江西省赣州市2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文(含解析)

2016-2017学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合M={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N={x∈R|x2+3x＜0}，则M∩N=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣3，﹣2，﹣1} D．{﹣2，﹣1} 2．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A．f（x）=x3B．f（x）=x C．f（x）=3x D．f（x）=（）x
3．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）
A． B．a2＞b2
C．a|c|＞b|c| D．
4．曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ化为直角坐标方程后为（）
A．x2+（y﹣3）2=9 B．x2+（y+3）2=9 C．（x+3）2+y2=9 D．（x﹣3）2+y2=9
5．设a=log2，b=30.01，c=ln，则（）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
6．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）
A．0 B．6 C．12 D．18
7．已知函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数g（x）=f（2x﹣1）lg（1﹣x）的定义域是（）
A．[0，1] B．（0，1）C．[0，1）D．（0，1]
8．若函数f（x）=|x+1|+|x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）
A．A、B．2 C．2或﹣4 D．4或﹣2
9．在直角坐标系和以原点为极点，以x轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线l：y+kx+2=0与曲线C：ρ=2cosθ相交，则k的取值范围是（）
A．k∈R B．k≥﹣C．k＜﹣D．k∈R但k≠0
10．设函数f（x）=log x+x﹣a，则“a∈（1，5）”是“函数f（x）在（2，8）上存在零点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
11．已知函数f（x）=sinx，x∈（0，2π），点P（x，y）是函数f（x）图象上任一点，其中0（0，0），A（2π，0），记△OAP的面积为g（x），则g′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
12．已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x ≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f=（）（其中e为自然对数的底）
A．1﹣e B．e﹣1 C．﹣1﹣e D．e+1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知函数f（x）=，则f（f（4））= ．
14．在极坐标系中，O是极点，设点A（1，），B（2，），则△OAB的面积是．15．直线x=a（a＞0）分别与直线y=3x+3，曲线y=2x+lnx交于A、B两点，则|AB|最小值为．
16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆煌一个“太极函数”下列有关说法中：
①对圆O：x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数f（x）=sinx+1是圆O：x2+（y﹣1）2=1的一个太极函数；
③存在圆O，使得f（x）=是圆O的太极函数；
④直线（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1=0所对应的函数一定是圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2=R2（R＞0）的太极函数．
所有正确说法的序号是．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知函数f（x）=e x﹣ax+b．
（1）若f（x）在x=2有极小值1﹣e2，求实数a，b的值．
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求实数a的取值范围．
18．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，﹣1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R，且++=m，求证：a2+b2+c2≥36．
19．设命题p：实数x满足|x﹣1|＞a其中a＞0；命题q：实数x满足＜1
（1）若命题p中a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与圆C：
（θ为参数）相交于A，B两点．
（1）求直线l及圆C的普通方程
（2）已知F（1，0），求|FA|+|FB|的值．
21．已知函数f（x）为二次函数，满足f（0）=1，且f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（2x）=2x+a在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，求实数a的取值范围．22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）求函数g（x）的极小值；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），
证明：＜k＜．
