2014届高考数学一轮复习 第8章《平面解析几何》(第4课时)知识过关检测 理 新人教A版

2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第8章《平面解析
几何》（第4课时）（新人教A 版）
一、选择题
1．(2012·高考某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2
＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( )
A ．33
B ．2 3 C.3D ．1
解析：选B.圆x 2＋y 2
＝4的圆心(0,0)到直线3x ＋4y －5＝0的距离d ＝532＋42＝1，圆
的半径为2，所以弦长|AB |＝222
－12
＝23，故选B.
2．已知圆C ：x 2＋y 2
－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切
C ．l 与C 相离
D ．以上三个选项均有可能
解析：选A.把点P (3,0)代入圆的方程的左侧得32
＋0－4×3＝－3＜0，故点P (3,0)在圆的内部，所以过点P 的直线l 与圆C 相交，选A.
3．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2
＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x
＝( )
A.
33B.33或－33
C.3
D.3或－ 3
解析：选D.∵OM →·CM →
＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．设OM 的方程为y ＝kx ，
由|2k |k 2＋1
＝3，得k ＝±3，即y
x ＝± 3.
4．(2012·高考某某卷)设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2
＋(y －1)2
＝1相切，则m ＋n 的取值X 围是( )
A ．[1－3，1＋3]
B ．(－∞，1－3]∪[1＋3，＋∞)
C ．[2－22，2＋22]
D ．(－∞，2－22]∪[2＋22，＋∞)
解析：选D.由题意可得，|m ＋n |m ＋12＋n ＋12＝1，化简得mn ＝m ＋n ＋1≤m ＋n 2
4，
解得m ＋n ≤2－22或m ＋n ≥2＋22，故选D.
5．设两圆C 1、C 2都和两坐标轴相切，且都过点()4，1，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2
解析：选C.∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点()4，1， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等． 设两圆的圆心分别为()a ，a ，()b ，b ，
则有()4－a 2＋()1－a 2＝a 2，()4－b 2＋()1－b 2＝b 2
，
即a ，b 为方程()4－x 2＋()1－x 2＝x 2
的两个根，
整理得x 2
－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17.
∴()a －b 2＝()a ＋b 2
－4ab ＝100－4×17＝32，
∴|C 1C 2|＝()a －b 2
＋()a －b 2
＝32×2＝8. 二、填空题
6．(2013·某某月考)直线x －2y ＋5＝0与圆x 2＋y 2
＝8相交于A 、B 两点，则|AB |＝________.
解析：
如图，取AB 中点C ，连接OC 、OA .则OC ⊥AB ， |OA |＝22，|OC |＝ |0－2×0＋5|
12＋－2
2
＝5， ∴|AC |＝8－5＝3， ∴|AB |＝2|AC |＝2 3. 答案：2 3
7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2
－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．
解析：AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2，又C 1(3,0)，C 2(0,3)，∴C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0.
答案：x ＋y －3＝0
8．(2011·高考某某卷)过点()－1，－2的直线l 被圆x 2＋y 2
－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为__________．
解析：由题意知直线要与圆相交，必存在斜率，设为k ，则直线方程为y ＋2＝k ()x ＋1，
又圆的方程可化为()x －12＋()y －12
＝1，圆心为()1，1，半径为1，
∴圆心到直线的距离d ＝|k －1＋k －2|1＋k
2
＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222
， 解得k ＝1或17
7.
答案：1或17
7
三、解答题
9．(2013·枣庄月考)已知：圆C ：x 2＋y 2
－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；
(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．
解：将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方得标准方程为x 2＋(y －4)2
＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2.
(1)若直线l 与圆C 相切，
则有|4＋2a |a 2＋1
＝2.解得a ＝－34.
(2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，
得⎩⎪⎨⎪
⎧
|CD |＝|4＋2a |a 2＋1
，
|CD |2
＋|DA |2
＝|AC |2
＝22
，
|DA |＝12|AB |＝ 2.
解得a ＝－7或a ＝－1.
故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.
10．已知圆C ：x 2＋y 2
－4x －6y ＋12＝0，点A (3,5)，求： (1)过点A 的圆的切线方程；
(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .
解：(1)⊙C ：(x －2)2＋(y －3)2
＝1.
