，如果它可以分解为A = UV^T，其中U 是m× r矩阵，V是n× r矩阵，r就是矩阵A的秩（这里r≤min(m,n)）。

对于高阶张量，也有类似基于分解形式来定义秩的方式。

3. 低秩张量近似的定义
- 低秩张量近似就是找到一个秩相对较低的张量T̂来近似原始的张量T。

- 从数学上来说，给定一个张量T∈R^I_1× I_2×·s× I_N，我们希望找到一个低秩张量T̂，使得某种距离度量d(T,T̂)尽可能小。

常见的距离度量有Frobenius范数，即d(T,T̂)=<=ftlVert T - T̂rightrVert_F=√(∑_{i_1 = 1)^I_1∑_{i_2 = 1}^I_2·s ∑_{i_N = 1}^I_N(T_{i_1i_2·s i_N}-T̂_{i_1i_2·s i_N})^2}。

- 低秩张量近似的意义在于，在很多实际应用中，原始张量可能非常复杂且数据量巨大。

通过找到低秩近似，可以在保持一定精度的情况下，大大降低数据的存储量和计算复杂度。

例如在图像压缩中，图像可以看作是一个张量（如果考虑颜色通道等多维度信息），通过低秩张量近似可以在损失较少图像质量的情况下，减少图像存储所需的空间。

二、低秩张量近似的相关方法（简单介绍）
1. 张量分解方法
- CANDECOMP/PARAFAC (CP)分解
- CP分解将一个N阶张量T分解为R个秩 - 1张量的和，即T=∑_{r = 1}^R λ_ra_r^(1)∘a_r^(2)∘·s∘a_r^(N)，这里λ_r是标量，a_r^(n)是向量，∘表示向量的外积。

通过选择合适的R（相对较小的值），可以得到低秩近似。

- Tucker分解
- Tucker分解将张量T∈R^I_1× I_2×·s× I_N分解为T=G×_1 U^(1)×_2
U^(2)·s×_N U^(N)，其中G是核心张量，U^(n)是正交矩阵。

通过限制核心张量G 的秩，可以实现低秩近似。

2. 优化算法
- 在寻找低秩张量近似时，通常需要解决优化问题。

例如，给定目标函数
J(T̂)=<=ftlVert T-T̂rightrVert_F^2，我们需要找到使J(T̂)最小的低秩张量T̂。

- 常用的优化算法包括交替最小二乘法（ALS）等。

对于基于CP分解的低秩近似，ALS算法通过交替地固定除一个因子矩阵之外的所有因子矩阵，然后最小化目标函数来更新这个因子矩阵，不断迭代直到收敛，从而得到低秩近似的结果。