2020届全国高考高三信息卷(全国Ⅱ卷) 文科数学(六)(解析版)

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（新高考）2020年高三最新信息卷
数 学（六）
注意事项：
1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合2{|0}A x x x =+≤，{|ln(21)}B x y x ==+，则A B =I （ ） A ．1(,0]2
-
B ．1[,0]2
-
C ．1[0,)2
D ．1[1,]2
--
2．已知i 是虚数单位，复数2
(12i)-的共轭复数虚部为（ ） A ．4i
B ．3
C ．4
D ．4-
3．已知向量(3,2)=a ，(1,1)=-b ，若()λ+⊥a b b ，则实数λ=（ ）
A ．1
B ．
12
C ．1-
D ．12
-
4．已知(1)n
x +的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x 的系数为（ ） A ．20
B ．15
C ．10
D ．5
5．已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，且π
6
ACB ∠=，223AC AB ==，1SA =， 则该三棱锥的外接球的体积为（ ） A ．
1313π
B ．13π
C ．
13π
D ．
1313π
6．已知M 为函数8y x
=
的图像上任意一点，过M 作直线MA ，MB 分别与圆22
1x y +=相切于A ， 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
B 两点，则原点O 到直线AB 的距离最大值为（ ）
A ．
18
B ．
14
C ．
2
D ．
4
7．已知命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，则p ⌝为（ ） A ．0x ∃<，1x e <且sin 1x > B ．0x ∃<，1x e ≥或sin 1x ≤ C ．0x ∃≥，1x e <或sin 1x >
D ．0x ∃≥，1x e <且sin 1x >
8．已知函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当(,1]x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，设4
1lo ()g 2
a f =，13
lo ()g 3b f =，3lo (9)g c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）
A ．a b c <<
B ．c a b <<
C ．a c b <<
D ．c b a <<
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．AQI 即空气质量指数，AQI 越小，表明空气质量越好，当AQI 不大于100时称空气质量为“优良”，如图是某市3月1日到12日AQI 的统计数据，则下列叙述正确的是（ ）
A ．这12天的AQI 的中位数是90
B ．12天中超过7天空气质量为“优良”
C ．从3月4日到9日，空气质量越来越好
D ．这12天的AQI 的平均值约为110
10．设M ，N 是抛物线2
y x =上的两个不同的点，O 是坐标原点，若直线OM 与ON 的斜率之积为1
2
-，则下列说法不正确的是（ ）
A ．||||OM ON +≥
B ．以MN 为直径的圆的面积大于4π
C ．直线MN 过抛物线2
y x =的焦点
D ．O 到直线MN 的距离不大于2
11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断中正确的是（ ）
A ．平面1P
B D ⊥平面1ACD B ．1A P ∥平面1ACD
C ．异面直线1A P 与1A
D 所成角的取值范围是π(0,]3
D ．三棱锥1D APC -的体积不变
12．已知偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，则下列命题正确的是（ ） A ．函数()f x 是以2为周期的周期函数 B ．函数()f x 是以4为周期的周期函数 C ．函数(1)f x -为奇函数 D ．函数(3)f x -为偶函数
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．将三位老师分配到4户贫困家庭实施精准帮扶，若每位老师只去一户，每户家庭最多去2位老师，则不同的分配方法有 种（用数字作答）． 14．设α为锐角，若π4cos()65α+
=，则π
sin(2)12
α+的值为 ． 15．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的右焦点为(1,0)F ，其关于直线y bx =的对称点Q 在椭圆上，
则离心率e = ，FOQ S =△ ．
16．已知三棱柱111ABC A B C -的侧面积为6+，1AA ⊥平面ABC ，BC =，120BAC ∠=︒，则
该三棱柱外接球表面积的最小值为 ．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-，（*