当切线的斜率不存在时，有直线x ＝3，C (2,3)到直线的距离为1，满足条件．
当切线的斜率存在时，设直线y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k ，|－k ＋2|k 2＋1
＝1，解得k ＝3
4.
∴直线方程为x ＝3或y ＝34x ＋11
4
.
(2)|AO |＝9＋25＝34，
l AO ：5x －3y ＝0，点C 到直线OA 的距离d ＝1
34
， S △AOC ＝1
2
d |AO |＝12
.
一、选择题
1．若圆心在x 轴上、半径为5的圆C 位于y 轴左侧，且截直线x ＋2y ＝0所得的弦长为4，则圆C 的方程是( )
A ．(x －5)2＋y 2＝5
B ．(x ＋5)2＋y 2
＝5
C ．(x －5)2＋y 2＝5
D ．(x ＋5)2＋y 2
＝5
解析：选 B.设圆心为(a,0)(a ＜0)，因为截得的弦长为4，所以弦心距为1，则d ＝|a ＋2×0|12＋2
2
＝1，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为(x ＋5)2＋y 2
＝5. 2．(2013·某某质检)直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2
＝4相交于M ，N 两点，若|MN |≥23，则k 的取值X 围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，0
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－33，33
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0
D.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪[0，＋∞) 解析：选C.圆(x －3)2＋(y －2)2
＝4的圆心为(3,2)，半径为2，圆心到直线y ＝kx ＋3
的距离为d ＝|3k －2＋3|k 2＋1＝|3k ＋1|
k 2＋1
.
则|MN |＝24－⎝ ⎛⎭
⎪⎫|3k ＋1|k 2
＋12≥23， ∴⎝
⎛⎭
⎪⎫|3k ＋1|k 2
＋12
≤1，即2k (4k ＋3)≤0. 解得－3
4
≤k ≤0.
二、填空题
3．(2012·高考某某卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2
－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．
解析：设圆心C (4,0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知d ＝|4k －2|
k 2
＋1
≤2，解得0≤k ≤43，所以k max ＝4
3.
答案：43
4．(2012·高考某某卷)过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2
＋y 2
＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是________．
解析：∵点P 在直线x ＋y －22＝0上，∴可设点P (x 0，－x 0＋22)，且其中一个切点为M .∵两条切线的夹角为60°，∴∠OPM ＝30°.故在Rt △OPM 中，有|OP |＝2|OM |＝2.由两点间的距离公式得|OP |＝x 2
0＋－x 0＋222
＝2，解得x 0＝ 2.故点P 的坐标是(2，2)．
答案：(2，2) 三、解答题
5．(2013·海淀区期末)已知圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)，且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．
(1)求圆C 的方程；
(2)若OP →·OQ →
＝－2，某某数k 的值；
(3)过点(0,1)作直线l 1与l 垂直，且直线l 1与圆C 交于M 、N 两点，求四边形PMQN 面积的最大值．
解：(1)设圆心C (a ，a )，半径为r . 因为圆C 经过点A (－2,0)，B (0,2)， 所以|AC |＝|BC |＝r ，易得a ＝0，r ＝2.
所以圆C 的方程是x 2＋y 2
＝4.
(2)因为OP →·OQ →＝2×2×cos〈OP →，OQ →〉＝－2，且OP →与OQ →
的夹角为∠POQ ，
所以cos ∠POQ ＝－1
2
，∠POQ ＝120°，
所以圆心C 到直线l ：kx －y ＋1＝0的距离d ＝1，
又d ＝1
k 2＋1
，所以k ＝0.
(3)设圆心O 到直线l ，l 1的距离分别为d ，d 1，四边形PMQN 的面积为S . 因为直线l ，l 1都经过点(0,1)，且l ⊥l 1，
根据勾股定理，有d 21＋d 2
＝1.
又易知|PQ |＝2×4－d 2，|MN |＝2×4－d 2
1，
所以S ＝1
2·|PQ |·|MN |，
即S ＝12×2×4－d 2×2×4－d 2
1＝
216－4d 2
1＋d
2
＋d 2
1·d 2＝
212＋d 21·d 2
≤212＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫d 21＋d 2
22＝212＋14＝7， 当且仅当d 1＝d 时，等号成立，所以四边形PMQN 面积的最大值为7.。