2016-2017学年江西省赣州市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．设集合M={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，N={x∈R|x2+3x＜0}，则M∩N=（）A．{﹣3，﹣2，﹣1，0} B．{﹣2，﹣1，0} C．{﹣3，﹣2，﹣1} D．{﹣2，﹣1} 【考点】1E：交集及其运算．
【分析】解不等式求出集合N，根据交集的定义写出M∩N．
【解答】解：集合M={﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1}，
N={x∈R|x2+3x＜0}={x|﹣3＜x＜0}，
∴M∩N={﹣2，﹣1}．
故选：D．
2．下列函数中，满足“f（x+y）=f（x）f（y）”的单调递增函数是（）
A．f（x）=x3B．f（x）=x C．f（x）=3x D．f（x）=（）x
【考点】3E：函数单调性的判断与证明．
【分析】可先设f（x）为指数函数，并给出证明，再根据指数函数单调性的要求，得出C 选项符合题意．
【解答】解：指数函数满足条件“f（x+y）=f（x）f（y）”，验证如下：
设f（x）=a x，则f（x+y）=a x+y，
而f（x）f（y）=a x•a y=a x+y，
所以，f（x+y）=f（x）f（y），
再根据题意，要使f（x）单调递增，只需满足a＞1即可，
参考各选项可知，f（x）=3x，即为指数函数，又为增函数，
故选：C．
3．若a，b，c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）
A．B．a2＞b2
C．a|c|＞b|c| D．
【考点】71：不等关系与不等式．
【分析】本题中a，b，c∈R，a＞b，三个参数的关系不定，故可以采用排除法对四个选项依次判断，排除错误的，得出正确选项．
【解答】解：A选项不对，当a＞0＞b时不等式不成立，故排除；
B选项不对，当a=0，b=﹣1时不等式不成立，故排除；
C选项不对，当c=0时，不等式不成立，故排除；
D选项正确，由于，又a＞b故
故选D
4．曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ化为直角坐标方程后为（）
A．x2+（y﹣3）2=9 B．x2+（y+3）2=9 C．（x+3）2+y2=9 D．（x﹣3）2+y2=9
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】曲线C的极坐标方程转化为ρ2=6ρsinθ，由此能求出曲线C的直角坐标方程．【解答】解：曲线C的极坐标方程为ρ=6sinθ，
即ρ2=6ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为：x2+y2=6y，
即x2+（y﹣3）2=9．
故选：A．
5．设a=log2，b=30.01，c=ln，则（）
A．c＜a＜b B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜a＜c
【考点】4M：对数值大小的比较．
【分析】由对数的性质知a=＜1，c=ln＜0，由指数的性质知b=30.01＞1，由此能得到a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵a=＜log22=1，
b=30.01＞30=1，
c=ln=﹣＜0，
∴c＜a＜b．
故选：A
6．定义集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，设集合A={0，1}，B={2，3}，则集合A⊙B的所有元素之和为（）
A．0 B．6 C．12 D．18
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】根据定义的集合运算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，将集合A={0，1}，B={2，3}的元素代入求出集合A⊙B后，易得答案．
【解答】解：当x=0时，z=0，
当x=1，y=2时，z=6，
当x=1，y=3时，z=12，
故所有元素之和为18，
故选D
7．已知函数f（x）的定义域是[﹣1，1]，则函数g（x）=f（2x﹣1）lg（1﹣x）的定义域是（）
A．[0，1] B．（0，1）C．[0，1）D．（0，1]
【考点】33：函数的定义域及其求法．
【分析】根据函数f（x）的定义域求出f（2x﹣1）的定义域结合对数函数的性质求出x的范围即可．
【解答】解：由题意得：
，
解得：0≤x＜1，
故选：C．
8．若函数f（x）=|x+1|+|x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）
A．A、B．2 C．2或﹣4 D．4或﹣2
【考点】R4：绝对值三角不等式．
【分析】利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值，再根据它的最小值为3，求得实数a 的值．
【解答】解：∵函数f（x）=|x+1|+|x+a|≥|（x+1）﹣（x+a）|=|a﹣1|的最小值为3，∴|a﹣1|=3，
解得a=4，或a=﹣2，
故选：D．
9．在直角坐标系和以原点为极点，以x轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线l：y+kx+2=0与曲线C：ρ=2cosθ相交，则k的取值范围是（）
A．k∈R B．k≥﹣C．k＜﹣D．k∈R但k≠0
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】先将原极坐标方程ρ=2cosθ两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解．
【解答】解：将原极坐标方程ρ=2cosθ，化为：ρ2=2ρcosθ，化成直角坐标方程为：x2+y2﹣2x=0，
即（x﹣1）2+y2=1．
则圆心到直线的距离d=＜1，
解之得：k＜﹣．
故选：C．
10．设函数f（x）=log x+x﹣a，则“a∈（1，5）”是“函数f（x）在（2，8）上存在零点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】由f（2）f（8）=﹣a•（5﹣a）＜0，解得a范围，即可判断出结论．
【解答】解：由f（2）f（8）=﹣a•（5﹣a）＜0，解得0＜a＜5，
可得函数f（x）在（2，8）上存在零点．
因此a∈（1，5）”是“函数f（x）在（2，8）上存在零点”的充分不必要条件．