n ∈N ），数列{}n b 是首项为1a ，
公差不为零的等差数列，且1b ，3b ，11b 成等比数列． （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若n
n n
b c a =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，n T m <恒成立，求m 的范围．
18．（12分）如图，D 是ABC △边BC 上一点，23AB AC =，3BD =，sin CAD ∠=2sin BAD ∠． （1）求DC 的长；
（2）若2AD =，求ABC △的面积．
19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AB CD ∥，24CD AB ==，AD =PAB △为等腰直角三角形，PA PB =，平面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点．
（1）求证：AE ∥平面PBC ；
（2）若平面EBC 与平面PAD 的交线为l ，求二面角P l B --的正弦值．
20．（12分）基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大发明”之一，短时间内就风靡全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率%y 进行了统计，结果如下表：
（1）请用相关系数说明能否用线性回归模型拟合y 与月份代码x 之间的关系．如果能，请计算出y 关于x 的线性回归方程，如果不能，请说明理由；
（2）根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从成本1000元/辆的A 型车和800元/辆的B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：
经测算，平均每辆单车每年能为公司带来500元的收入，不考虑除采购成本以外的其它成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择哪款车型？ 参考数据：
61
()()35i
i
i x x y y =--=∑，6
2
1
()
17.5i
i x x =-=∑，6
21
()76i i y y =-=∑
36.5≈．
参考公式：相关系数()()
n
i
i
x x y
y r --=
∑1
2
1
()()
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==-=--∑∑$，$a
y bx =-$．
21．（12分）已知点A 是离心率为2的椭圆2222:1y x C a b
+=（0a b >>）上的一点，的
直线BD 交椭圆C 于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合． （1）求椭圆C 的方程；
（2）求证：直线AB ，AD 的斜率之和为定值；
（3）ABD △面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
22．（12分）已知函数2
()ln f x x a x =-，0a >． （1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值； （2）求()f x 在区间[1,)+∞上的最小值；
（3）在（1）的条件下，若2()()h x x f x =-，求证：当2
1x e <<，恒有4()
4()
h x x h x +<-．
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数学（六）答案
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A
【解析】化简集合2
{|0}A x x x =+≤，{|ln(21)}B x y x ==+，
可得10{|}A x x =-≤≤，1
{|}2B x x =>-，所以1
{|0}2
A B x x =-<≤I ． 2．【答案】C
【解析】因为2
(12i)34i -=--，所以复数()2
12i -的共轭复数为34i -+，因此虚部为4．
3．【答案】D
【解析】由题意得(3,2)λλλ+=+-a b ，
∵()λ+⊥a b b ，∴()3(2)0λλλ+⋅=+--=a b b ，∴12
λ=-． 4．【答案】D
【解析】由题意知(1)n
x +的展开式的各项系数和为32，即232n =，解得5n =，
则二项式5
(1)x +的展开式中4x 的项为144
5C 5x x =，所以4x 的系数为5．
5．【答案】D
【解析】∵30ACB ∠=︒，∴2AC AB ==
∴ABC △是以AC 为斜边的直角三角形，其外接圆半径2
AC
r =
= 则三棱锥外接球即为以ABC △为底面，以SA 为高的三棱柱的外接球，
∴三棱锥外接球的半径R 满足R =
=，
故三棱锥外接球的体积34ππ3V R =
=．
6．【答案】B
【解析】设00)(,M x y ，则008x y =，
∴以OM 为直径的圆的方程为22
2200)()224(x y x y x y +-+-=，即22
000x y x x y y +--=，
又∵AB 为圆22
