天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(二)文科数学

2012年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二）
数 学(文)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷 选择题 (共40分)
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
参考公式：
·如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+ 柱体的体积公式Sh V =. 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高.
锥体的体积公式Sh V 3
1
=. 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高.
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的） 1．i 为虚数单位,复数
i
i
++13= A.i +2 B. i -2 C.2-i D. 2--i
2．已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≥+≥+-3004x y x y x ，则y x z +=2的最小值是
A ．-4
B ．－2
C ．0
D ．2
3．函数()2-+=x e x f x 的零点所在区间是 A ．()1,0 B ．()2,1 C ．()3,2 D ．()4,3
4．如果执行右面的程序框图，那么输出的S =
A ．119
B ．719
C ．4949
D ．600
5．在正项等比数列{}n a 中，442=a a ,143=S ,数列{}n b 满足n n a b 2log =,则数列{}n b 的前6项和是
A ．0
B ．2
C ．3 D. 5
6．要得到一个奇函数，只需将函数()x x x f 2cos 32sin -=的图象（ ）
第4题
A ．向右平移
π
6个单位 B ．向右平移
π
3个单位 C ．向左平移π
6
个单位
D ．向左平移π
3
个单位
7．设()x x x f --=22，设24,3ln ,3log e c b a ===，则()()()c f b f a f ,,的大小关系 为
A ．()()()c f b f a f >>
B ．()()()c f a f b f >>
C ．()()()b f a f c f >>
D ．()()()a f b f c f >>
8．定义一种运算⎩⎨
⎧>≤=⊗b
a b b
a a
b a ,,，令()()
t x x x x f -⊗-+=224(t 为常数),且[]3,3-∈x ，
则使函数()x f 最大值为4的t 值的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
第Ⅱ卷 非选择题 (共110分)
二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．命题“若0=xy ,则0=x 或0=y ”的逆否命题为________________________ 10．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是
11．已知抛物线2
4y x =的准线与双曲线142
22=-y a
x 交于A B 两点，点F 为抛物线的焦点，若FAB ∆为正三角形，则双曲线的离心率是
12．如上图，⊙O 中的弦AB 与直径CD 相交于点P ，M 为DC 延长线上一点，MN 为⊙O
的切线，N 为切点，若42==BP AP ,1=PC ,6=MN ，则MC 的长为
正视图 侧视图
俯视图
第10题 第12题
13．设集合[]{}
16,0,2|∈-==t t x x A ，{}
0,0103|22>≤--=a a ax x x B ,满足
A B A =⋂的正实数a 的取值范围是
14．已知ABC ∆中的重心为O ,直线MN 过重心O ，交线段AB 于M ，交线段AC 于N 其中
n m ==,,且AC AB AO μλ+=,其中μλ,为实数.则n m 36+的最小值为
_________________.
三.解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．某工厂生产的零件标准分成9个等级，等级系数X 依次为1,2，…，9，X 4≥为合格标准，且该厂的零件都符合相应的合格标准．从该厂生产的零件中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
4 6 4 4 9 6 6 7 4
5 7 4 5 8
6 4 5 9 6 4
9 4 5 4 5 5 8 6 7 8
规定零件的等级系数8≥X 的为一等品，等级系数86<≤X 的为二等品，等级系数
64<≤X 的为三等品．