故选：A．
11．已知函数f（x）=sinx，x∈（0，2π），点P（x，y）是函数f（x）图象上任一点，其中0（0，0），A（2π，0），记△OAP的面积为g（x），则g′（x）的图象可能是（）
A．B．C．
D．
【考点】3O：函数的图象；63：导数的运算．
【分析】先利用图象确定△OAP的面积为g（x），然后利用导数求出g'（x），然后确定函数g'（x）的图象．
【解答】解：当0＜x＜π时，．
当x=π时，g（x）不存在．
当π＜x＜2π时，．
所以，所以．故g'（x）的图象可能是A．
故选A．
12．已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，且当x ≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，则f=（）（其中e为自然对数的底）
A．1﹣e B．e﹣1 C．﹣1﹣e D．e+1
【考点】3T：函数的值．
【分析】根据图象的平移可知y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，可得函数为奇函数，由题意可知当x≥0时，函数为周期为2的周期函数，可得f=f（0）﹣f（1），求解即可【解答】解：∵y=f（x﹣1）的图象关于（1，0）点对称，
∴y=f（x）的图象关于（0，0）点对称，
∴函数为奇函数，
∵当x≥0时恒有f（x+2）=f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=e x﹣1，
∴f
=f
=f（0）﹣f（1）
=0﹣（e﹣1）
=1﹣e．
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知函数f（x）=，则f（f（4））= ．
【考点】3T：函数的值．
【分析】先求出f（4）=log4=﹣2，从而f（f（4））=f（﹣2），由此能求出结果．
【解答】解：∵函数f（x）=，
∴f（4）=log4=﹣2，
f（f（4））=f（﹣2）=．
故答案为：．
14．在极坐标系中，O是极点，设点A（1，），B（2，），则△OAB的面积是．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．
【分析】在直线坐标系中，O（0，0），A（，），B（0，2），由此能求出△OAB的面积．
【解答】解：∵在极坐标系中，O是极点，设点A（1，），B（2，），
∴在直线坐标系中，O（0，0），A（，），B（0，2），
∴△OAB的面积S△OAB==．
故答案为：．
15．直线x=a（a＞0）分别与直线y=3x+3，曲线y=2x+lnx交于A、B两点，则|AB|最小值为4 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】令f（x）=3x+3﹣2x﹣lnx=x﹣lnx+3，求得导数和单调区间、极值且为最值，即可得到所求最小值．
【解答】解：令f（x）=3x+3﹣2x﹣lnx=x﹣lnx+3，
则f′（x）=1﹣，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴当x=1时，即a=1时，f（x）取得最小值f（1）=4，
∴|AB|的最小值为4．
故答案为：4．
16．太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相互统一的和谐美．定义：能够将圆O的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆煌一个“太极函数”下列有关说法中：
①对圆O：x2+y2=1的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数；
②函数f（x）=sinx+1是圆O：x2+（y﹣1）2=1的一个太极函数；
③存在圆O，使得f（x）=是圆O的太极函数；
④直线（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1=0所对应的函数一定是圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2=R2（R＞0）的太极函数．
所有正确说法的序号是②④．
【考点】2K：命题的真假判断与应用；3O：函数的图象．
【分析】利用新定义逐个判断函数是否满足新定义即可．
【解答】解：对①显然错误，如图
对②，点（0，1）均为两曲线的对称中心，且f（x）=sinx+1能把圆x2+（y﹣1）2=1一分为二，正确；
对③，函数为奇函数f（x）==1+，当x→0（x＞0）时，
f（x）→+∞，
当x→+∞时，f（x）→1，[f（x）＞1]，函数递减；
当x→0（x＜0）时，f（x）→﹣∞，
当x→﹣∞时，f（x）→﹣1，[f（x）＜﹣1]，
函数f（x）关于（0，0）中心对称，有三条渐近线y=±1，x=0，
可知，函数的对称中心为间断点，故不存在圆使得满足题干条件．③不正确；
对于④直线（m+1）x﹣（2m+1）y﹣1=0恒过定点（2，1）的直线，经过圆的圆心，满足题意．④正确；
故所有正确的是②④．
故答案为：②④．
三、解答题（共6小题，满分70分）
17．已知函数f（x）=e x﹣ax+b．
（1）若f（x）在x=2有极小值1﹣e2，求实数a，b的值．
（2）若f（x）在定义域R内单调递增，求实数a的取值范围．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．
【分析】（1）求导函数，根据极值的意义得到关于a，b的方程组，求出a，b的值即可；（2）f（x）在R上单调递增，则f'（x）=e x﹣a≥0恒成立，分离参数，即可求得a的取值范围．
【解答】解：（1）f′（x）=e x﹣a，
若f（x）在x=2有极小值1﹣e2，
则，
解得：；
（2）∵f（x）=e x﹣ax+b，∴f'（x）=e x﹣a，
∵f（x）在R上单调递增，
∴f'（x）=e x﹣a≥0恒成立，
即a≤e x，x∈R恒成立．
∵x∈R时，e x∈（0，+∞），∴a≤0．
即a的取值范围为（﹣∞，0]．
18．已知函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[﹣1，﹣1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R，且++=m，求证：a2+b2+c2≥36．
【考点】R5：绝对值不等式的解法；7F：基本不等式．