000x y x x y y +--=与圆221x y +=的公共弦，
∴两圆作差可得直线AB 的方程为001x x y y +=， ∴点O 到直线AB
的距离1
4
d =
≤
=，
当且仅当00008
x y x y =⎧⎨=⎩
，即00x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩
00x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩
∴原点O 到直线AB 的距离的最大值为1
4
． 7．【答案】D
【解析】全称命题的否定为特称命题． 8．【答案】B
【解析】根据题意，函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+， 则函数()f x 关于直线1x =对称，
又由当(,1]x ∈-∞时，函数()f x 单调递减，则函数在[1,)+∞上单调递增， 又由4
4115log log (2)()()()222
a f f f f ==-=-=， 13
log 31(3)))((b f f f ==-=，
3log 9()(2)c f f ==，则有c a b <<．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．【答案】CD
【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是
95104
99.52
+=，故A 不正确； 这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92共6天，故B 不正确； 从4日到9日，空气质量越来越好，故C 正确； 这12天的AQI 指数值的平均值约为110，故D 正确． 10．【答案】ABC
【解析】当直线MN 的斜率不存在时， 设2
00(),M y y ，2
00(,)N y y -，由斜率之积为12
-，可得20112y -=-，即2
02y =，
∴MN 的直线方程为2x =；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y kx m =+，联立2y kx m y x
=+⎧⎨=⎩，可得2
0ky y m -+=，
此时设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12m y y k =，2
122m x x k
=，
∴12121
2
OM ON y y k k k x x m ⋅=
==-，即2m k =-， ∴直线方程为2(2)y kx k k x =-=-，则直线MN 过定点(2,0)， 则O 到直线MN 的距离不大于2．
11．【答案】ABD
【解析】对于A ，连接1DB ，根据正方体的性质，有1DB ⊥面1ACD ，1DB ⊂平面1PB D ， 从而可以证明平面1PB D ⊥平面1ACD ，正确；
对于B ，连接1A B ，11A C 容易证明平面11BAC ∥面1ACD ，
从而由线面平行的定义可得1 A P ∥平面1ACD ，正确；
对于C ，当P 与线段1BC 的两端点重合时，1A P 与1AD 所成角取最小值
π
3
，
当P 与线段1BC 的中点重合时，1A P 与1AD 所成角取最大值
π2
， 故1A P 与1AD 所成角的范围是π[,3π
]2
，错误；
对于D ，11D APC C AD P V V --=，C 到面1AD P 的距离不变，且三角形1AD P 的面积不变， ∴三棱锥1D APC -的体积不变，正确． 12．【答案】BC
【解析】偶函数()f x 满足()(2)0f x f x +-=，即有()()(2)f x f x f x -==--， 即为(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=/， 可得()f x 的最小正周期为4，故A 错误；B 正确； 由(2)()f x f x +=-，可得(1)(1)f x f x +=--，
又(1)(1)f x f x --=+，即有(1)(1)f x f x --=--，故(1)f x -为奇函数，故C 正确； 由(3)(3)f x f x --=+，若(3)f x -为偶函数，即有(3)(3)f x f x --=-， 可得(3)(3)f x f x +=-，即(6)()f x f x +=，
可得6为()f x 的周期，这与4为最小正周期矛盾，故D 错误．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】60
【解析】若每户贫困家庭去一位老师，则有3
4A 24=种分配方法；
若有一户贫困家庭去两位老师，另一户贫困家庭去一位老师，则有12
34C A 36⨯=种分配方法，
所以共有60种不同的分配方法．
14．【答案 【解析】∵α为锐角，即π02<<
α，∴ππππ2π66263
<<α++=， ∵π4cos()65α+=，∴π3
sin()65
α+=，
∴πππ3424sin(2)2sin()cos()23665525ααα+=++=⨯⨯
=
，∴7
cos(2)325απ+=， ∴πππππππ
sin(2)sin(2)sin(2)cos cos(2)sin
12343434αααα+=+-=+-+
247252252=
⨯-⨯= 15．【答案
】
2
，1
2 【解析】设(,)Q m n ，由题意可得22