（I ）试分别估计该厂生产的零件一等品频率、二等品频率和三等品频率； （II ）从样本的一等品中随机抽取2件， (i) 列出两件产品等级系数的所有结果； (ii) 求所抽得2件产品等级系数不同的概率．
16. 在ABC ∆中，C A ,为锐角，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，且5
32cos =
A ，10
10sin =
C （I ）求)cos(C A +的值； （II ）若12-=
-c a ，求,,a b c 的值；
（Ⅲ）求函数)2
tan(
C A x
y ++=的最小正周期和定义域。

17．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，P A=AB ＝2， ∠BAD ＝60°．
（Ⅰ）求证：直线BD ⊥平面P AC ；
（Ⅱ）求直线PB 与平面PAD 所成角的正切值； （Ⅲ）已知M 在线段PC 上，且BM=DM=2，CM=3，求二面角D MC B --的余弦值．
18．椭圆的中心在坐标原点，其左焦点1F 与抛物线2
4y x =-的焦点重合，过1F 的直线l 与椭
圆交于A 、B 两点，与抛物线交于C 、D 两点．当直线l 与x 轴垂直时，CD AB
=
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（II ）求过点1F 、O (O 为坐标原点)，并且与直线c
a x 2
-=（其中a 为长半轴长，c 为椭圆的半焦距）相切的圆的方程； （Ⅲ）求22F A F B ⋅=2
1
时直线l 的方程。

19．已知数列{}n a 的首项3,121==a a ，前n 项和为n S ，且
n
n n n n n a a S S S S 1
211+=
---+，)2,*(≥∈n N n ，数列{}n b 满足11b =，12log (1)n n n b a b +=++。

（Ⅰ）判断数列{1}n a +是否为等比数列，并证明你的结论；
（II ）设)12
(2
---=n b a c n n n ，求n c c c c ++++ 321； （Ⅲ）对于（Ⅰ）中数列{}n a ，若数列}{n l 满足)1(log 2+=n n a l （*n N ∈），在每两个k l 与
1+k l 之间都插入12k -（ ,3,2,1=k *k ∈N ）个2，使得数列}{n l 变成了一个新的数列}{p t ，)(*∈N p 试问：是否存在正整数m ,使得数列}{p t 的前m 项的和2011m T =?如果存在，求出
m 的值；如果不存在，说明理由.
20．已知函数12)12(2
1
31)(23+-++-=ax x a x x f ，其中a 为实数． (Ⅰ)当2
1
≠
a 时，求函数)(x f 的极大值点和极小值点； (Ⅱ) 若对任意)3,2(∈a 及[]3,1∈x 时，恒有23
)(2>-x f ta 成立，求实数t 的取值范围.
(Ⅲ)已知
1)(22++=ax x a x g ，3)52()2
3(34)(223-+++-=x a x a x x m ，
)()()(x m x f x h +=，设函数⎩
⎨⎧<≥=.0),(,
0),()(x x h x x g x q 是否存在a ，对任意给定的非零实数,
1x 存在惟一的非零实数)(122x x x ≠，使得)()(1'2'x q x q =成立？若存在，求a 的值；若不存，请说明理由．
2012年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考（二）
数学试卷（文科） 评分标准
9．“若0≠x 且0≠y ,则0≠xy ”； 10．π22+； 11．3
57
； 12．3 ； 13．[)+∞,1； 14．223+
三、解答题：本大题共6小题，共80分． 15. 解：（1）由样本数据知，30件零件中，一等品有6件，二等品有9件，三等品有15
件. …………3分
∴样本中一等品的频率为6
0.230
=， ………4分 二等品的频率为
9
0.330=， …………5分 三等品的频率为15
0.530
=， ……………6分 （2）样本中一等品有6件，其中等级系数为8的有3件，等级系数为9的也有3件， ……………………7分
记等级系数为8的3件零件分别为1C 、2C 、3C ，等级系数为9的3件零件分别为1P 、2P 、3P ,则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：
）（21,C C ,）（31,C C ,）（11,P C ，）（21,P C ，）（31,P C ，）（32,C C ,）（12,P C , ）（22,P C ,）（32,P C ,）（13,P C ，）（23,P C ,）（33,P C ,12(,),
P P ）（31,P P ）（32,P P , 共15 种， …………10分 记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数不同”为事件A ，
