高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)：专题16三角函数与解三角形第三缉(原卷版)

形퐴� 的面积为
.
的边长分别为퐴� = 1, � = 3,
= 퐴 =2,则四边
19．【2017 年新疆预赛】在� △ 퐴� 中,∠ = 60∘.以 为圆心,� 为半径的圆交퐴 于 点,连结� .弧
� 与弦� 将△ 퐴� 分为三部分(如图).则三部分面积之比�1: �2: �3 =
.
20．【2017 年新疆预赛】已知在△ 퐴� 中,tan퐴, 1 + 2 tan�,tan 成等差数列.则∠�的最小值为 .
21．【2017
年内蒙古预赛】锐角三角形的内角퐴,
�满足
tan퐴
−
1 sin2퐴
=
tan�且cos2
� 2
=
36,则 sin2퐴 =
.
22．【2016
年福建预赛】若函数�(�)
=
3cos(푤�
+
π 6
)
−
sin(푤�
−
π 3
)(�
>
0)
的最小正周期为π，则 f(x)
在区间[0，
π 2
]上的最大值为________.
则�的取值范围是
.
11．【2017 年广东预赛】设�、�均为正整数,则
�−1 �=0
cos
2�� �
+
�−1 �=0
sin
2�� �
=
.
12．【2017 年广东预赛】已知�, �, �是一个三角形的三个内角,如果 cos� + cos� + cos�取得最大值,则 sin� +
sin� + sin� =
5．【2017 年山东预赛】在一个边长为�的正方形草坪的四个角上都安有喷水装置,喷水装置可以90∘旋转喷水,
每个喷水装置都可以从其所在角的一边旋转喷水至该角的另一边,其有效射程均为�,则草坪上能同时被四个
喷水装置喷水覆盖的区域占整个草坪的比例为
.
6 ．【 2017 年 福 建 预 赛 】 在 △ 퐴�
�2 − b2，0
到直线�coa
�+�
��� b
=
1 的距离乘积为_____。
33 ．【 2016
年 浙 江 预 赛 】 若 关 于 �、� 的 方 程 组
sin� cos�
= =
�sin3� �cos3�
有实数解，则正实数�的取值范围是
__________。
34．【2016 年上海预赛】关于 x 的方程 arctan2� − arctan2−� = 6π的解为__________．
31．【2016 年全国】设函数� �
= sin4 �� + cos4 ��
10
10
� ∈ �+ .若对任意实数 a，均有{� �
� < � < � + 1} =
{� � � ∈ � }，则 k 的最小值为________.
32．【2016 年上海预赛】给定正实数 a、b(a> b)，两点
�2 − b2，0 、 −
10
26
50
65
25．【2016 年安徽预赛】设 sin� + cos� = 12.则sin3� + cos3� =________.
26．【2016 年新疆预赛】设直角三角形的三边依次为�、�、� (c 为斜边),周长为 6.则�的最小值为______.
27．【2016 年新疆预赛】计算�� 2016° =______.
28 ．【 2016 年 新 疆 预 赛 】 在 △ 퐴�
中 , ∠퐴、∠�、∠
的
对
边
分
别
为
�、�、�.
若
cos� cos
=−
� 2�+�
.
则
∠� =______.
29．【2016 年天津预赛】已知△ 퐴� 的周长为 20,内切圆的半径为 3, � = 7.则 ��퐴的值为______.
30．【2016 年山西预赛】若函数� = 3sin� − 4cos�在�0处取得最大值，则 tan�0的值为__________.
.
13．【2017 年广西预赛】函数� = 1+ssinin��c+osc�os�的最大值是
.
14．【2017 年浙江预赛】设�, � ∈ �,且sin2�−cos2�+csions2��+co�s2�−sin2�sin2� = 1,则� − � =
.
15．【2017
年湖南预赛】设
0
≤
�
≤
�,且
3sin
+ cos2�
≤
3 4
,
��
−
sin2�∣
≤
1 4
,则函数�
�
的解析式为
.
3．【2017 年吉林预赛】已知锐角三角形퐴�
中,sin 퐴 + �
=
3 5
,sin
퐴
−
�
=
1 5
,
퐴�
=3,则△
퐴�
的面积
为
.
4．【2017 年山东预赛】函数� � = sin�−1
0 ≤ � ≤ 2� 的值域为
.
3−2cos�−2sin�
中,퐴
=
� 3
,
퐴� 퐴
=
58,内切圆半径�
=
2
3,则这个三角形的面积为
.
9．【2017 年安徽预赛】设圆内接四边形퐴� 的边长分别为퐴� = 3, � = 4, = 5, 퐴 = 6,则四边形
퐴� 的面积是
.
10．【2017 年安徽预赛】设� ∈ 0,2� ,若对任意� ∈ 0,1 恒有 2�2sin� − 4� 1 − � cos� + 3 1 − � 2 > 0,
备战 2022 年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题 16 三角函数与解三角形第三缉
1．【2017 年山西预赛】若三个角�、�, �构成等差数列,其公差为�3 ,则 tan� ⋅ tan� + tan�.tan� + tan� ⋅ tan� = .
2．【2017 年辽宁预赛】设� � 是定义在�上的函数,满足� �
23．【2016 年山东预赛】若实数 x 满足 arcsin� > arccos�，则关系式� � = 2�2 − � + 3 + 2 �2−�的取值
范围是 ________.
24．【2016 年山东预赛】arcsin 1 + arcsin 1 + arcsin 1 + arcsin 1 = ________.
� 2
=
1 + sin� −
1 − sin�,则 tan� =
.
16．【2017 年江苏预赛】若 sin�sin2�sin3� + cos�cos2�cos3� = 1,则� =
.
17．【2017 年新疆预赛】函数� � = sin� − 1 cos� − 1 � ∈ � 的值域为
.
18．【2017 年新疆预赛】已知圆内接四边形퐴�
中 , 内 角 퐴, �、
所 对 的 边 分 别 是 �, �, � , 且 sin
coscos
sin
퐴 2
cos퐴
=
3 5
,
�
=
4,则△
퐴�
的面积为
.
7．【2017 年江西预赛】若 sin� + cos� = 22,则sin3� + cos3� =
.
8．【2017 年贵州预赛】已知△ 퐴