22111
22n
m b n b m c m n a b ⎧=-⎪-⎪
+⎪⋅
⎨⎪
⎪⎪⎩,①=,②+=1,③， 由①②可得2
2
1b m a
-=，22b n a =， 代入③可得62410e e +-=，即64422422210e e e e e -+-+-=， 可得2
4
2
(21)(21)0e e e -++=
，解得2
e =，
所以a =
1b =，1c =．所以(0,1)Q ，
所以FOQ △是等腰直角三角形，所以11
1122
FOQ S =⨯⨯=△． 16．【答案】16π
【解析】如图，设AC b =，AB c =，1AA h =
，则)6b c h +=+
∴h =
，
三棱柱底面外接圆半径为r
，则22r =
=，即1r =，
由222
2cos120b c bc =+-⋅︒，
得22
2
2
2
2()3
3()()()44
b c b c bc b c bc b c b c +=++=+-≥+-=+，∴2b c +≤， ∴h
=
则该三棱柱外接球半径的最小值为2R ==， ∴该三棱柱外接球表面积的最小值为24π216π⨯=．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）2n
n a =，31n b n =-；（2）5m ≥．
【解析】（1）因为22n n S a =-，1122(2)n n S a n --=-≥， 所以1122n n n n n a S S a a --=-=-，所以12(2)n n a a n -=≥，
所以{}n a 成等比，首项112a S ==，公比2q =，所以2n
n a =， 由题意知112b a ==，设{}n b 公差为d ，则2
1113b b b =，
即2
2(210)(22)d d +=+，解得3d =或0d =（舍）， 所以31n b n =-． （2）31
2
n n n n b n c a -==， 所以123258312222n n n T -=
++++L ，234112583431
222222
n n
n n n T +--=+++++L ， 两式相减得112311131(1)
123333131535421122222222212
n n n n n n n n n T -+++---+=++++-=+-=--L ，
所以35
552
n n
n T +=-<，所以5m ≥． 18．【答案】（1）4DC =；（2
）
3
． 【解析】（1）在ABD △和ADC △中由正弦定理得
sin sin AB BD ADB BAD =∠∠，sin sin AC DC
ADC CAD
=
∠∠， 因为23AB AC =，sin sin ADB ADC ∠=∠，3BD =，sin 2sin CAD BAD ∠=∠，
所以4
43
DC BD =
=． （2）在ABD △中，由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⨯⨯∠， 在ADC △中由余弦定理得2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⨯⨯∠， 因为23AB AC =，2AD =，3BD =，4DC =，cos cos ADB ADC ∠=-∠， 所以4(49223cos )9(416224cos )ADC ADC ++⨯⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯∠， 解得2cos 3ADC ∠=
，
所以sin 3
ADC ∠=
，
所以11()sin 722233
ABC S BD DC AD ADC =
+⨯⨯∠=⨯⨯⨯=△．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）
9
． 【解析】（1）证明，如图，取PC 的中点F ，连接EF ，BF ， ∵PE DE =，PF CF =，∴EF CD ∥，2CD EF =， ∵AB CD ∥，2CD AB =，∴AB EF ∥，且EF AB =，
∴四边形ABFE 为平行四边形，∴AE BF ∥， ∵BF
⊂平面PBC ，AE ⊄平面PBC ，∴AE ∥平面PBC ．
（2）如图，取AB 中点O ，CD 中点Q ，连接OQ ，
∵OA OB =，CQ DQ =，PA PB =，∴PO AB ⊥，OQ AB ⊥， ∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PO ⊥平面ABCD ，OQ ⊥平面PAB ， ∴AB ，OQ ，OP 两两垂直，以点O 为坐标原点，
向量OQ uuu r ，OB uuu
r ，OP uuu r 方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
由PA PB ⊥，2AB =，可得1OA OB OP ===，2DQ CQ ==， 在等腰梯形ABCD 中，2AB =，4CD =
，AD =
1OQ =，
∴(0,0,0)O ，(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，(1,2,0)C ，(0,0,1)P ，(1,2,0)D -，11(,1,)22
E -， 设平面PAD 的法向量为(,,)x y z =m ，
(0,1,1)AP =u u u r ，(1,1,0)AD =-u u u r