【分析】（1）根据不等式的性质得到|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，求出m的值即可；
（2）根据柯西不等式的性质证明即可．
【解答】解：（1）函数f（x）=m﹣|x﹣2|，m∈R，
故 f（x+2）=m﹣|x|，由题意可得m﹣|x|≥0的解集为[﹣1，1]，
即|x|≤m 的解集为[﹣1，1]，故m=1．
（2）证明：由（1）得： ++=1，
由柯西不等式可得：
（++）（a2+b2+c2）≥（1+2+3）2=36，
故a2+b2+c2≥36．
19．设命题p：实数x满足|x﹣1|＞a其中a＞0；命题q：实数x满足＜1
（1）若命题p中a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【考点】2E：复合命题的真假；2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】（1）a=1时，得出命题p：x＞2，或x＜0，命题q：﹣2＜x＜3，而由p∧q为真得
到p，q都为真，从而解不等式组即得实数x的取值范围；
（2）先求出命题￢p：x＜1﹣a，或x＞1+a，a＞0，从而由￢p是q的必要不充分条件得到
，解该不等式组即得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=1时，p：x＞2或x＜0，q：﹣2＜x＜3；
又p∧q真，∴p，q都为真；
∴由得﹣2＜x＜0或2＜x＜3；
∴实数x取值范围为（﹣2，0）∪（2，3）；
（2）p：|x﹣1|＞a，∴x＜1﹣a或x＞1+a，a＞0，￢p：1﹣a≤x≤1+a，a＞0；
∵￢p是q的必要不充分条件；
∴；
∴a≥3；
∴实数a的取值范围为[3，+∞）．
20．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：（t为参数）与圆C：
（θ为参数）相交于A，B两点．
（1）求直线l及圆C的普通方程
（2）已知F（1，0），求|FA|+|FB|的值．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）使用加减消元法和同角三角函数的关系消参数得到普通方程；
（2）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义和根与系数的关系解出．
【解答】解：（1）直线l的普通方程为x﹣﹣1=0，
圆C的普通方程为（x﹣2）2+y2=9．
（2）将代入（x﹣2）2+y2=9得t2﹣﹣8=0，
∴t1+t2=，t1t2=﹣8．
∴|FA|+|FB|=|t1﹣t2|==．
21．已知函数f（x）为二次函数，满足f（0）=1，且f（x+1）﹣f（x）=2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若方程f（2x）=2x+a在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，求实数a的取值范围．【考点】3W：二次函数的性质．
【分析】（1）设出函数f（x）的解析式，根据f（0）=1求出c的值，根据f（x+1）﹣f（x）=2x，求出a，b的值，从而求出函数的解析式即可；
（2）问题转化为a=（2x﹣1）2在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，令t=2x，则0＜t≤4，令g（t）=（t﹣1）2，画出函数g（t）和y=a的图象，读出a的范围即可．
【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=1得c=1，
∴f（x）=ax2+bx+1，
∴f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+1=ax2+（2a+b）x+a+b+1，
∴f（x+1）﹣f（x）=ax2+（2a+b）x+a+b+1﹣ax2﹣bx﹣1
=2ax+a+b，
∵f（x+1）﹣f（x）=2x，
∴2ax+a+b=2x，
∴2a=2且a+b=0，
∴a=1，b=﹣1，
∴f（x）=x2﹣x+1；
（2）若方程f（2x）=2x+a在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，
即a=（2x﹣1）2在x∈（﹣∞，2]上有两个不同的解，
令t=2x，则0＜t≤4，
令g（t）=（t﹣1）2，
画出函数g（t）和y=a的图象，如图所示：
故0＜a＜1．
22．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴．
（1）求a的值；
（2）求函数g（x）的极小值；
（3）设斜率为k的直线与函数f（x）的图象交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＜x2），
证明：＜k＜．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6C：函数在某点取得极值的条件；R6：不等式的证明．
【分析】（1）求导函数，利用由函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴，
可得：g′（1）=0，即可求a的值；
（2）确定函数的单调性，即可求函数g（x）的极小值；
（3）表示出直线的斜率，再构造函数，研究函数的单调性，即可证明结论．
【解答】（1）解：依题意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，则．
由函数g（x）的图象在点（1，g（x））处的切线平行于x轴得：g′（1）=1+2a﹣3=0 ∴a=1；
（2）解：函数g（x）的定义域为（0，+∞）．
由（1）得
令g′（x）=0得x=或x=1．
∴函数故（x）在（0，），（1，+∞）上单调递增，在（，1）单调递减．
故函数g（x）的极小值为g（1）=﹣2；
（3）证明：依题意得=，
∴lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，
令h（x）=lnx﹣kx，则h′（x）=，
由h′（x）=0得，当x＞时，h′（x）＜0，当0＜x＜时，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，
又h（x1）=h（x2），
∴，即＜k＜．．。