则A 包含的基本事件有）（11,P C ，）（21,P C ，）（31,P C ，）（12,P C ，）（22,P C ，）（32,P C ，）（13,P C ，）（23,P C ，）（33,P C 共9种， ………12分 故所求的概率159)(=
A P 5
3
=. ……………………13分 16．解：（Ⅰ）
A 、C 为锐角，1010sin =
C ，10103sin 1cos 2
=-=∴C C ……1分 又2
3
cos 212sin 5
A A =-=
，………2分
sin 5A ∴=
，cos 5
A ==，………3分 2
2
sin sin cos cos )cos(=
-=+∴C A C A C A ……5分（公式正确得1分） （Ⅱ）由（Ⅰ）知2
2)cos(=
+C A π<+<C A 0 4
π
=
+∴C A
43π=
∴B ,2
2sin =∴B 由正弦定理
sin sin sin a b c
A B C
==得…………6分 c b a 1025==∴，即c b c a 5,2==，…7分
12-=-c a ，122-=-∴c c ，
1=∴c 5,2==∴b a ………………10分（三边正确各得1分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知4
π
=
+C A 则)4
2tan(
π+=x y ∴函数)4
2tan(π
+=x y 的最小正周期为π2；………11分
242πππ+≠+k x )(Z k ∈解得2
2π
π+≠k x )(Z k ∈ ∴函数)42tan(π+=x y 的定义域为},2
2|{Z k k x x ∈+≠π
π；………13分
17（I ）证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD ．………………1分
又因为P A ⊥平面ABCD ， ⊂BD 平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ，……3分 又因为A AC PA =⋂，所以BD ⊥平面P AC ．………………4分 （Ⅱ）过B 作AD BE ⊥，连结PE ，
因为P A ⊥平面ABCD ， ⊂BE 平面ABCD ， 所以P A ⊥BE
又因为AD BE ⊥，A AD PA =⋂，所以BE ⊥平面P AD ．………………５分 所以BPE ∠是直线PB 与平面PAD 所成角．………………６分 在Rt △BEP 中，3=BE ，522=+=AE PA PE ，………………７分
所以515
5
3tan =
==
∠PE BE BPE ． 所以BPE ∠是直线PB 与平面PAD 所成角的正切值
5
15
．………………８分
（Ⅲ） 设F 是ＭＣ的中点，连结ＢＦ，ＤＦ， 因为ＢＭ＝ＢＣ，△ＢＭＣ为等腰△，
所以ＢＦ⊥ＭＣ 同理ＤＦ⊥ＭＣ ………………9分 所以BFD ∠为二面角D MC B --的平面角．………１０分 在△BFD 中，,2
7
,2=
==DF BF BD ………………１１分 由余弦定理得7
1
2cos 222-=⋅-+=
∠DF BF BD DF BF BFD ．………………１２分 所以二面角D MC B --的余弦值为7
1
-．………………１３分
18．解：（Ⅰ）由抛物线方程，得焦点1(1,0)F -．……1分
设椭圆的方程：)0(122
22>>=+b a b
y a x ．
解方程组241
y x
x ⎧=-⎨=-⎩ 得C （-1，2），D （1，-2）．……2分
由于抛物线、椭圆都关于x 轴对称，
∴
11||||||||FC CD F A AB ==
1||2F A =， ∴(1,
)2
A
∴
221112a b
+=又12
22==-c b a ，
因此，
22
11
112b b
+=+，解得21b =并推得22a =． ……3分 故椭圆的方程为2
212x y += ． …………4分 （Ⅱ）2,1,1a b c ===，∴22
=c
a 圆过点O 、1F ，∴圆心M 在直线1
2
x =-上．…………5分 设1
(,),2
M t -
则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切， ∴13
()(2).22
r =---=
…………6分
由,OM r =3
,2
=
解得t =…………7分
∴所求圆的方程为2219
()(.24
x y ++±=…………………………8分
（Ⅲ） 由12(1
,0),(1,0)F F -点 ①若AB 垂直于x 轴，则)2
2
,1(),22,
1(---B A ，
222(2,
),(2,22
F A F B ∴=-=--， 2217
422
F A F B ⋅=-=…………………………………………9分 ②若AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为
)1(+=x k y
由⎩⎨⎧
=-++=022)1(2
2y x x k y 得 0)1(24)21(2
222=-+++k x k x k ………10分
0882>+=∆k ，∴方程有两个不等的实数根．
设),(11y x A ，),(22y x B .