，
由00
AP y z AD x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u u r u u u r m m ，取1y =，得(1,1,1)=-m ； 设平面EBC 的法向量为(,,)a b c =n ，
(1,1,0)BC =u u u r ，11(,2,)2
2
EB =--u u u r ，
由011
2022
BC a b EB a b c ⎧⋅=+=⎪
⎨⋅=-+-=⎪⎩u u u r
u u u r n n ，取1b =-，得(1,1,5)=--n ， 由5⋅=m n
，||=
m
||=n ，则5
cos ,||||9
⋅<>=
=⋅m n m n m n ，
∴平面EBC 与平面PAD
9
==．
20．【答案】（1）能用线性回归模型拟合y 与月份代码x 之间的关系，$29y x =+；（2）采购B 款车型，详见解析．
【解析】（1）由表格中数据可得 3.5x =，16y =，
∵()()
0.96n
i
i
x x y y r --=
=
=≈∑，
∴y 与月份代码x 之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系，
1
2
1
()()
35217.5
()
n
i
i
i n
i
i x x y y b
x x ==--==
=-∑∑$，∴$162 3.59a
y bx =-=-⨯=$， ∴关于x 的线性回归方程为$29y x =+． （2）这100辆A 款单车平均每辆的利润为
1
(5001003050040100020)350100
-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）
， 这100辆B 款单车平均每辆的利润为
1
(300152004070035120010)400100
-⨯+⨯+⨯+⨯=（元）
， ∴用频率估计概率，A 款单车与B 款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、
400元，应采购B 款车型． 21．【答案】（1）22
124x y +=；（2）证明见解析；（3）ABD △
． 【解析】（1
）∵点A
的椭圆2222:1y x C a b
+=（0a b >>）上的一点，
∴22222212
1c e a b a a b c ⎧==⎪
⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩，解得2a =
，b =
c = ∴椭圆C 的方程为22
124
x y +=． （2）设11(,)D x y ，22(,)B x y ，直线AB 、AD 的斜率分别为AB k 、AD k ， 设直线BD
的方程为y m =+，
联立22
24
y m
x y ⎧=+⎪⎨
+=⎪⎩
，得2
2
440x m ++-=，
∴2
8640Δm =-+>
，解得m -<<
12x x +=①，21244
m x x -=②，
则121212121111
AD AB y y m m k k x x x x +++=
+=+
----
1212122
[
]()1
x x m x x x x +-=-++，（*）
将①、②式代入*式整理得0AD AB k k +=，∴直线AB ，AD 的斜率之和为定值． （3
）12|||BD x x =-=
设d 为点A
到直线:BD y m =+
的距离，∴d =
，
∴1||2ABD S BD d =
=≤△ 当且仅当2m =±时取等号，
∵2(±∈-，∴当2m =±时，ABD △
．
22．【答案】（1）2a =；（2）见解析；（3）证明见解析．
【解析】（1）由2
()ln f x x a x =-，定义域为(0,)+∞，得 因为函数2
()ln f x x a x =-在1x =处取得极值， 所以(1)0f '=，即20a -=，解得2a =， 经检验，满足题意，所以2a =．
（2）由（1，定义域为(0,)+∞，
当02a <≤时，由()0f x '=
，得x =
01<
≤，
时，()0f x '<，()f x 单调递减； 时，()0f x '>，()f x 单调递增， 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递增，最小值为(1)1f =；
当2a >1>， 时，()0f x '<，()f x 单调递减； 时，()f x '0>，()f x 单调递增，
所以函数()f x 在x =
综上，当02a <≤时，()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为1； 当2a >时，()f x 在区间[1,)+∞上的最小值为
ln 222
a a a
-． （3）证明：由2
()()h x x f x =-，得()2ln h x x =， 当21x e <<时，0ln 2x <<，0()4h x <<， ，只需证[4()]4()x h x h x -<+，
22ln 1x x x ->+
当2
1x e <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在区间2(1,)e 上单调递增，
所以当2
1x e <<时，()(1)0x ϕϕ>=，即22ln 01
x x x --
>+
所以当2
1x e <<。