2221214k k x x +-=+, 2
22121)
1(2k k x x +-=⋅………………………………11分
),1(),,1(222112y x F y x F -=-=∴
)1)(1()1)(1()1)(1(21221212122+++--=+--=⋅x x k x x y y x x B F A F
22122121))(1()1(k x x k x x k +++-++=
2
2
22222
1)214)(1(21)1(2)1(k k
k k k k k +++--++-+= =2
1211722=+-k k 解得21±
=k …………12分
直线l 的方程为)1(2
1
+±=x y 即012=+-y x 或012=++y x ………13分
19．（Ⅰ）由题意得
11121
21n n n n n n n n
S S a a a S S a ++--+=⇒=+-……………1分
∴1
12(1)n n a
a ++=+……………2分
∴数列{1}n
a
+是以112a +=为首项，以2为公比的等比数列。

………………3分
（II ）由（Ⅰ）知12n
n a +=∴21n n
a
=-（*n N ∈）] ………4分
由21n n a =-及12log (1)n n n b a b +=++得1n n b b n +=+
∴(1)
12
n
n n b
-=+
，……………………………………………5分 )12
(2
---=n b a c n n n =222)12(1n n n n n -⋅=⋅--
令12102232221-⋅++⋅+⋅+⋅=n n n A ①
n n n A 22322212321⋅++⋅+⋅+⋅= ②………6分
①-②得n n n n A 22
22211
3
2
1
⋅-+++++=-- ………7分
n n n n
n n 21222
121⋅--=⋅---=
整理n A n (=12)1+-n
………8分
令4
)321(212n n n B n +=++++= ………9分 n c c c c ++++ 321442)1(2n n n B A n
n n --+-=-=………10分 （Ⅲ）由（Ⅰ）得n n n a l 2log )1(log 22=+=，即)(*∈=N n n l n ，………11分
数列}{n t 中，k l （含k l 项）前的所有项的和是：
0122(1)123)(2222)2222
k k k k k -++++++++++⨯=+-（……12分 当10=k 时，其和是10552210772011+-=<
当11=k 时，其和是11662221122011+-=>………13分
又因为2011-1077=934=467⨯2，是2的倍数
所以当2810(1222)467988m =++++++=时，T 2011m =，
所以存在m =988使得T 2011m =………14分
20．(Ⅰ)令 a x a x x f 2)12()(2'-++-==0，解得a x x 2,121==…………1分
（1）当1>
a 时，
因此，函数在处取得极小值，极小值点为，；
函数()f x 在a x 2=处取得极大值，极大值点为a x 2=…………3分
（2）当1<
a 时，
因此，函数在处取得极大值，极大值点为；
函数()f x 在a x 2=处取得极小值，极小值点为a x 2=．…………5分
（II ）由题意可知，对任意)3,2(∈a 及[]3,1∈x 时，恒有2
3)(2>-x f ta 成立等价于max 2)(2
3x f ta >-…………6分 由(Ⅱ)可知对任意)3,2(∈a 及[]3,1∈x 时，)(x f 在[]3,1∈x 上为增函数．
∴)(x f 在[]3,1∈x 上的最大值为273)3(-
=a f ．…………7分 任意)3,2(∈a 时，273)(23max 2-=>-
a x f ta 恒成立 ∴2
23a a t ->，)3,2(∈a 时恒成立，…………8分 令=)(a g 223a a -，令a m 1=，)21,31(∈m ，=)(m g 223m m -，)(m g 在)21,31(∈m 时为增函数，∴1)(9
7<<x g ，…………9分 ∴实数t 的取值范围为1≥t …………10分
(Ⅲ) 当0x <时有;5)1(23)()(22''++--==x a a x x h x q
当0x >时有a x a x g x q +==2''2)()(，因为当0=a 时不合题意，因此0≠a ，
下面讨论0≠a 的情形，记A ),(+∞=a ，B=()5,+∞（ⅰ）当10x >时，()q x '在()0,+∞上单调递增，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x <且A B ⊆，因此有5≥a ，…11分 （ⅱ）当10x <时，()q x '在)0,(-∞上单调递减，所以要使()()21q x q x ''=成立，只能20x >且A B ⊆，因此5≤a ，综合（ⅰ）（ⅱ）5=a ；…………12分
当5=a 时A=B ，则()110,x q x B A '∀<∈=，即20,x ∃>使得()()21q x q x ''=成立，因为()q x '在()0,+∞上单调递增，所以2x 的值是唯一的；…………13分
同理，01>∀x ，即存在唯一的非零实数221()x x x ≠，要使()()21q x q x ''=成立，所以5=a 满足题意．…………14分。